洛谷 P1344 [USACO4.4]追查坏牛奶Pollutant Control

题目描述

你第一天接手三鹿牛奶公司就发生了一件倒霉的事情：公司不小心发送了一批有三聚氰胺的牛奶。很不幸，你发现这件事的时候，有三聚氰胺的牛奶已经进入了送货网。这个送货网很大，而且关系复杂。你知道这批牛奶要发给哪个零售商，但是要把这批牛奶送到他手中有许多种途径。送货网由一些仓库和运输卡车组成，每辆卡车都在各自固定的两个仓库之间单向运输牛奶。在追查这些有三聚氰胺的牛奶的时候，有必要保证它不被送到零售商手里，所以必须使某些运输卡车停止运输，但是停止每辆卡车都会有一定的经济损失。你的任务是，在保证坏牛奶不送到零售商的前提下，制定出停止卡车运输的方案，使损失最小。

输入输出格式

输入格式：

第一行: 两个整数N(2<=N<=32)、M(0<=M<=1000),
N表示仓库的数目，M表示运输卡车的数量。仓库1代 表发货工厂，仓库N代表有三聚氰胺的牛奶要发往的零售商。 第2..M+1行:
每行3个整数Si,Ei,Ci。其中Si,Ei表示这 辆卡车的出发仓库，目的仓库。Ci(0 <= C i <= 2,000,000)
表示让这辆卡车停止运输的损失。

输出格式：

两个整数C、T：C表示最小的损失，T表示在损失最小的前提下，最少要停止的卡车数。

输入输出样例

输入样例#1：

4 5
1 3 100
3 2 50
2 4 60
1 2 40
2 3 80

输出样例#1：

60 1

说明

题目翻译来自NOCOW。

USACO Training Section 4.4

Solution：

　　简单讲，本题给出了边的权值，要求最小的代价使得1和n不连通。这不就是最小割嘛！我们直接把1当作S，n当作T。

　　但因为本题既要输出最小割的值又要输出割的边数，前者好求关键是后者如何去求更简单，容易想到我们可以直接建两次图，一次按原边权建图跑最大流求得最小割，再按边权为1建图跑最大流求割的边数，这是一种思路;

　　当然我们完全可以换种思路用一次最大流搞定，只需建图时将边权w=w*a+1（w为本来的边权，a为大于1000的数），这样我们能求得最大流ans，则最小割的值为ans/a，割的边数为ans%a。这很容易理解，但是还是解释一下：因为最小割的边集中有w1+w2+w3…+wn=ans（这个ans为本来的最小割），所以必然有w1*a+w2*a+w3*a…+wn*a=ans*a，于是必然有w1*a+1+w2*a+1+w3*a+1…+wn*a+1=ans*a+k(k为最小割的边数，k<=m<=1000)，这样就很明显了，因为边数m不大于1000，所以k的最大值为1000，我们只要使设定的a的值大于1000，那么按上述方法建图，跑出的最大流除以a就是最小割的值ans，最大流模a就是最小割的边数k。

代码：

 // luogu-judger-enable-o2
 #include<bits/stdc++.h>
 #define il inline
 #define ll long long
 #define debug printf("%d %s\n",__LINE__,__FUNCTION__)
 using namespace std;
 const ll N=,inf=,mod=;
 ll n,m,s,t,h[],dis[],cnt=;
 ll ans;
 struct edge{
 ll to,net;ll v;
 }e[N];
 il void add(ll u,ll v,ll w)
 {
     e[++cnt].to=v,e[cnt].net=h[u],e[cnt].v=w,h[u]=cnt;
     e[++cnt].to=u,e[cnt].net=h[v],e[cnt].v=,h[v]=cnt;
 }
 queue<ll>q;
 il bool bfs()
 {
     memset(dis,-,sizeof(dis));
     q.push(s),dis[s]=;
     while(!q.empty())
     {
         int u=q.front();q.pop();
         for(int i=h[u];i;i=e[i].net)
         if(dis[e[i].to]==-&&e[i].v>)dis[e[i].to]=dis[u]+,q.push(e[i].to);
     }
     return dis[t]!=-;
 }
 il ll dfs(ll u,ll op)
 {
     if(u==t)return op;
     ll flow=,used=;
     for(int i=h[u];i;i=e[i].net)
     {
         int v=e[i].to;
         if(dis[v]==dis[u]+&&e[i].v>)
         {
             used=dfs(v,min(op,e[i].v));
             if(!used)continue;
             flow+=used,op-=used;
             e[i].v-=used,e[i^].v+=used;
             if(!op)break;
         }
     }
     if(!flow)dis[u]=-;
     return flow;
 }
 int main()
 {
     scanf("%lld%lld",&n,&m);s=,t=n;
     ll u,v;ll w;
     for(int i=;i<=m;i++)
     {
         scanf("%lld%lld%lld",&u,&v,&w);
         add(u,v,w*mod+);
     }
     while(bfs())ans+=dfs(s,inf);
     printf("%lld %lld\n",ans/mod,ans%mod);
     return ;
 }