今天比赛做的一个题目,不过今天终于感受到了复旦题目有多坑了。

题目的意思是给你一段长为n个单位长度的直线,你可以选择任意连续单位长度的线段组成三角形,可以组成任意你可以组成任意多个三角形,且要求其中所有的三角形相似。现在要你求出,总共有多少种三角形的情况。 详情见题目。

题目的意思明白了以后就可以开始思考具体怎么解题了。

比赛开始的时候我也很费解,到底怎么求出所有的排列组合的情况。

一开始我是这样考虑的,要使得最终的每一个三角形都相似,那么其中所有的三角形必须有一个不小于3的公约数,但是对于三角形的边长怎么不重复地搞出来还是没有办法。

其实是这样来搞的。我们用一个函数f(i)来表示周长为i的独特的三角形的数目有多少。我这里所谓的“独特”,其实是其不会与任何一个周长小于i的三角形相似。但是后来仔细一想就知道是gcd(a,b,c)=1,也就是说三角形的三边互质。同时f[i]表示的只是a不大于b,b不大于c的种类数量。

对于某一个i,其独特的种类数可以用类似容斥原理的方法求得。

什么意思呢?

另某一个中间变量tot=[sigama]f(x),(x为A的所有的约数),那么f(A)=count(x)-tot。这里count(x)表示周长为x的三角形的总数。

这样就可以得到所有的独特数了。

题目剩下的就比较简单了,枚举独特的三角形的时候对于后面的每一个独立的独特单元,它都有两种组合情况,要么与前面的组合,要么不组合,这样就可以快速幂解决了。

 #include <iostream>
#include <cstring>
#include <cstdio>
#define maxn 5000500
#define M 1000000007
#define ll long long
using namespace std; ll f[maxn]; ll count(ll x)
{
ll tot=;
for (int i=; i<=x/; i++)
{
int tep=x-i;
if (tep/>=max(i,(tep-i)/+))
{
tot=(tot+tep/-max(i,(tep-i)/+)+);
if (tot>=M) tot-=M;
}
}
return tot;
} ll get(ll x)
{
if (f[x]!=) return f[x];
ll tot=;
for (int i=; i<=x/; i++)
if (x%i==)
{
tot=(tot+get(i));
if (tot>=M) tot-=M;
}
f[x]=count(x)-tot;
if (f[x]<) f[x]+=M;
return f[x];
} ll power(ll x,ll y)
{
ll tot=;
while (y)
{
if (y&) tot=(tot*x)%M;
x=(x*x)%M;
y>>=;
}
return tot;
} int main()
{
ll n,ans,tep,cas=;
while (scanf("%I64d",&n)!=EOF)
{
ans=;
for (int i=; i*i<=n; i++)
{
if (n%i==)
{
tep=get(i);
tep=(tep*power(,n/i-))%M;
ans+=tep;
if (ans>=M) ans-=M; if (i*i!=n)
{
tep=get(n/i);
tep=(tep*power(,i-))%M;
ans+=tep;
if (ans>=M) ans-=M;
}
}
} printf("Case %I64d: %I64d\n",++cas,ans);
}
return ;
}

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