luogu P2424 约数和

【luogu P2424 约数和】的更多相关文章

嘟嘟嘟求出[L, R]中每一个数的约数再相加必定会超时,所以换一种思路:枚举约数d. 对于一个约数d,能整除他的数可以写成k * d, (1 <= k <= ⌊n / d⌋),因此约数d对答案的贡献是⌊n / d⌋ * d,f(i)表示[1, i]的约数和,那么f(n) = ∑⌊n / i⌋ * i (1 <= i <= n).因此x到y的答案等于f(y) - f(x - 1). 然而这样还是会TLE,考虑优化:对于⌊n / i⌋,以12为例打出一个表:12,6,4,3,2,2…

P2424 约数和 && 真丶除法分块

P2424 约数和题目背景 Smart最近沉迷于对约数的研究中. 题目描述对于一个数X,函数f(X)表示X所有约数的和.例如:f(6)=1+2+3+6=12.对于一个X,Smart可以很快的算出f(X).现在的问题是,给定两个正整数X,Y(X<Y),Smart希望尽快地算出f(X)+f(X+1)+--+f(Y)的值,你能帮助Smart算出这个值吗? 输入输出格式输入格式: 输入文件仅一行,两个正整数X和Y(X<Y),表示需要计算f(X)+f(X+1)+--+f(Y). 输出格式: 输出只…

P2424 约数和【整除分块】

一.题目 P2424 约数和二.分析因为都是加法,那么肯定有的一个性质,即前缀和的思想,就是$$ { ans =\sum_{i=1}^y f(i)} - {\sum_{i=1}^x f(i)} $$ 基于上面的性质,分析$ \sum_{i=1}^x f(i) $,因为每个数都是因子之和,那么$1 \to n $ 中一共也就 $n$个因子,其实就将问题转化到了求每个因子的贡献上面. 考虑每个因子最终加 $ \lfloor \frac{n}{i} \rfloor $ 次,所以最终$$ { a…

洛谷 - P2424 - 约数和 - 整除分块

https://www.luogu.org/problemnew/show/P2424 记 $\sigma(n)$ 为n的所有约数之和,例如 $\sigma(6)=1+2+3+6=12$ . 求 $ans(n)=\sum\limits_{i=x}^{y}\sigma(i)$ . 首先,记 $f(n)=\sum\limits_{i=1}^{n}\sigma(i)$ ,则 $ans(n)=f(y)-f(x-1)$ . 对于 \(f(n)=\sum\limits_{i=1}^{n}…

洛谷—— P2424 约数和

https://www.luogu.org/problem/show?pid=2424 题目背景 Smart最近沉迷于对约数的研究中. 题目描述对于一个数X,函数f(X)表示X所有约数的和.例如:f(6)=1+2+3+6=12.对于一个X,Smart可以很快的算出f(X).现在的问题是,给定两个正整数X,Y(X<Y),Smart希望尽快地算出f(X)+f(X+1)+……+f(Y)的值,你能帮助Smart算出这个值吗? 输入输出格式输入格式: 输入文件仅一行,两个正整数X和Y(X<Y),表示…

P2424 约数和

题目背景 Smart最近沉迷于对约数的研究中. 题目描述对于一个数X,函数f(X)表示X所有约数的和.例如:f(6)=1+2+3+6=12.对于一个X,Smart可以很快的算出f(X).现在的问题是,给定两个正整数X,Y(X<Y),Smart希望尽快地算出f(X)+f(X+1)+……+f(Y)的值,你能帮助Smart算出这个值吗? 输入输出格式输入格式: 输入文件仅一行,两个正整数X和Y(X<Y),表示需要计算f(X)+f(X+1)+……+f(Y). 输出格式: 输出只有一行,为f(X)+…

洛谷 P2424 约数和

题目背景 Smart最近沉迷于对约数的研究中. 题目描述对于一个数X,函数f(X)表示X所有约数的和.例如:f(6)=1+2+3+6=12.对于一个X,Smart可以很快的算出f(X).现在的问题是,给定两个正整数X,Y(X<Y),Smart希望尽快地算出f(X)+f(X+1)+……+f(Y)的值,你能帮助Smart算出这个值吗? 输入输出格式输入格式: 输入文件仅一行,两个正整数X和Y(X<Y),表示需要计算f(X)+f(X+1)+……+f(Y). 输出格式: 输出只有一行,为f(X)+…

[SDOI2015][bzoj 3994][Luogu P3327] 约数个数和 (莫比乌斯反演)

题目描述设d(x)d(x)d(x)为xxx的约数个数,给定NNN.MMM,求 ∑i=1N∑j=1Md(ij)\sum^{N}_{i=1}\sum^{M}_{j=1} d(ij)i=1∑Nj=1∑Md(ij) N,M,T<=50000N,M,T<=50000N,M,T<=50000 题目分析首先很不显然的有这样一个结论: d(ij)=∑x∣i∑y∣j[(x,y)==1]d(ij)=\sum_{x|i}\sum_{y|j}[(x,y)==1]d(ij)=x∣i∑y∣j∑[(x,y…

