传送门 又是喜闻乐见的\(k\)次幂求和题目 那么\(S(x) = \sum\limits_{i=1}^n dist(i,x)^k = \sum\limits_{i=1}^n \sum\limits_{j=1}^k \binom{dist(i,x)}{j} \left\{ \begin{array}{cccc} k \\ j \end{array}\right\} j! = \sum\limits_{j=1}^k \left\{ \begin{array}{cccc} k \\ j \end{a…

根据组合意义,有nk=ΣC(n,i)*i!*S(k,i) (i=0~k),即将k个有标号球放进n个有标号盒子的方案数=在n个盒子中选i个将k个有标号球放入并且每个盒子至少有一个球. 回到本题,可以令f[i][j]表示ΣC(dis(i,k),j) (k为i子树中节点),通过C(i,j)=C(i-1,j)+C(i-1,j-1)转移. #include<iostream> #include<cstdio> #include<cmath> #include<cstdlib…

题意 给定一棵 \(n\) 个点的树和一个常数 \(k\) , 对于每个 \(i\) , 求 \[\displaystyle S(i) = \sum _{j=1} ^ {n} \mathrm{dist}(i, j)^k\] \(n ≤ 50000, k ≤ 150\) 题解 先划划那个 \(S(i)\) 的式子 我们需要知道一个化 \(x^n(n \ge 0)\) 的东西qwq \[\displaystyle x^n=\sum_{k=0}^{n}\begin{Bmatrix} n \\ k \e…

传送门 题意: 给出一颗\(n\)个结点的树,对于每个结点输出其答案,每个结点的答案为\(ans_x=\sum_{i=1}^ndis(x,i)^k\). 思路: 我们对于每个结点将其答案展开: \[ \begin{aligned} ans_x=&\sum_{i=0}^{n}\sum_{j=0}^k{dis(x,i)\choose j}j!\begin{Bmatrix} k \\ j \end{Bmatrix}\\ =&\sum_{j=0}^kj!\begin{Bmatrix} k \\ j…

[2011集训贾志鹏]Crash的文明世界 Description Crash小朋友最近迷上了一款游戏--文明5(Civilization V).在这个游戏中,玩家可以建立和发展自己的国家,通过外交和别的国家交流,或是通过战争征服别的国家. 现在Crash已经拥有了一个N个城市的国家,这些城市之间通过道路相连.由于建设道路是有花费的,因此Crash只修建了N-1条道路连接这些城市,不过可以保证任意两个城市都有路径相通. 在游戏中,Crash需要选择一个城市作为他的国家的首都,选择首都需要考虑很多…

[BZOJ2159]Crash的文明世界(第二类斯特林数,动态规划) 题面 BZOJ 洛谷 题解 看到\(k\)次方的式子就可以往二项式的展开上面考,但是显然这样子的复杂度会有一个\(O(k^2)\),因此需要换别的方法. 注意到自然指数幂和第二林斯特林数之间的关系: \[n^k=\sum_{i=0}^k \begin{Bmatrix}k\\i\end{Bmatrix}{n\choose i}i!\] 那么将答案式化简 \[\begin{aligned} Ans_x&=\sum_{i=1}^N…

题目 [国家集训队] Crash 的文明世界 前置 斯特林数\(\Longrightarrow\)斯特林数及反演总结 做法 \[\begin{aligned} ans_x&=\sum\limits_{i=1}^ndis(i,x)^k\\ &=\sum\limits_{i=1}^n\sum\limits_{j=0}^k\begin{Bmatrix}k\\j\end{Bmatrix}C_{dis(i,x)}^jj!\\ &=\sum\limits_{j=0}^k\begin{Bmatr…

「国家集训队」 Crash 的文明世界 提供一种不需要脑子的方法. 其实是看洛谷讨论版看出来的( (但是全网也就这一篇这个方法的题解了) 首先这是一个关于树上路径的问题,我们可以无脑上点分治. 考虑当以 \(root\) 为根时,如何计算经过 \(root\) 的路径对某一个点的贡献. 若现在我们要找经过 \(root\) 的路径中长度为 \(d\) 且路径的一端为 \(u\). 则这一部分的贡献为 \(v_{d}cnt_{d-h_u}\),其中 \(v_d=d^k\),\(h_u\) 表示点…

