51nod 1238 最小公倍数之和 V3

51nod 1238 最小公倍数之和 V3 求 \[ \sum_{i=1}^N\sum_{j=1}^N lcm(i,j) \] $N\leq 10^{10}$ 先按照套路推一波反演的式子: \[ Ans=\sum_{g=1}g\sum_{i=1}^{\frac{n}{g}}\sum_{j=1}^{\frac{n}{g}}ij\sum_{d|i,d|j}\mu(d)\\ =\sum_{g=1}g\sum_{d=1}^{\frac{n}{g}}d^2\mu(d)S^2(\frac{n}{dg})…

51NOD 1238 最小公倍数之和 V3 [杜教筛]

1238 最小公倍数之和 V3 三种做法!!! 见学习笔记,这里只贴代码 #include <iostream> #include <cstdio> #include <cstring> #include <algorithm> #include <cmath> using namespace std; typedef long long ll; const int N = 4641590, U = 4641588, mo = 1e9+7, in…

51nod 1238 最小公倍数之和 V3 【欧拉函数+杜教筛】

首先题目中给出的代码打错了,少了个等于号,应该是 G=0; for(i=1;i<=N;i++) for(j=1;j<=N;j++) { G = (G + lcm(i,j)) % 1000000007; } 然后就是大力推公式: \[ \sum_{i=1}^{n}\sum_{j=1}^{n}lcm(i,j) \] \[ =\sum_{i=1}^{n}\sum_{j=1}^{n}\frac{ij}{gcd(i,j)} \] \[ =\sum_{d=1}^{n}\sum_{i=1}^{n}\sum_…

51Nod 1238 最小公倍数之和V3

题目传送门分析: 现在我们需要求: $~~~~\sum_{i=1}^{n}\sum_{j=1}^{n}lcm(i,j)$ $=\sum_{i=1}^{n}\sum_{j=1}^{n}\frac{i ~\cdot ~j}{gcd(i,j)}$ $=\sum_{d=1}^{n}d\sum_{i=1}^{\lfloor\frac{n}{d}\rfloor}\sum_{j=1}^{\lfloor\frac{n}{d}\rfloor}i\cdot j \cdot [gcd(i,j)=1]$…

51Nod 1238 - 最小公倍数之和 V3（毒瘤数学+杜教筛）

题目戳这里推导 ∑i=1n∑j=1nlcm(i,j)~~~\sum_{i=1}^{n}\sum_{j=1}^{n}lcm(i,j) ∑i=1n∑j=1nlcm(i,j) =∑i=1n∑j=1nijgcd(i,j)=\sum_{i=1}^{n}\sum_{j=1}^{n}\frac{ij}{gcd(i,j)}=∑i=1n∑j=1ngcd(i,j)ij =∑i=1nd−1∑i=1n∑j=1nij[gcd(i,j)==d]=\sum_{i=1}^{n}d^{-1}\sum_{i=1}…

【51nod】1238 最小公倍数之和 V3 杜教筛

[题意]给定n,求Σi=1~nΣj=1~n lcm(i,j),n<=10^10. [算法]杜教筛 [题解]就因为写了这个非常规写法,我折腾了3天…… $$ans=\sum_{i=1}^{n}\sum_{j=1}^{n}lcm(i,j)$$ 令 $$g(n)=n*\sum_{i=1}^{n}\frac{i}{(n,i)}$$ 那么 $$ans(n)=2*g(n)-\sum_{i=1}^{n}i$$ 枚举gcd,化简g(n). $$g(n)=n*\sum_{d|n}1/d\sum_{i=1}^{n}…

51 NOD 1238 最小公倍数之和 V3

原题链接最近被51NOD的数论题各种刷……(NOI快到了我在干什么啊! 然后发现这题在网上找不到题解……那么既然A了就来骗一波访问量吧…… (然而并不怎么会用什么公式编辑器,写得丑也凑合着看吧…… $$ANS=\sum_{i=1}^{n}\sum_{j=1}^{n} \frac{i*j}{gcd(i,j)}$$$$=\sum_{d=1}^{n} d*\sum_{i=1}^{\left\lfloor\frac{n}{d}\right\rfloor} \sum_{j=1}^{\left\lfloo…

51 Nod 1238 最小公倍数之和 V3 杜教筛

题目链接:http://www.51nod.com/Challenge/Problem.html#!#problemId=1238 题意:求$\sum_{i=1}^{n}\sum_{j=1}^{n}lcm(i,j)=\sum_{i=1}^{n}\sum_{j=1}^{n}{\frac{i*j}{gcd(i,j)}}$,$1\leq{n}\leq10^{10}$. 知识提要:小于等于n中与n互质的数总和为$\sum_{i=1}^{n}[(n,i)=1]i=\frac{\varphi(n)*n+[n…

[51Nod 1238] 最小公倍数之和 (恶心杜教筛)