洛谷P2424 约数和题解

题目约数和题解此题可以说完全就是一道数学题,不难看出这道题所求的是 $\sum\limits_{i=x}^{y}{\sum\limits_{d|i}{d}}$ 的值. 很显然,用暴力枚举肯定会超时.所以我们可以反过来思考,采用枚举约数的方法,对于每个数 $d$ , $1$ 到 $n$ 间满足是$d$的倍数的共有$\lfloor \frac{n}{d} \rfloor$个数.我们可以构造一个函数 \[f(n)=\sum\limits_{i=1}^{n}{\sum\li…

约数和问题 (codevs2606 && 洛谷2424)

P2424 约数和题目背景 Smart最近沉迷于对约数的研究中. 题目描述对于一个数X,函数f(X)表示X所有约数的和.例如:f(6)=1+2+3+6=12.对于一个X,Smart可以很快的算出f(X).现在的问题是,给定两个正整数X,Y(X<Y),Smart希望尽快地算出f(X)+f(X+1)+……+f(Y)的值,你能帮助Smart算出这个值吗? 输入输出格式输入格式: 输入文件仅一行,两个正整数X和Y(X<Y),表示需要计算f(X)+f(X+1)+……+f(Y). 输出格式: 输出只…

[bzoj 4176] Lucas的数论 (杜教筛 + 莫比乌斯反演)

题面设d(x)d(x)d(x)为xxx的约数个数,给定NNN,求 ∑i=1N∑j=1Nd(ij)\sum^{N}_{i=1}\sum^{N}_{j=1} d(ij)i=1∑Nj=1∑Nd(ij) N<=109N<=10^9N<=109 题目分析有这样一个结论 d(ij)=∑x∣i∑y∣j[(x,y)==1]d(ij)=\sum_{x|i}\sum_{y|j}[(x,y)==1]d(ij)=x∣i∑y∣j∑[(x,y)==1]这道题就是下面这道题的数据增强版,那么这个结论的证明…

Luogu P3327 [SDOI2015]约数个数和

又是恶心的莫比乌斯反演,蒟蒻我又是一脸懵逼的被CXR dalao狂虐. 题目要求$ans=\sum_{i=1}^n \sum_{j=1}^m d(ij)$,其中$d(ij)$表示数$x$的约数个数这道题的一大难点就在于$d(ij)$这个函数,它有一个重要的性质: \[d(ij)=\sum_{x|i}\sum_{y|i}[\gcd(i,j)=1]\] 大致的证明思路就是对于$i,j$的所有约数,为了避免重复计算,我们只取互质的一对. 知道了这个就是反演的套路了(如果不知道为什…

洛谷P2424/codevs 2606 约数和

http://codevs.cn/problem/2606/ https://luogu.lohu.info/problem/show?pid=2424 题目背景 Smart最近沉迷于对约数的研究中. 题目描述对于一个数X,函数f(X)表示X所有约数的和.例如:f(6)=1+2+3+6=12.对于一个X,Smart可以很快的算出f(X).现在的问题是,给定两个正整数X,Y(X<Y),Smart希望尽快地算出f(X)+f(X+1)+……+f(Y)的值,你能帮助Smart算出这个值吗? 输入输出格…

luogu P1734 最大约数和（01 背包）

链接:https://www.luogu.org/problemnew/show/P1734 题面: 题目描述选取和不超过S的若干个不同的正整数,使得所有数的约数(不含它本身)之和最大. 输入输出格式输入格式: 输入一个正整数S. 输出格式: 输出最大的约数之和. 输入输出样例输入样例#1: 复制 11 输出样例#1: 复制 9 说明样例说明取数字4和6,可以得到最大值(1+2)+(1+2+3)=9. 数据规模 S<=1000 思路: 把这个数的因数和看成这个数的权值,那么就可以转化成…

luogu 6月月赛 E 「数学」约数个数和

题面在这里! 第一眼感觉炒鸡水啊...只要把N质因数分解一下,因为k次约数相当于求k+2元一次方程的非负整数解,所以答案就是和每个质因子指数有关的一些组合数乘起来. 但是要用pillard's rho啊.... (于是现学了一下,发现不会Miller Rabin...然后又先去学Miller Rabin 23333) Miller Rabin 的部分就不说了...随便找个博客肯定都讲的比我好多了2333 Pillard's rho 的原理就是生日悖论,随机s个数之后两两作差并与n求gcd,当s不…

