题意:给一张无向点带有权无向图.定义连通图的权值为图中各点权的乘积,图的权值为其包含的各连通图的权和.设z_i为删除i点后图的权值,求$S = (\sum\limits_{i=1}^{n}i\cdot z_i) \text{ mod } (10^9 + 7)$. 显然和点双有关.回忆各种tarjan:缩SCC得DAG,缩边BCC得一棵树,我们要想办法把点BCC也缩成一棵树. tarjan求点双,然后给每个点双新建一个点,将这个BCC内的所有点连向这个点. 因为点与点之间没有边,SCC与SCC之间…

题意:仙人掌图最短路. 算法:圆方树DP,$O(n\log n+Q\log n)$ 首先建出仙人掌圆方树(与点双圆方树的区别在于直接连割边,也就是存在圆圆边),然后考虑点u-v的最短路径,显然就是:在圆方树上u-v的路径上的所有边权之和,加上每个环(方点)中连出去的两个点的最短距离. 现在问题就是:如何求出环上两个点的最短路径.考虑这样设定边权,首先显然圆圆边的边权就是原图的边权,然后设一个环在搜索树中深度最小的点为这个环的根,则方圆边的边权是环的根到这个点的最短距离,这个可以在Tarjan的时…

题意:给出一张图,求满足存在一条从u到v的长度大于3的简单路径的有序点对(u,v)个数. 做了上一题[HDU5739]Fantasia(点双连通分量+DP),这个题就是一个NOIP题了. 一开始考虑了各种各样的情况,最后发现几乎没有什么特殊情况,程序很优美. 首先和上一题一样建出圆方树,然后如果选择了点对(a,c),那么b一定在树上a到c的路径上. 给树上每个BCC点权为这个BCC的大小,普通点点权设为-1,那么答案就是所有起点终点均为普通点的路径的权值和.直接树形DP即可. #include<…

Description 如果某个无向连通图的任意一条边至多只出现在一条简单回路(simple cycle)里,我们就称这张图为仙人掌图(cactus). 所谓简单回路就是指在图上不重复经过任何一个顶点的回路. 举例来说,上面的第一个例子是一张仙人图,而第二个不是——注意到它有三条简单回路: (4,3,2,1,6,5,4).(7,8,9,10,2,3,7)以及(4,3,7,8,9,10,2,1,6,5,4), 而(2,3)同时出现在前两个的简单回路里.另外,第三张图也不是仙人图,因为它并不是连通图…

题意:求仙人掌图直径. 算法:建出仙人掌圆方树,对于圆点直接做普通的树上DP(忽略方点儿子),方点做环上DP并将值直接赋给父亲. 建图时有一个很好的性质,就是一个方点在邻接表里的点的顺序正好就是从环的根开始的整个环的点的顺序,所以可以直接DP. #include<cstdio> #include<algorithm> #define rep(i,l,r) for (int i=l; i<=r; i++) using namespace std; ,inf=; int n,m,…

QWQ神仙题啊(据说是今年第一次出现圆方树的地方) 首先根据题目,我们就是求对于每一个路径\((s,t)\)他的贡献就是两个点之间的点数,但是图上问题我并没有办法很好的解决... 这时候考虑圆方树,我们将圆方树建出来之后, 我们令方点的权值是他所连接的圆点之和,圆点的权值是\(-1\). 这里之所以让圆点的贡献是-1,是为了方便表示路径的贡献(不然貌似比较复杂). 如果我们这么赋值的话,那么一个条路经的贡献就应该是点权之和. QWQ可惜枚举两个端点是\(O(n^2)\)复杂度的 那么这时候,我们…

传送门 要求的是一条按顺序经过\(s,t,c\)三个点的简单路径.简单路径的计数问题不难想到点双联通分量,进而使用圆方树进行求解. 首先将原图缩点,对于一个大小为\(size\)的点双联通分量内,在这个分量内部任意选择\(s,t,c\)都是可行的,可以贡献\(P_{size}^3\)的答案. 接下来就需要计算跨越点双联通分量的\(s,t,c\)了.这个可以在圆方树上进行树形DP统计答案. 但是考虑到割点可能会被统计多次,我们令圆方树中所有的方点都不包含它的父亲,这样对于一个圆点就只会被计入一次答…

[APIO2018] Duathlon 铁人两项 LG传送门 圆方树+简单DP. 不会圆方树的话可以看看我的另一篇文章. 考虑暴力怎么写,枚举两个点,答案加上两个点之间的点的个数. 看到题面中的一句话: 考虑到安全因素,选择的路径经过同一个点至多一次. 换句话说就是简单路径,用(广义)圆方树的基本条件已经满足,可以把问题变到树上:令方点的权值为所在点双的大小,圆点会被算重所以点权为\(-1\),统计任意两点间的点权和就好了.直接做是\(n ^ 2\)的,考虑枚举每一个点看会产生多少贡献,对答案的…

题目链接: [APIO2018]铁人两项 对于点双连通分量有一个性质:在同一个点双里的三个点$a,b,c$,一定存在一条从$a$到$c$的路径经过$b$且经过的点只被经过一次. 那么我们建出原图的圆方树,枚举中间点$b$,一对合法的$a,c$需要使这两个点位于与$b$直接相连的方点的不同子树中.树形$DP$,对圆点和方点分别统计答案即可. #include<set> #include<map> #include<queue> #include<stack>…

主要卡在一个结论上..关于点双有一个常用结论,也经常作为在圆方树/简单路径上的良好性质,对于任意点双内互不相同的三点$s,c,t$,都存在简单路径$s\to c\to t$,证明不会.可以参见clz博客..我就是跟着他学的 然后就好办了,转化为树上两点计经过点双内所有点个数,然后赋权后变为统计两两圆点对的路径权值和,这个就是一个树形DP,统计每个点作为圆点或者方点被所有路径经过多少次,加入答案.. 还是比较裸的,因为重点还在于这个很多题都出现到的点双的简单路径的性质.. #include<ios…