BZOJ 洛谷 挺套路但并不难的一道题 \(Description\) 给定一棵\(n\)个点的树和\(K\),边权为\(1\).对于每个点\(x\),求\(S(x)=\sum_{i=1}^ndis(x,i)^K\). \(n\leq50000,\ k\leq150\). \(Solution\) 和其它求\(x^k\)的题一样,依旧用第二类斯特林数展开.(二项式定理依旧可以得到部分分,依旧不想看=-=) \[\begin{aligned}S(x)&=\sum_{i=1}^ndis(x,i)^K…

题意:给定一棵树,求$S(i)=\sum_{j=1}^{n}dist(i,j)^k$.题解:根据斯特林数反演得到:$n^m=\sum_{i=0}^{n}C(n,i)\times i!\times S(m,i)$故$S(i)=\sum_{k=1}^{m}S(m,k)\times k!\times\sum_{j=1}^{n}C(dist(i,j),k)$用$f[i][k]$表示$C(dist(i,j),k)$,通过$Pascal$公式:$C(n,m)=C(n,m-1)+C(n-1,m-1)$,用树形…

题目:https://www.lydsy.com/JudgeOnline/problem.php?id=2159 学习材料:https://blog.csdn.net/litble/article/details/80882581 https://www.cnblogs.com/Wuweizheng/p/8638858.html http://www.cnblogs.com/zhouzhendong/p/Stirling-Number.html https://blog.csdn.net/qq_…

题目:https://www.lydsy.com/JudgeOnline/problem.php?id=2159 使用公式:\( n^{k} = \sum\limits_{i=0}^{k} S(k,i) * i! * C_{n}^{i} \) 所以维护 \( f[x][i] = \sum\limits_{u\in subtree[x],d=dist(x,u)} C_{d}^{i} \) 然后利用 \( C_{n}^{m} = C_{n-1}^{m} + C_{n-1}^{m-1} \),可以树形…

传送门 对于点\(u\),所求为\[\sum_{i=1}^ndis(i,u)^k\] 把后面那堆东西化成第二类斯特林数,有\[\sum_{i=1}^n\sum_{j=0}^kS(k,j)\times j!\times{dis(i,u)\choose j}\] \[\sum_{j=1}^nS(k,j)\times j!\sum_{i=0}^k{dis(i,u)\choose j}\] 于是对于每个点只要维护好\(\sum_{i=0}^k{dis(i,u)\choose j}\)就好了 因为\({n…

Description Crash小朋友最近迷上了一款游戏——文明5(Civilization V).在这个游戏中,玩家可以建立和发展自己的国家,通过外交和别的国家交流,或是通过战争征服别的国家.现在Crash已经拥有了一个N个城市的国家,这些城市之间通过道路相连.由于建设道路是有花费的,因此Crash只修建了N-1条道路连接这些城市,不过可以保证任意两个城市都有路径相通.在游戏中,Crash需要选择一个城市作为他的国家的首都,选择首都需要考虑很多指标,有一个指标是这样的:$S(i)=\sum…

先写一个五十分的思路吧 首先这道题有一个弱化版 [POI2008]STA-Station 相当于\(k=1\),于是就是一个非常简单的树形\(dp\)的\(up\ \ and\ \ down\)思想 但是我们现在要求的是这个柿子了 \[\sum_{j=1}^ndis(i,j)^k\] 感觉这个东西很组合数学啊,感觉这个柿子像是天生为二项式定理准备的 我们还是考虑树形\(dp\) 在第一遍\(up\)的时候,我们设\(dp[i][k]\)表示 \[\sum_{j\in{i}}dis(i,j)^k\…

$x^k=\sum_{i=1}^k Stirling2(k,i)\times i!\times C(x,i)$ 设$f[i][j]=\sum_{k=1}^n C(dist(i,k),j)$. 则可以利用$C(i,j)=C(i-1,j-1)+C(i-1,j)$,通过树形DP求出$f$. 时间复杂度$O((n+k)k)$. #include<cstdio> const int N=50010,M=155,P=10007; int n,k,i,j,x,y,S[M][M],fac[M],g[N],v[…

