Miller_Rabin素数测试

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 using namespace std;

 long long mul(long long a,long long n,long long mo){
     long long ans=;
     while (n){
         if (n&) ans=(ans+a)%mo;
         a=(a+a)%mo;
         n/=;
     }
     return ans;
 }

 long long pow(long long a,long long n,long long mo){
     long long ans=;
     while (n){
         if (n&) ans=mul(ans,a,mo);
         a=mul(a,a,mo);
         n/=;
     }
     return ans;
 }

 bool Miller_Rabin(long long n){
     if (n<=){
         if (n==) return true;
         else return false;
     }
     if (n%==) return false;
     long long u=n-;
     while (u%==){
         u/=;
     }
     int t=1e2;
     while (t--){
         long long a=(rand()%(n-))+;
         long long x=pow(a,u,n);
         long long w=u*;
         long long y=mul(x,x,n);
         while (w<n){
             if (y==&&x!=&&x!=(n-)) return false;
             x=y;
             y=mul(y,y,n);
             w*=;
         }
         if (x!=) return false;
     }
     return true;
 }

 int main(){
    int t;
    scanf("%d",&t);
    while (t--){
         long long n;
         scanf("%lld",&n);
         if (Miller_Rabin(n)) printf("Yes\n");
         else printf("No\n");
    }

 }

费马小定理：对于质数p和任意整数a，有a^p ≡ a(mod p)(同余)。反之，若满足a^p ≡ a(mod p)，p也有很大概率为质数。
将两边同时约去一个a，则有a^(p-1) ≡ 1(mod p)

也即是说：假设我们要测试n是否为质数。我们可以随机选取一个数a，然后计算a^(n-1) mod n，如果结果不为1，我们可以100%断定n不是质数。

否则我们再随机选取一个新的数a进行测试。如此反复多次，如果每次结果都是1，我们就假定n是质数。

该测试被称为Fermat测试。需要注意的是：Fermat测试不一定是准确的，有可能出现把合数误判为质数的情况。

Miller和Rabin在Fermat测试上，建立了Miller-Rabin质数测试算法。

与Fermat测试相比，增加了一个二次探测定理：

如果p是奇素数，则 x^2 ≡ 1(mod p)的解为 x ≡ 1 或 x ≡ p - 1(mod p)

如果a^(n-1) ≡ 1 (mod n)成立，Miller-Rabin算法不是立即找另一个a进行测试，而是看n-1是不是偶数。如果n-1是偶数，另u=(n-1)/2，并检查是否满足二次探测定理即a^u ≡ 1 或 a^u ≡ n - 1(mod n)。

举个Matrix67 Blog上的例子，假设n=341，我们选取的a=2。则第一次测试时，2^340 mod 341=1。由于340是偶数，因此我们检查2^170，得到2^170 mod 341=1，满足二次探测定理。同时由于170还是偶数，因此我们进一步检查2^85 mod 341=32。此时不满足二次探测定理，因此可以判定341不为质数。