TCO14286 TriangleTriples

题目链接：https://vjudge.net/problem/TopCoder-14286

知识点：　　组合数学、容斥原理

题目大意：

　　给出 \(A,B,C\)，问有多少个有序三元组 \((a,b,c)\)，满足 \(a \le A,b \le B,c \le C\)，并且长度为 \(a,b,c\) 的三条边能构成三角形。输出答案数模 \(1000000007\) 后的值。

　　\(A,B,C \le 10^9\).

 

解题思路：

　　答案等于 \(A \times B \times C\) 减去不能构成三角形的方案数。有三种不能构成三角形的对称的情况：

　　\(a+b \le c, a+c \le b, b+c \le a\).

　　现在先求解 \(a+b \le c\) 的情况，其他两种情况做类似处理即可。已知 \(c \le C\)。可以将 \(a +b \le c\) 表达成 \(a+b+x=c, 0 \le x\)，将 \(c \le C\) 表达成 \(c+y=C, 0 \le y\)。则我们可以列出下式：

　　\(a+b+x+y=C, 1 \le a,b, 0 \le x,y\)

　　上式的解的个数即为满足 \(a+b \le c\) 的方案数，等价于将 \(C\) 分成 \(4\) 份（允许其中有两份为 \(0\)）的方案数再利用容斥原理减去 \(a>A, b>B\) 的部分，具体的式子是

　　\(C_{C+1}^{3}-C_{C-A+1}^{3}-C_{C-B+1}^{3}+C_{C-A-B+1}^{3}\).

 

AC代码：

 #include <cstdio>

 using namespace std;
 typedef long long LL;
 const LL mod=1e9+;

 class TriangleTriples{
 public:
     LL c3(LL a){
         if(a<) return ;
         return a*(a-)%mod*(a-)%mod*%mod;
     }
     LL solve(LL a,LL b,LL c){
         return (c3(a+)-c3(a-b+)-c3(a-c+)+c3(a-b-c+)+mod)%mod;
     }

     int count(int A, int B, int C){
         LL a=A,b=B,c=C;
         LL ans=a*b%mod*c%mod;
         ans=(ans-solve(a,b,c)-solve(b,a,c)-solve(c,a,b))%mod;
         ans+=mod;
         ans%=mod;
         return (int)ans;
     }
 };