关键词:代数、图论、矩阵、松弛技术、动态规划

  Floyd算法是一个经典的动态规划算法。用通俗的语言来描述的话,首先我们的目标是寻找从点i到点j的最短路径。从动态规划的角度看问题,我们需要为这个目标重新做一个诠释(这个诠释正是动态规划最富创造力的精华所在),floyd算法加入了这个概念

    Ak(i,j):表示从i到j中途不经过索引比k大的点的最短路径

  这个限制的重要之处在于,它将最短路径的概念做了限制,使得该限制有机会满足迭代关系,这个迭代关系就在于研究:假设Ak(i,j)已知,是否可以借此推导出Ak-1(i,j)。

  假设我现在要得到Ak(i,j),而此时Ak(i,j)已知,那么我可以分两种情况来看待问题:1. Ak(i,j)沿途经过点k;2. Ak(i,j)不经过点k。如果经过点k,那么很显然,Ak(i,j) = Ak-1(i,k) + Ak-1(k,j),为什么是Ak-1呢?因为对(i,k)和(k,j),由于k本身就是源点(或者说终点),加上我们求的是Ak(i,j),所以满足不经过比k大的点的条件限制,且已经不会经过点k,故得出了Ak-1这个值。那么遇到第二种情况,Ak(i,j)不经过点k时,由于没有经过点k,所以根据概念,可以得出Ak(i,j)=Ak-1(i,j)。现在,我们确信有且只有这两种情况---不是经过点k,就是不经过点k,没有第三种情况了,条件很完整,那么是选择哪一个呢?很简单,求的是最短路径,当然是哪个最短,求取哪个,故得出式子:

  Ak(i,j) = min( Ak-1(i,j), Ak-1(i,k) + Ak-1(k,j) )

  因此floyd的最外层循环:
    for (k = 0; k < n; k++) ...
  就是分别求出 A0(i,j), A1(i,j), ..., An(i,j)

  算法描述:

    (1) 用数组dis[i][j]来记录i,j之间的最短距离。初始化dis[i][j],

      若i=j则dis[i][j]=0,

      若i,j之间有边连接则dis[i][j]的值为该边的权值,否则dis[i][j]的值为 。

    (2) 对所有的k值从1到n,修正任意两点之间的最短距离,计算dis[i][k]+dis[k][j]的值,若小于dis[i][j],则dis[i][j]= dis[i][k]+dis[k][j],否则dis[i][j]的值不变

程序:

 void Floyd(int dis[n + ][n + ], int path[n + ][n + ], int n)
{
int i, j, k;
for (k = ; k <= n; k++) {
for (i = ; i <= n; i++) {
for (j = ; j <= n; j++) {
if (dis[i][k] + dis[k][j] {
dis[i][j] = dis[i][k] + dis[k][j];
Path[i][j] = k;
}
}
}
}
}

正确性证明(归纳法) :

  对于任意两点A,B:

    (1)当从A到B之间的最短路径,在中间没有经过顶点或经过1个顶点号为1的顶点时,算法显然正确。

    (2)假设A到B经过的最大顶点号不超过k-1时,算法得到的最短距离是正确的

    (3)当A到B经过的最大顶点号为k时,则从A到顶点号为k的顶点v 之间的顶点号均不大于k-1,从v 到B之间的顶点号也不大于k-1,由假设2得,

        A到vk的距离是中间顶点号不超过k-1的最短距离,vk到B的距离是中间顶点号不超过k-1的最短距离,所以A经vk到B为A,B之间经过最大号

        为k的路径中距离最短的,由算法修正A,B的最短距离,即可得到A,B间顶点号不超过k的最短距离。

    (4)综上所述,算法是正确的

  时间复杂度:O(n3)

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