[Lydsy1711月赛]图的价值 Time Limit: 30 Sec  Memory Limit: 256 MBSubmit: 245  Solved: 128[Submit][Status][Discuss] Description “简单无向图”是指无重边.无自环的无向图(不一定连通). 一个带标号的图的价值定义为每个点度数的k次方的和. 给定n和k,请计算所有n个点的带标号的简单无向图的价值之和. 因为答案很大,请对998244353取模输出.   Input 第一行包含两个正整数n,…

题目链接 BZOJ5093 题解 点之间是没有区别的,所以我们可以计算出一个点的所有贡献,然后乘上\(n\) 一个点可能向剩余的\(n - 1\)个点连边,那么就有 \[ans = 2^{{n - 1 \choose 2}}n \sum\limits_{i = 0}^{n - 1} {n - 1 \choose i} i^k\] 显然要求 \[\sum\limits_{i = 0}^{n} {n \choose i} i^k\] 然后我就不知道怎么做了.. 翻翻题解 有这样一个结论: \[n^k…

题目链接 对于单独一个点,我们枚举它的度数(有多少条边)来计算它的贡献:\[\sum_{i=0}^{n-1}i^kC_{n-1}^i2^{\frac{(n-2)(n-1)}{2}}\] 每个点是一样的,所以\[Ans=n\cdot 2^{\frac{(n-2)(n-1)}{2}}\sum_{i=0}^{n-1}C_{n-1}^ii^k\] 考虑如何计算\(\sum_{i=0}^{n-1}C_{n-1}^ii^k\). 然后...dalao看到\(i^k\)就想起了第二类斯特林数: \(S(n,m…

[BZOJ5093]图的价值(第二类斯特林数,组合数学,NTT) 题面 BZOJ 题解 单独考虑每一个点的贡献: 因为不知道它连了几条边,所以枚举一下 \[\sum_{i=0}^{n-1}C_{n-1}^i·i^k·2^{\frac{n(n-1)}{2}}\] 因为有\(n\)个点,所以还要乘以一个\(n\) 所以,我们真正要求的就是: \[\sum_{i=0}^{n-1}C_{n-1}^i·i^k\] 怎么做? 看到了\(i^k\)想到了第二类斯特林数 \[m^n=\sum_{i=0}^{m}…

定义有向图的价值为图中每一个点的度数的 \(k\) 次方之和. 求:对于 \(n\) 个点的无向图所有可能情况的图的价值之和. 遇到这种题,八成是每个点单独算贡献,然后累加起来. 我们可以枚举一个点的度数是多少,然后试着去算该情况下的贡献,即 \(\sum_{i=0}^{n-1}\binom{n-1}{i}i^k\) 由于一共有 \(n\) 个点,而除了我们限定的边之外其余的边都是可以随便连的. 故 \(Ans=n\times 2^{\frac{(n-1)(n-2)}{2}}\times \su…

第二类斯特林数模版题 需要一些组合数的小$ trick$ upd:这里更新了本题巧妙的$ O(k)$做法,虽然常数很大就是了 传送门:here 题意:求所有$ n$个节点的无重边自环图的价值和,定义一张图的价值为每个点度数的$ k$次方和,点有标号 $ Solution$ 显然每个节点的贡献是独立的 枚举每个节点的度数,和这个点不联通的边可连可不连 $ ans=n*2^{\frac{(n-1)(n-2)}{2}}\ \ \sum\limits_{i=0}^{n-1}i^kC_{n-1}^i$ 我…

传送门 首先,题目所求为\[n\times 2^{C_{n-1}^2}\sum_{i=0}^{n-1}C_{n-1}^ii^k\] 即对于每个点\(i\),枚举它的度数,然后计算方案.因为有\(n\)个点,且关于某个点连边的时候剩下的边都可以随便连,所以有前面的两个常数 所以真正要计算的是\[\sum_{i=0}^{n-1}C_{n-1}^ii^k\] 根据第二类斯特林数的性质,有\[i^k=\sum_{j=0}^iS(k,j)\times j!\times C_i^j\] 然后带入,得\[\s…

题目:https://www.lydsy.com/JudgeOnline/problem.php?id=5093 不要见到组合数就拆! 枚举每个点的度数,则答案为 \( n*\sum\limits_{i=0}^{n-1}C_{n-1}^{i}*2^{C_{n-1}^{2}}*i^{k} \) (又是那个公式:\( x^{n}=\sum\limits_{k=0}^{n}C_{x}^{k}*(k!)*S(n,k) \)) \( = n*2^{C_{n-1}^{2}}\sum\limits_{i=0}…

博主曾更过一篇复杂度为$O( k· \log k)$的多项式做法在这里 惊闻本题有$ O(k)$的神仙做法,说起神仙我就想起了于是就去学习了一波 幂与第二类斯特林数 推导看这里 $$ x^k=\sum_{j=0}^kj!\binom{x}{j}\begin{Bmatrix}k\\j\end{Bmatrix}$$ $$ \begin{Bmatrix}k\\j\end{Bmatrix}=\frac{1}{j!}\sum_{i=0}^ji^k\binom{j}{i}(-1)^{j-i}$$ 以上是两个…

题意: 给定\(n\)个点,一个图的价值定义为所有点的度数的\(k\)次方之和. 现在计算所有\(n\)个点的简单无向图的价值之和. 思路: 将式子列出来: \[ \sum_{i=1}^n\sum_{j=0}^{n-1}{n-1\choose j}2^{\frac{(n-1)(n-2)}{2}}j^k \] 表示分别考虑每个点的贡献,我们只需要枚举其度数即可,其余的边任意连. 然后我们将后面的\(j^k\)用第二类斯特林数展开: \[ \begin{aligned} &\sum_{i=1}^{n…