FWT能解决什么 有的时候我们会遇到要求一类卷积,如下: Ci=∑j⊕k=iAj∗Bk\large C_i=\sum_{j⊕k=i}A_j*B_kCi​=j⊕k=i∑​Aj​∗Bk​此处乘号为普通乘法,⊕⊕⊕表示一种位运算,如 与 and(&).and(\&).and(&).或 or(∣).or(|).or(∣).异或 xor(xor(xor(^))) LaTeX\Large\LaTeXLATE​X打不了 ^ 啊-qwq FWT思想 首先因为是位运算,所以需要按位分解.又因为是卷积…

FWT快速沃尔什变换学习笔记 1.FWT用来干啥啊 回忆一下多项式的卷积\(C_k=\sum_{i+j=k}A_i*B_j\) 我们可以用\(FFT\)来做. 甚至在一些特殊情况下,我们\(C_k=\sum_{i*j=k}A_i*B_j\)也能做(SDOI2015 序列统计). 但是,如果我们把操作符换一下呢? 比如这样? \(C_k=\sum_{i|j=k}A_i*B_j\) \(C_k=\sum_{i\&j=k}A_i*B_j\) \(C_k=\sum_{i\wedge j=k}A_i*B_…

解决涉及子集配凑的卷积问题 一.介绍 1.基本用法 FWT快速沃尔什变换学习笔记 就是解决一类问题: $f[k]=\sum_{i\oplus j=k}a[i]*b[j]$ 基本思想和FFT类似. 首先转化成为另一个多项式$FWT(A),FWT(B)$ 使得:$FWT(A\oplus B)=FWT(A)×FWT(B)$ 这里,$×$是按位乘.这个是$O(n)$的. 然后,再$IFWT$回去即可. 类似于,直接过马路不好走.先从左边走上一座天桥,再从天桥走过去,再到马路右侧走下天桥. 就变成了$O(…

其实FWT我啥都不会,反正就是记一波结论,记住就好-- 具体证明的话,推荐博客:FWT快速沃尔什变换学习笔记 现有一些卷积,形如 \(C_k=\sum\limits_{i\lor j=k}A_i*B_j\) \(C_k=\sum\limits_{i\land j=k}A_i*B_j\) \(C_k=\sum\limits_{i\oplus j=k}A_i*B_j\) 然后普通的FFT肯定应付不了这玩意,于是就有了FWT(快速沃尔什变换),然后我就直接写结论好了-- FWT--Or卷积 我们把多项…

知识点简单总结--FWT(快速沃尔什变换),FST(快速子集变换) 闲话 博客园的markdown也太傻逼了吧. 快速沃尔什变换 位运算卷积 形如 $ f[ i ] = \sum\limits_{ j \oplus k = i} g[ j ] * h[ k ] $ 的形式的式子. 正常计算是 $ n^{ 2 } $ . 与运算卷积 众所周知有 $ ( i \& j ) == k \longleftrightarrow ( i \& k == k ) \& \& ( j \&…

模板题 传送门 #include<bits/stdc++.h> #define ll long long #define max(a,b) ((a)>(b)?(a):(b)) #define min(a,b) ((a)<(b)?(a):(b)) #define swap(a,b) (a^=b^=a^=b) inline ll read() { ll x=0,f=1;char ch=getchar(); while(ch<'0'||ch>'9'){if(ch=='-')f…

这是我的第一篇学习笔记,如有差错,请海涵... 目录 引子 卷积形式 算法流程 OR卷积 AND卷积 XOR卷积 模板 引子 首先,考虑这是兔子 数一数,会发现你有一只兔子,现在,我再给你一只兔子 再数一数,会发现什么?没错,你有两只兔子,也就是说,1+1=2! 这就是算数的基本原理了,聪明的你懂了吗? 好,我们可以学FWT了.. 卷积形式 我们回忆一下多项式乘法的式子: 这个可以用FFT或NTT优化到O(nlogn)求出每一个Ci,但不是本章的重点,只是引出卷积的概念: 而FWT主要是解决以下…

前言 学多项式怎么能错过\(FWT\)呢,然而这真是个毒瘤的东西,蒟蒻就只会背公式了\(\%>\_<\%\) 或卷积 \[\begin{aligned}\\ tf(A) = (tf(A_0), tf(A_1) + tf(A_0))\\ utf(A) = (utf(A), utf(A_1) - utf(A_0))\\ \end{aligned}\] 与卷积 \[\begin{aligned}\\ tf(A) = (tf(A_0) + tf(A_1), tf(A_1))\\ utf(A) = (u…

最近在学FWT,抽点时间出来把这个算法总结一下. 快速沃尔什变换(Fast Walsh-Hadamard Transform),简称FWT.是快速完成集合卷积运算的一种算法. 主要功能是求:,其中为集合运算符. 就像FFT一样,FWT是对数组的一种变换,我们称数组X的变换为FWT(X). 所以FWT的核心思想是: 为了求得C=A★B,我们瞎搞搞出一个变换FWT(X), 使得FWT(C)=FWT(A)  FWT(B),然后根据FWT(C)求得C. (其中★表示卷积运算,表示将数组对应下标的数相乘的…

〇.前言 之前看到异或就担心是 FWT,然后才开始想别的. 这次学了 FWT 以后,以后判断应该就很快了吧? 参考资料 FWT 详解 知识点 by neither_nor 集训队论文 2015 集合幂级数的性质与应用及其快速算法 by 吕凯风 一.FWT 是什么 FWT 是快速沃尔什变换.它和快速傅里叶变换一样,原本都用于物理中的频谱分析. 但是由于它可分治的特点,在算法竞赛中常被用来计算位运算卷积. 二.FWT 能干什么 它可以在 \(O(n\log n)\) 的时间复杂度内由数组 \(a,b…