【Luogu】P1593因子和（唯一分解定理，约数和公式）

题目链接首先介绍两个定理. 整数唯一分解定理:任意正整数都有且只有一种方式写出素数因子的乘积表达式. $A=(p1k1 p2k2 ...... pnkn $ 求这些因子的代码如下 ;i*i<=a;++i){ if(!(a%i)){ prime[++num]=i; while(!(a%i)){ a/=i; sum[num]++; } } } ){ prime[++num]=a; sum[num]=; } 唯一分解定理约数和公式:对于已经分解的整数A,有A的所有因子和为 \( S= (1+p…

luogu P3327 [SDOI2015]约数个数和莫比乌斯反演

题面我的做法基于以下两个公式: \[[n=1]=\sum_{d|n}\mu(d)\] \[\sigma_0(i*j)=\sum_{x|i}\sum_{y|j}[gcd(x,y)=1]\] 其中$\sigma_0(n)$表示$n$的约数个数第一个公式是莫比乌斯函数的基本性质,至于第二个公式的证明,可以考虑$i*j$中每一个质因子对 $\sigma_0(i*j)$ 的贡献,对于一个质因子 $p$ ,若它在 $i$ 中的次数为 $k_1$ ,它在 $j$ 中的次数为…

luogu 4411 [BJWC2010]取数游戏约数+dp

不大难的dp,暴力拆一下约数然后按照约数来统计即可. 注意:vector 很慢,所以一定特判一下,如果没有该数,就不要添加. Code: #include <bits/stdc++.h> #define N 1000005 #define setIO(s) freopen(s".in","r",stdin) using namespace std; vector<int>v[N]; int prime[N],f[N],g[N],A[N]; b…

【Luogu】P3327约数个数和（莫比乌斯反演+神奇数论公式）

题目链接真TM是神奇数论公式. 注明:如无特殊说明我们的除法都是整数除法,向下取整的那种. 首先有个定理叫$d(ij)=\sum\limits_{i|n}{}\sum\limits_{j|m}{}(gcd(i,j)==1)$ 证明……我不会证qwq,可以看这个链接所以原式$\sum\limits_{i=1}{n}\sum\limits_{j=1}{m}d(ij)$ =$\sum\limits_{i=1}^{n}\sum\limits_{j=1}^{m}\sum\limits_{k=1}^{i…

luogu 1593 因子和约数+线性筛

等比数列那里忘判项数等于 $1$ 的情况了. Code: #include <cstdio> #include <vector> #include <algorithm> #define mod 9901 #define N 50000002 #define ll long long #define setIO(s) freopen(s".in","r",stdin) using namespace std; ll qpow(ll…

luogu 1876 开灯约数+打表

打表后发现答案都是完全平方数,直接输出即可. #include <cstdio> #include <algorithm> using namespace std; int main() { long long n; scanf("%lld",&n); for(long long i=1;i*i<=n;++i) printf("%lld ",(long long)i*i); return 0; }…

luogu 1414 又是毕业季II 约数相关

感觉好水呀~ Code: #include <cstdio> #include <algorithm> #define N 1000005 #define setIO(s) freopen(s".in","r",stdin) using namespace std; int sum[N],vis[N],Mx[N],val[N]; int main() { int i,j,n; // setIO("input"); scan…

P1403约数研究

洛谷1403 约数研究题目描述科学家们在Samuel星球上的探险得到了丰富的能源储备,这使得空间站中大型计算机"Samuel2"的长时间运算成为了可能.由于在去年一年的辛苦工作取得了不错的成绩,小联允许用"Samuel2"进行数学研究. 小联最近在研究和约数有关的问题,他统计每个正数N的约数的个数,并以f(N)来表示.现在小联希望用"Samuel2"来统计f(1)到f(N)的累加和M. f(n)表示n的约数个数,现在给出n,要求求出f(1)到…

P1403 [AHOI2005]约数研究

原题链接 https://www.luogu.org/problemnew/show/P1403 这个好难啊,求约数和一般的套路就是求1--n所有的约数再一一求和,求约数又要用for循环来判断......恩--......貌似很简单,看一下n的范围:100%N<=1000000......额,看来要炸那么怎么办呢?这时候我们就要用玄学啦当然要耐心枚举几个数找找规律啦! 从洛谷题解里看到一位大佬的约数表,再看他详细的解释,终于明白了这个题的玄学所在,放约数图!!! 我们通过这个表可以发现: 在1…

Luogu P1447 [NOI2010]能量采集

Preface 最近反演题做多了看什么都想反演.这道题由于数据弱,解法多种多样,这里简单分析一下. 首先转化下题目就是对于一个点$(x,y)$,所消耗的能量就是$2(\gcd(x,y)-1)+1=2\cdot\gcd(x,y)-1$(小学奥数题) 所以求和就是求$\sum_{i=1}^n\sum_{j=1}^m2\cdot\gcd(i,j)-1=2\cdot\sum_{i=1}^n\sum_{j=1}^m\gcd(i,j)-nm$,因此主要问题就变成了求解\(\sum_{i=1}^n…