\(\mathcal{Description}\)   Link.   给定 \(x,\{d_i\}_{i=1}^n,\{p_i\}_{i=2}^n,\{b_i\}_{i=2}^n,\{c_i\}_{i=2}^n\),构造矩阵 \(A=(a_{ij})_{n\times n}\): \[a_{ij}=\begin{cases} b_j,&i=p_j\\ c_i,&j=p_i\\ d_i,&i=j\\ x,&\text{otherwise} \end{cases}. \] 求…

\(\mathcal{Description}\)   Link.   在 NOIP 2020 A 的基础上,每条边赋权值 \(a_i\),随机恰好一条边断掉,第 \(i\) 条段的概率正比于 \(a_i\).求每个汇集口收集到污水的期望吨数.答案模 \(998244353\)(我谢谢出题人. \(\mathcal{Solution}\)   方法一 这个题麻烦的地方在于 DAG 上断边,很难将每条断边的贡献一起计算(注意不是"叠加",仅仅是一下子算出分别断开多条边的贡献之和).我们得…

\(\mathcal{Description}\)   给定排列 \(\{p_n\}\),可以在其上进行若干次操作,每次选取 \([l,r]\),把其中所有元素变为原区间最小值,求能够得到的所有不同序列数量.答案对 \((10^9+7)\) 取模.   \(n\le5\times10^3\). \(\mathcal{Solution}\)   一类题型一起写啦,再给出一道类似的题:   给定字符串 \(s\),\(s_i\in\{\text{'R'},\text{'G'},\text{'Y'}\…

\(\mathcal{Description}\)   Link.   给定二分图 \(G=(X\cup Y,E)\),求对于边的一个染色 \(f:E\rightarrow\{1,2,\dots,c\}\),最小化每个结点所染颜色数量极差之和.输出这一最小值.   \(|X|+|Y|,|E|\le10^6\). \(\mathcal{Solution}\)   基于"结论好猜"就能认为这题是签到题吗--   答案显然有下界 \(\sum_{u}\left[c\not\mid \sum_…

\(\mathcal{Description}\)   Link.   破案了,朝鲜时蔬 = 超现实树!(指写得像那什么一样的题面.   对于整数集 \(X\),定义其 好子集 为满足 \(Y\subseteq X\land\left(\sum_{y\in Y}y\right)\mid\left(\sum_{x\in X}x\right)\) 的任意 \(Y\).求 \(S_n=[1,n]\cap\mathbb N\) 的所有 \(m\) 阶子集中,包含 \(k\) 阶 好子集 数量最多的子集数…

\(\mathcal{Description}\)   Link.   给定长度为 \(n\) 的合法表达式序列 \(s\),其中数字仅有一位正数,运算符仅有 - 作为占位.求将其中恰好 \(k\) 个 - 替换为 +,其余 - 替换为 * 的所有方案得到的表达式结果之和.答案模 \((10^9+7)\).   \(n\le10^5\)(可能有无意义的多层括号嵌套),- 的总数 \(m\le2.5\times10^3\). \(\mathcal{Solution}\)   复杂表达式问题,应当考…

\(\mathcal{Description}\)   Link.   一种物品有 长度 和 权值 两种属性,现给定 \(n\) 组物品,第 \(i\) 组有 \(k_i\) 个,分别为 \((1,a_{i,1})..(k_i,a_{i,k_i})\),求在每组物品里恰好选择一个物品,且物品长度和恰为 \(i=n..\sum k\) 时的最大物品权值和.   \(n\le10^5\),\(k_i\le5\). \(\mathcal{Solution}\)   本次 NOIP 模拟赛 考察的知识点…

\(\mathcal{Description}\)   Link.   给定序列 \(\{a_n\}\),和 \(q\) 次形如 \([L,R]\) 的询问,每次回答 \[\sum_{[l,r]\subseteq [L,R]}\min_{i=l}^r\{a_i\}\cdot\max_{i=l}^r\{a_i\}\pmod{10^9+7}. \]   \(n,q\le10^5\). \(\mathcal{Solution}\)   瞬间联想到 这道题,尝试把询问挂到猫树上分治处理.对于分治区间 \…