题目描述求∑i=1N∑j=1Nlcm(i,j)\sum_{i=1}^N\sum_{j=1}^Nlcm(i,j)i=1∑Nj=1∑Nlcm(i,j) 2<=N<=10102<=N<=10^{10}2<=N<=1010 题目分析这道题题面跟[bzoj 2693] jzptab & [bzoj 2154] Crash的数字表格一样,然而数据范围加强到了101010^{10}1010,莫比乌斯反演不行了了,所以我们看看怎样玄学杜教筛 Ans=∑i=1n∑j=1n…

【学术篇】51nod 1238 最小公倍数之和

这是一道杜教筛的入(du)门(liu)题目... 题目大意求 \[ \sum_{i=1}^n\sum_{j=1}^nlcm(i,j) \] 一看就是辣鸡反演一类的题目, 那就化式子呗.. \[ \sum_{i=1}^n\sum_{j=1}^nlcm(i,j) \\ =\sum_{i=1}^n\sum_{j=1}^n\frac{ij}{gcd(i,j)} \\ =\sum_{i=1}^n\sum_{j=1}^n\sum_{k=1}^n\frac{ij}k[gcd(i,j)=k] \\ =\sum…

51nod 1190 最小公倍数之和 V2

给出2个数a, b,求LCM(a,b) + LCM(a+1,b) + .. + LCM(b,b). 例如:a = 1, b = 6,1,2,3,4,5,6 同6的最小公倍数分别为6,6,6,12,30,6,加在一起 = 66. 由于结果可能很大,输出Mod 10^9 + 7的结果.(测试数据为随机数据,没有构造特别坑人的Test) Input 第1行:一个数T,表示后面用作输入测试的数的数量.(1 <= T <= 50000) 第2 - T + 1行:每行2个数a, b,中间用空格分隔(1 &…

51nod 1363 最小公倍数之和 ——欧拉函数

给出一个n,求1-n这n个数,同n的最小公倍数的和.例如:n = 6,1,2,3,4,5,6 同6的最小公倍数分别为6,6,6,12,30,6,加在一起 = 66. 由于结果很大,输出Mod 1000000007的结果. Input 第1行:一个数T,表示后面用作输入测试的数的数量.(1 <= T <= 50000) 第2 - T + 1行:T个数A[i](A[i] <= 10^9) Output 共T行,输出对应的最小公倍数之和 Input示例 3 5 6 9 Output示例 55…

【51Nod 1238】最小公倍数之和 V3

http://www.51nod.com/onlineJudge/questionCode.html#!problemId=1238 设$A(n)=\sum\limits_{i=1}^n\frac{in}{(i,n)}$,则$ans=\sum\limits_{i=1}^n\left(2A(i)-i\right)$ \[ \begin{aligned} A(n)=&n\sum_{d|n}\sum_{i=1}^{\frac nd}i\left[\left(i,\frac nd\right)=…

51Nod 最小公倍数之和V3

这题公式真tm难推……为了这题费了我一个草稿本…… woc……在51Nod上码LaTeX码了两个多小时…… 一开始码完了前半段,刚码完后半段突然被51Nod吃了,重新码完后半段之后前半段又被吃了,吓得我赶紧换Notepad++接着写…… 有的细节懒得再码了,这么一坨LaTeX估计也够你们看了…… \begin{equation}ans=\sum_{i=1}^n\sum_{j=1}^n [i,j]\\=2\sum_{i=1}^n\sum_{j=1}^i [i,j]-\frac{n(n+1)}2\\…

51nod1238. 最小公倍数之和 V3（数论）

题目链接 https://www.51nod.com/Challenge/Problem.html#!#problemId=1238 题解本来想做个杜教筛板子题结果用另一种方法过了...... 所谓的"另一种方法"用到的一些技巧还是挺不错的,因此这里简单介绍一下. 首先还是基本的推式子: \[\begin{aligned}\sum_{i = 1}^n \sum_{j = 1}^n {\rm lcm}(i, j) &= \sum_{i = 1}^n \sum_{j = 1}^n…

51nod1238 最小公倍数之和 V3 莫比乌斯函数杜教筛

题意:求$\sum_{i = 1}^{n}\sum_{j = 1}^{n}lcm(i, j)$. 题解:虽然网上很多题解说用mu卡不过去,,,不过试了一下貌似时间还挺充足的,..也许有时间用phi试试? 因为是用的莫比乌斯函数求的,所以推导比大部分题解多...而且我写式子一般都比较详细,所以可能看上去很多式子,实际上是因为每一步都写了,几乎没有跳过的.所以应该都可以看懂的. 末尾的$e$函数是指的$e[1] = 1$,$e[x] = 0(x != 1)$这样一个函数 \[\sum…

