HDU4466_Triangle

今天比赛做的一个题目，不过今天终于感受到了复旦题目有多坑了。

题目的意思是给你一段长为n个单位长度的直线，你可以选择任意连续单位长度的线段组成三角形，可以组成任意你可以组成任意多个三角形，且要求其中所有的三角形相似。现在要你求出，总共有多少种三角形的情况。 详情见题目。

题目的意思明白了以后就可以开始思考具体怎么解题了。

比赛开始的时候我也很费解，到底怎么求出所有的排列组合的情况。

一开始我是这样考虑的，要使得最终的每一个三角形都相似，那么其中所有的三角形必须有一个不小于3的公约数，但是对于三角形的边长怎么不重复地搞出来还是没有办法。

其实是这样来搞的。我们用一个函数f(i)来表示周长为i的独特的三角形的数目有多少。我这里所谓的“独特”，其实是其不会与任何一个周长小于i的三角形相似。但是后来仔细一想就知道是gcd(a,b,c)=1，也就是说三角形的三边互质。同时f[i]表示的只是a不大于b，b不大于c的种类数量。

对于某一个i，其独特的种类数可以用类似容斥原理的方法求得。

什么意思呢？

另某一个中间变量tot=[sigama]f(x)，（x为A的所有的约数），那么f(A)=count（x）-tot。这里count(x)表示周长为x的三角形的总数。

这样就可以得到所有的独特数了。

题目剩下的就比较简单了，枚举独特的三角形的时候对于后面的每一个独立的独特单元，它都有两种组合情况，要么与前面的组合，要么不组合，这样就可以快速幂解决了。

 #include <iostream>
 #include <cstring>
 #include <cstdio>
 #define maxn 5000500
 #define M 1000000007
 #define ll long long
 using namespace std;

 ll f[maxn];

 ll count(ll x)
 {
     ll tot=;
     for (int i=; i<=x/; i++)
     {
         int tep=x-i;
         if (tep/>=max(i,(tep-i)/+))
         {
             tot=(tot+tep/-max(i,(tep-i)/+)+);
             if (tot>=M) tot-=M;
         }
     }
     return tot;
 }

 ll get(ll x)
 {
     if (f[x]!=) return f[x];
     ll tot=;
     for (int i=; i<=x/; i++)
         if (x%i==)
         {
             tot=(tot+get(i));
             if (tot>=M) tot-=M;
         }
     f[x]=count(x)-tot;
     if (f[x]<) f[x]+=M;
     return f[x];
 }

 ll power(ll x,ll y)
 {
     ll tot=;
     while (y)
     {
         if (y&) tot=(tot*x)%M;
         x=(x*x)%M;
         y>>=;
     }
     return tot;
 }

 int main()
 {
     ll n,ans,tep,cas=;
     while (scanf("%I64d",&n)!=EOF)
     {
         ans=;
         for (int i=; i*i<=n; i++)
         {
             if (n%i==)
             {
                 tep=get(i);
                 tep=(tep*power(,n/i-))%M;
                 ans+=tep;
                 if (ans>=M) ans-=M;

                 if (i*i!=n)
                 {
                     tep=get(n/i);
                     tep=(tep*power(,i-))%M;
                     ans+=tep;
                     if (ans>=M) ans-=M;
                 }
             }
         }

         printf("Case %I64d: %I64d\n",++cas,ans);
     }
     return ;
 }