\(\mathcal{Description}\)   Link   (稍作简化:)对于变量 \(p_{1..n}\),满足 \(p_i\in[0,1],~\sum p_i=1\) 时,求 \(\max \sum_{i=1}^n(p_i-p_i^2)i\).   数据组数 \(T\le10^5\),\(n\le10^6\). \(\mathcal{Solution}\)   Lagrange 乘子法的板题,可惜我不会.(   先忽略 \(p_i\in[0,1]\) 的限制,发现这是一个带约数的最…

\(\mathcal{Description}\)   Link.   一个游戏包含若干次卡牌抽取,每次以 \(p_l\) 的概率得到 \(+1\),\(p_d\) 的概率得到 \(-1\),否则得到 \(0\),操作后以 \(p\) 的概率结束游戏,求每次抽取后,满足 \(+1\) 数量大于 \(-1\) 数量的抽取轮数的期望值.不取模.   \(0<p\le1\),\(0\le p_l,p_d,p_l+p_d\le 1\). \(\mathcal{Solution}\)   我请愿为Tiw…

\(\mathcal{Description}\)   Link.   给定 \(n\) 个函数,第 \(i\) 个有 \(f_i(x)=a_ix^3+b_ix^2+cx_i+d~(x\in[l_i,r_i]\cap\mathbb Z)\),还有 \(m\) 条形如 \(x_u\le x_v+d\) 的限制,请最大化 \(\sum_{i=1}^nf_i(x_i)\) 或声明无解.   \(n,|l_i|,|r_i|\le 100\). \(\mathcal{Solution}\)   很久没遇到…

\(\mathcal{Description}\)   Link.   给定 \(n\) 和 \(m\) 次多项式 \(f(x)\),求 \[\sum_{i=0}^n\binom{n}{i}f(i)\bmod998244353 \]   \(m\le10^5\),\(m\le n\le 10^9\). \(\mathcal{Solution}\)   推式子叭~ \[\begin{aligned} \sum_{i=0}^n\binom{n}{i}f(i)&=\sum_{i=0}^ma_i\sum…

\(\mathcal{Description}\)   Link.   给定 \(n\) 阶排列 \(a\),\(q\) 次询问,每次给出 \(1\le l_1\le r_1<l_2\le r_2\le n\) 且 \(r_1-l_1=r_2-l_2\),询问满足 \(\forall j\in[1,r_1-l_1+1],~a_{j+l_1-1}<a_{b_j+l_2-1}\) 的 \((r_1-l_1+1)\) 阶排列 \(b\) 的个数,模 \((10^9+7)\).   多测,\(\sum…

\(\mathcal{Description}\)   Link.   有一个状态集为 \(V\) 的自动机,状态接收 (, ) 和 _(空格) 三种字符,分别编号为 \(0,1,2\),状态 \(u\) 的 \(i\) 转移指向状态 \(d_{u,i}\),方案数为 \(e_{u,i}\).求从 \(s\) 出发到 \(t\) 终止能接受的长度恰好为 \(n\) 的字符串中,忽略空格后正则匹配的字符串数量.模 \(998244353\).   \(|V|\le2\),\(n\le10^5\).…

\(\mathcal{Description}\)   Link.   有 \(n\) 堆石子,第 \(i\) 堆有 \(x_i\) 个,Alice 每次只能从这堆中拿走 \(a_i\) 个石子,Bob 每次只能从这堆中拿走 \(b_i\) 个石子,不能操作者负.对于 \(i=1,2,\dots,n\),求只考虑 \([1,i]\) 的石子堆时,双方博弈的结果(有 Alice 必胜.Bob 必胜.先手必胜.后手必胜四种结果).   \(n\le10^5\). \(\mathcal{Solutio…