51nod - 1363 - 最小公倍数之和 - 数论

https://www.51nod.com/Challenge/Problem.html#!#problemId=1363 求$\sum\limits_{i=1}^{n}lcm(i,n)$ 先换成gcd: $\sum\limits_{i=1}^{n}\frac{i*n}{gcd(i,n)}$ 显而易见,枚举g: $ n * \sum\limits_{g|n} \frac{1}{g} \sum\limits_{i=1}^{n} i*[gcd(i,n)==g] $ 提g,没有下整符号: $…

[51nod1238]最小公倍数之和V3

来自FallDream的博客,未经允许,请勿转载,谢谢. ------------------------------------------------------------------------------------------ 题意:求$$\sum_{i=1}^{n}\sum_{j=1}^{n}lcm(i,j) \\\ n\leqslant 10^{10}$$ 题解:题目即求$$\sum_{i=1}^{n}\sum_{j=1}^{n}\frac{i*j}{gcd(i,j)}…

51nod1238 最小公倍数之和 V3(莫比乌斯反演)

题意题目链接 Sol 不想打公式了,最后就是求一个 $\sum_{i=1}^n ig(\frac{N}{i})$ $g(i) = \sum_{i=1}^n \phi(i) i^2$ 拉个$id2$卷一下这个博客推的狠详细 #include<bits/stdc++.h> #define int long long #define LL long long using namespace std; const int MAXN = 1e6 + 10, mod = 1e9 + 7,…

51nod1238 最小公倍数之和 V3

又被这神仙题给坑爆了. 神仙题解. 一开始我把lcm变成ij/gcd然后按照常规套路去推,推到最后发现不是miu * Id而是miu · Id......这还搞鬼啊. 正解居然跟这个差不多,先转成求其中一部分的函数,然后再加和......这谁顶得住呀. 大概就是先求这个一顿操作之后得到了phi有关的式子...... 然后原式就是这个然后带进去推一推就出来杜教筛了...这第一步真是神奇. 最后是这个. 按照套路,前面分块,后面配一个g(x) = x2即可. #include <cstdio>…

[51Nod1238]最小公倍数之和 V3[杜教筛]

题意给定 $n$ ,求 $\sum_{i=1}^n \sum_{j=1}^n lcm(i,j)$. $n\leq 10^{10}$ 分析推式子 \[\begin{aligned} ans &= 2\sum_{i=1}^n\sum_{j=1}^ilcm(i,j)-\sum_{i=1}^nlcm(i,i) \\ &=2\sum_{i=1}^n \sum_{j=1}^i \frac{ij}{(i,j)}-\frac{n(n+1)}{2} \\ &=2\sum_{d=1}^…

[51nod1238] 最小公倍数之和 V3（杜教筛）

题面传送门题解懒了--这里写得挺好的-- //minamoto #include<bits/stdc++.h> #define R register #define ll long long #define IT map<ll,int>::iterator #define fp(i,a,b) for(R int i=a,I=b+1;i<I;++i) #define fd(i,a,b) for(R int i=a,I=b-1;i>I;--i) #define go(…

51nod 1190 最小公倍数之和 V2【莫比乌斯反演】

参考:http://blog.csdn.net/u014610830/article/details/49493279 这道题做起来感觉非常奇怪啊--头一次见把mu推出来再推没了的-- \[ \sum_{i=a}^{b}lcm(i,b) \] \[ \sum_{i=a}^{b}\frac{i*b}{gcd(i,b)} \] \[ \sum_{d|b}\sum_{i=a}^{b}[gcd(i,b)==d]\frac{ib}{d} \] \[ \sum_{d|b}\sum_{i=\left \lfl…

51Nod 最大公约数之和V1,V2,V3;最小公倍数之和V1,V2,V3

1040 最大公约数之和给出一个n,求1-n这n个数,同n的最大公约数的和.比如:n = 6 1,2,3,4,5,6 同6的最大公约数分别为1,2,3,2,1,6,加在一起 = 15 输入 1个数N(N <= 10^9) 输出公约数之和输入样例 6 输出样例 15 题解 \[ \sum_{i=1}^n\gcd(i,n)=\sum_{d|n}d\varphi(n) \] 暴力搞就行了. 1188 最大公约数之和 V2 给出一个数N,输出小于等于N的所有数,两两之间的最大公约数之和. 相当于计…

51NOD 1237 最大公约数之和 V3 [杜教筛]

1237 最大公约数之和 V3 题意:求$\sum_{i=1}^n\sum_{j=1}^n(i,j)$ 令$A(n)=\sum_{i=1}^n(n,i) = \sum_{d\mid n}d \cdot \varphi(\frac{n}{d})$ $ans = 2*\sum_{i=1}^n A(i) -\sum_{i=1}^ni$ 套路推♂倒 \[ S(n) =\sum_{i=1}^n\sum_{d\mid i}d \cdot \varphi(\frac{i}{d}) =\sum_{i…

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