Intel Code Challenge Final Round (Div. 1 + Div. 2, Combined) C.Ray Tracing (模拟或扩展欧几里得)

http://codeforces.com/contest/724/problem/C

题目大意：

在一个n*m的盒子里,从(0,0)射出一条每秒位移为(1,1)的射线,遵从反射定律,给出k个点,求射线分别第一次经过这些点的时间。

解法一： (模拟)

射线不管怎么反射,都是和水平方向成45°角的,也就是说每一段射线上的点,横坐标和纵坐标的和或者差相等。 把每一个点放入它所对应的对角线里,然后模拟射线的路径就好。

代码：

#include <iostream>
#include <cstdio>
#include <cmath>
#include <cstring>
#include <algorithm>
#include <vector>
#include <map>
#include <cstdlib>
#include <set>
#include <queue>
using namespace std;
 
#define X first
#define Y second
#define Mod 1000000007
#define N 100110
#define M 200110
typedef long long ll;
typedef pair<int,int> pii;
 
const ll INF=1e18;
int n,m,k;
ll ans[N];
pii p[N];
vector<int> dig1[N<<],dig2[N<<];
 
int main()
{
    //freopen("in.in","r",stdin);
    //freopen("out.out","w",stdout);
 
    scanf("%d%d%d",&n,&m,&k);
    for (int i=;i<k;i++)
    {
        scanf("%d%d",&p[i].X,&p[i].Y);
        dig1[p[i].X-p[i].Y+N].push_back(i);
        dig2[p[i].X+p[i].Y].push_back(i);
        ans[i]=INF;
    }
 
    int x=,y=,d,tx,lx,op=; ll t=;
    do
    {
        lx=x;
        if (x==)
        {
            if (op) d=min(n,m-y),x+=d,y+=d;
            else d=min(n,y),x+=d,y-=d;
        }
        else if (x==n)
        {
            if (op) d=min(n,y),x-=d,y-=d;
            else d=min(n,m-y),x-=d,y+=d;
        }
        else if (y==)
        {
            if (op) d=min(m,n-x),x+=d,y+=d;
            else d=min(m,x),x-=d,y+=d;
        }
        else
        {
            if (op) d=min(m,x),x-=d,y-=d;
            else d=min(m,n-x),x+=d,y-=d;
        }
        if (op)
        {
            for (int i=;i<dig1[x-y+N].size();i++)
            {
                tx=p[dig1[x-y+N][i]].X;
                ans[dig1[x-y+N][i]]=min(ans[dig1[x-y+N][i]],t+abs(tx-lx));
            }
        }
        else
        {
            for (int i=;i<dig2[x+y].size();i++)
            {
                tx=p[dig2[x+y][i]].X;
                ans[dig2[x+y][i]]=min(ans[dig2[x+y][i]],t+abs(tx-lx));
            }
        }
        t+=d,op^=;
        //cout<<x<<" "<<y<<endl;
    }while (!((x== && y==) || (x== && y==m) || (x==n && y==) || (x==n && y==m)));
 
    for (int i=;i<k;i++) printf("%I64d\n",ans[i]==INF? -:ans[i]);
    return ;
}

解法二：(扩展欧几里得)

水平方向和竖直方向位移可以先分开考虑。

对于水平方向,每秒+1,然后n秒后,碰到墙壁,反弹,然后每秒-1,n秒后再次碰壁,又变成每秒+1.依次类推以2n为周期。

假设横坐标要从0变成x,那么只可能两种情况:

$t \equiv\ x\ (mod\ 2n)$

$t \equiv\ 2n-x\ (mod\ 2n)$

同理纵坐标要从0变成y,也只有两种情况：

$t \equiv\ y\ (mod\ 2m)$

$t \equiv\ 2m-y\ (mod\ 2m)$

同时考虑横纵坐标,一共四种情况,每次相当于解一个线性同余方程组。

解线性同余方程组可以参考这篇： http://www.cnblogs.com/vb4896/p/4009181.html

代码：

#include <iostream>
#include <cstdio>
#include <cmath>
#include <cstring>
#include <algorithm>
#include <vector>
#include <map>
#include <cstdlib>
#include <set>
#include <queue>
using namespace std;
 