\(\mathcal{Description}\)   Link.   求含有 \(n\) 个结点的所有有标号简单无向图中,最小点覆盖为 \(m\) 的图的数量的奇偶性.\(T\) 组数据.   \(n,m\le3\times10^3\),\(T\le5\times10^3\). \(\mathcal{Solution}\)   太神了叭!   总不能硬刚 NPC,我们必须牢牢把握"奇偶性"带来的便利:若存在某种规则将一类图两两配对,则我们可以忽略这些图而不影响答案.顺便做一步转化,最…

\(\mathcal{Description}\)   Link.   平面上有 \(n\) 个点 \(A_{1..n}\),\(q\) 次询问,每次给出点 \(P\),求 \[\max_{1\le l\le r\le n}\left\{\sum_{i=l}^r \vec{OP}\times\vec{OA_i}\right\}. \]   \(n\le10^5\),\(q\le10^6\). \(\mathcal{Solution}\)   初步转化一下式子: \[\begin{aligned}…

\(\mathcal{Description}\)   Link.   一条地铁线路上共 \(m\) 个站点,\(n\) 个人乘坐地铁,第 \(i\) 个人需要从 \(s_i\) 站坐到 \(e_i\) 站.你可以指挥他们在保证不走回头路的情况下走到某个站,或指挥处于同一个站的两人交换地铁卡.一张从 \(x\) 站进站 \(y\) 站出站的地铁卡花费为 \(|x-y|\),最小化花费和并给出可行方案.   \(n\le10^5\),\(m\le10^6\),方案步骤数 \(\le 4\times…

\(\mathcal{Description}\)   Link.   A B 两人在树上博弈,初始时有一枚棋子在结点 \(1\).由 A 先操作,两人轮流移动沿树上路径棋子,且满足本次移动的树上距离严格大于上次的,无法移动者负.先给定一棵含 \(n\) 个结点的树,求包含结点 \(1\) 且使得 B 必胜的联通块数量.   \(n\le2\times10^5\). \(\mathcal{Solution}\)   结论对了正解写了细节萎了暴力分都没了 qwq--   结论:联通块满足条件,当且…

\(\mathcal{Description}\)   Link.   有 \(n\) 种物品,第 \(i\) 中有 \(a_i\) 个,单价为 \(b_i\).共 \(q\) 次询问,每次查询用不超过 \(c\) 的钱购买种类在 \([l,r]\) 之中的物品,有多少种方案.强制在线:答案对 \(998244353\) 取模.   \(n\le10^4\),\(q\le5\times10^4\),\(c\le10^3\). \(\mathcal{Solution}\)   快速回答区间询问,最…

\(\mathcal{Description}\)   有 \(n\) 个黑盒,第 \(i\) 个黑盒可以让输入变量以 \(p_i\) 的概率保持不变,以 \(\frac{1-p_i}2\) 的概率加一或减一.称一次从 \(i\) 开始的游戏为:初始变量的值为 \(0\),从 \(i\) 开始,将变量依次输入 \(i,i+1,\dots,n,1,2,\dots,n,\dots\),直到变量的绝对值大于 \(m\).处理 \(q\) 次操作: 求此时一次从某个 \(i\) 开始的游戏期望经过多少个…

\(\mathcal{Description}\)   Link.   给定一棵含有 \(n\) 个结点的树,设 \(S\) 为其中的非空联通子集,求 \[\sum_{S}(\gcd_{u\in S}u)^{|S|}. \]   \(n\le2\times10^5\). \(\mathcal{Solution}\)   直接莫反(为什么当时我迟疑那么久 qwq): \[\sum_{S}(\gcd_{u\in S}u)^{|S|}=\sum_{d=1}^n\sum_{dt|s_j,j=1,2,\c…

\(\mathcal{Description}\)   Link.   给定 \(n\) 和 \(q\) 次询问,每次询问给出 \(x,k\),求第 \(x\) 位为 0 且任意两个 1 的下标之差不小于 \(k\) 的长度为 \(n\) 的 01 序列数量.   \(n,q\le10^5\). \(\mathcal{Solution}\)   "不小与 \(k\)"可能在复杂度中体现为"\(\div k\)",考虑根号分治.   对于 \(k\le\sqrt n\…

0x00 前言 一些吐槽. 考得很变态诶,看每道题平均两秒的时限就知道了... T1 降智了想到后缀懒得打. T2 口胡了假优化,结果和暴力分一样?? T3 黑题还绑点?? \(50 + 80 + 0 = 130\) 沦为平民了www. 0x01 T1 一 道 好 题. 题目描述不在赘述,Link.这道题抽象概括出模型后反而更复杂 )) 首先,不难往 \(dp\) 方向去想. 我们定义 \(dp[i][j]\) 表示处理到第 \(i\) 个语句时,第 \(i\) 个语句处在第 \(j\) 个缩进…

\(\mathcal{Description}\)   Link.   给定 \(n\) 个点 \((x_i,y_i)\),求一个不超过 \(n-1\) 次的多项式 \(f(x)\),使得 \(f(x_i)\equiv y_i\pmod{998244353}\).   \(n\le10^5\). \(\mathcal{Solution}\)   摆出 Lagrange 插值的式子: \[f(z)=\sum_{i=1}^ny_i\prod_{j\neq i}\frac{z-x_j}{x_i-x_j…

\(\mathcal{Description}\)   Link.   给定点集 \(\{P_n\}\),\(P_i=(i,h_i)\),\(m\) 次修改,每次修改某个 \(h_i\),在每次修改后求出 \((0,0)\cup\{P_n\}\) 的下凸壳大小(输出时 \(-1\)).   \(n,m\le10^5\),\(h_i\ge0\). \(\mathcal{Solution}\)   令 \(k_i=\frac{h_i}{i}\),我们相当于要维护 \(\{k_n\}\) 中从 \(k…

\(\mathcal{Description}\)   Link.   给定二分图 \(G=(V=X\cup Y,E)\),\(|X|=|Y|=n\),边 \((u,v)\in E\) 有权 \(w(u,v)\),且保证存在完美匹配.求 \(G\) 的一个匹配 \(M\),最大化 \(\sum_{(u,v)\in M}w(u,v)\).   \(n\le500\). \(\mathcal{Solution}\)   首先我会费用流.   Kuhn-Munkres 算法,能够在 \(\mathca…

\(\mathcal{Description}\)   OurOJ & 洛谷 P4372(几乎一致)   设计一个排序算法,设现在对 \(\{a_n\}\) 中 \([l,r]\) 内的元素排序,则重复冒泡排序零次或多次,直到存在某个位置 \(p\in[l,r)\),满足 \(\max_{i=l}^p\{a_i\}<\min_{i=p+1}^r\{a_i\}\),则递归入 \([l,p]\) 和 \((p,r]\),直到区间长度为 \(1\) 时停止.求所有冒泡排序所操作的区间长度之和.  …

\(\mathcal{Description}\)   Link.   给定 \(\{a_n\}\),求: \[\sum_{i=1}^n\sum_{j=i}^n(j-i+1)\min_{k=i}^j\{a_k\}\max_{k=i}^j\{a_k\} \]   答案对 \(10^9\) 取模. \(\mathcal{Solution}\)   挺可爱的一道题 w.   静态序列计数问题,可以考虑分治:对于 \([l,r]\)(\(l<r\)),令分割点 \(p=\lfloor\frac{l+r}…

\(\mathcal{Description}\)   Link.   给定一棵 \(n\) 个点的带点权树,删除 \(u\) 点的代价是该点点权 \(a_u\).\(m\) 次操作: 修改单点点权. 询问让某棵子树的根不可到达子树内任意一片叶子的代价.   \(n,m\le2\times10^5\). \(\mathcal{Solution}\)   不考虑修改,列出 DP: \[f(u)=\begin{cases}a_u&u\text{ is leaf}\\\min\{a_u,\sum_vf…