#define X first
#define Y second
#define Mod 1000000007
#define N 200110
#define M 200110
 
typedef long long ll;
typedef pair<int,int> pii;
 
const ll INF=4e18;
 
void ex_gcd(ll a,ll b,ll &x,ll &y,ll &d)
{
    if (b==){x=,y=,d=a;}
    else
    {
        ex_gcd(b,a%b,y,x,d);
        y-=a/b*x;
    }
}
 
ll Solve(ll a1,ll a2,ll m1,ll m2)
{
    ll x,y,d,lcm;
    ex_gcd(m1,m2,x,y,d);
    if ((a2-a1)%d!=) return INF;
 
    lcm=m1/d*m2;
    x*=(a2-a1)/d;
    x=x*m1+a1;
    x=(x%lcm)+lcm;
    if (x>=lcm) x-=lcm;
 
    return x;
}
 
int main()
{
    //freopen("in.in","r",stdin);
    //freopen("out.out","w",stdout);
 
    int n,m,k;
    scanf("%d%d%d",&n,&m,&k);
    for (int i=;i<=k;i++)
    {
        ll ans=INF; int x,y;
        scanf("%d%d",&x,&y);
        ans=min(ans,Solve(x,y,*n,*m));
        ans=min(ans,Solve(*n-x,y,*n,*m));
        ans=min(ans,Solve(*n-x,*m-y,*n,*m));
        ans=min(ans,Solve(x,*m-y,*n,*m));
        if (ans==INF) ans=-;
        printf("%I64d\n",ans);
    }
 
    return ;
}

再来一发福利： hdu 5114   和这题的方法类似,可以顺手切了

http://acm.hdu.edu.cn/showproblem.php?pid=5114

题目大意：

n*m的盒子里给出2个球的坐标,2个球一开始速度都是(1,1),遵守反射定律,求相遇点的坐标。

思路：

1.首先相遇点的坐标要么是整数,要么是n+0.5的形式,所以可以实现把所有坐标乘以2,可以避免小数,最后除以2就好。

2.同样横纵坐标分开考虑。

不难求出横纵坐标第一次相同的时间分别为$\frac{2n-x_1-x_2}{2}$   $\frac{2m-y_1-y_2}{2}$

然后水平方向相遇的周期为n,竖直方向周期为m。所以

$t \equiv\ \frac{2n-x_1-x_2}{2}\ (mod\ n)$

$t \equiv\ \frac{2m-y_1-y_2}{2}\ (mod\ m)$

解出t,然后模拟一下就可以求出相遇点的坐标了。

代码：

#include <cstdio>
#include <iostream>
#include <algorithm>
#include <cstring>
using namespace std;
 
#define N 1010
typedef long long ll;
 
int T,n,m,x1,x2,y1,y2;
 
void ex_gcd(ll a,ll b,ll &x,ll &y,ll &d)
{
    if (b==) {x=,y=,d=a;}
    else
    {
        ex_gcd(b,a%b,y,x,d);
        y-=a/b*x;
    }
}
 
ll Solve()
{
    if (x1==x2 && y1==y2) return ;
    if (x1==x2) return (*m-y1-y2)/;
    if (y1==y2) return (*n-x1-x2)/;
 
    ll t1=(*n-x1-x2)/,t2=(*m-y1-y2)/,x,y,d;
    ex_gcd(n,m,x,y,d);
    if ((t2-t1)%d!=) return -;
    x*=(t2-t1)/d;
 
    ll lcm=n/d*m;
    ll ans=(x*n+t1)%lcm;
    if (ans<) ans+=lcm;
    return ans;
}
 
int main()
{
    //freopen("in.in","r",stdin);
    //freopen("out.out","w",stdout);
 
    scanf("%d",&T);
    for (int cas=;cas<=T;cas++)
    {
        printf("Case #%d:\n",cas);
        scanf("%d%d",&n,&m); n<<=,m<<=;
        scanf("%d%d%d%d",&x1,&y1,&x2,&y2);
        x1<<=,y1<<=,x2<<=,y2<<=;
        ll t=Solve();
        if (t==-) {printf("Collision will not happen.\n"); continue;}
 
        int tx=t%(*n),ty=t%(*m),x=x1,y=y1;
        if (x+tx<=n) tx=x+tx;
        else if (*n-x-tx>=) tx=*n-x-tx;
        else tx-=n+n-x;
 
        if (y+ty<=m) ty=y+ty;
        else if (*m-y-ty>=) ty=*m-y-ty;
        else ty-=m+m-y;    
 
        printf("%.1lf %.1lf\n",tx/2.0,ty/2.0);
    }
 
    return ;
}