今天看到一个鬼题 心情好的时候写 [题意]求树上所有点对距离的k次方和,所有边权为1 大爷方的题解:http://tonyfang.is-programmer.com/posts/204972.html#comment917606 [题解] 要求的是所有的 首先我们解决一个问题,就是这个k次方 我们设斯特林数 根据斯特林数的定义可以发现 为了方便计算,我们把这个变形一下 那么 然后我们可以在树形dp中求出后面这个 一坨,然后再O(n,k)的时间计算答案即可…

不错的树形$ DP$的题 可为什么我自带大常数啊$ cry$ 链接:here 题意:给定一棵$ n$个节点的树,边权为$ 1$,对于每个点$ x$求$ \sum\limits_{i=1}^n dist(x,i)^k$ 数据范围:$ n<=50000,k<=150$ $ Solution$ 直接推式子 上下$ DP$先考虑子树内的贡献 有$ in(x)^k=\sum\limits (in(son[x])+1)^k$ 这是因为自己子树内的每个点到自己的距离都$ ++$ 再考虑子树外的贡献 有$ o…

题面 这种套着高次幂的统计问题一般都要用到第二类斯特林数和自然数幂的关系:$a^k=\sum\limits_{i=0}^{k}S_k^iC_a^i*i!$ 那么对于每个点$x$有: $ans_x=\sum\limits_{i=0}^k S_{k}^i C_{\sum dis(x,j)}^i i!$ 问题变成求$C_{\sum dis(x,j)}^i$,神仙告诉我们,这个东西要DP求 为什么要DP求?先往下看 那么就设$dp[i][k]$表示以i为根的子树里$C_{\sum dis(i,j)}^k…

Description 给定一棵\(n\le 10^5\)的树, 和\(k\le 150\) 求每个点\(x\)的\[S(x) = \sum_{y=1}^n dis(x, y) ^ k\] Analysis k比较小, 考虑斯特林展开 \[ \begin{aligned} S(x) &= \sum_{y=1}^n dis(x, y)^k\\ &=\sum_{y=1}^n \sum_{i=0}^k \left\{\begin{matrix}k\\i\end{matrix}\right\} i…

Description Crash 小朋友最近迷上了一款游戏--文明5(Civilization V).在这个游戏中,玩家可以建立和发展自己的国家,通过外交和别的国家交流,或是通过战争征服别的国家.现在Crash 已经拥有了一个N 个城市的国家,这些城市之间通过道路相连.由于建设道路是有花费的,因此Crash 只修建了N-1 条道路连接这些城市,不过可以保证任意两个城市都有路径相通.在游戏中,Crash 需要选择一个城市作为他的国家的首都,选择首都需要考虑很多指标,有一个指标是这样的: 其中S(…

题目链接 BZOJ2159 题解 显然不能直接做点分之类的,观察式子中存在式子\(n^k\) 可以考虑到 \[n^k = \sum\limits_{i = 0} \begin{Bmatrix} k \\ i \end{Bmatrix} {n \choose i}i!\] 发现\(k\)很小,对于每个点可以直接\(O(k)\)计算 所以我们只需求出 \[f[i][j] = \sum\limits_{x = 1}^{N}{dis(i,x) \choose j}\] 转移可以利用 \[{n \choo…

这个题非常巧妙啊~ #include <bits/stdc++.h> #define M 170 #define N 50003 #define mod 10007 #define LL long long #define setIO(s) freopen(s".in","r",stdin) using namespace std; inline int qpow(int x,int y) { int tmp=1; for(;y;y>>=1,…

传送门 解题思路 比较有意思的一道数学题.首先\(n*k^2\)的做法比较好想,就是维护一个\(x^i\)这种东西,然后转移的时候用二项式定理拆开转移.然后有一个比较有意思的结论就是把求\(x^i\)这种东西变成组合数去求,具体来说就是\(n^k=\sum\limits_{i=1}^k\dbinom{n}{i}*S[k][i]*i!\),\(S\)表示第二类斯特林数,第二类斯特林数可以表示为有\(n\)个盒子要装\(m\)个小球,然后在给盒子和求加上编号就可以得出上面的式子.这样的话在根据帕斯卡…

题意 给定一个有 $n$ 个结点的树,设 $S(i)$ 为第 $i$ 个结点的“指标值”,定义为 $S(i)=\sum_{i=1}^{n}dist(i,j)^k$,$dist(i, j)$ 为结点 $i$ 到结点 $j$ 的最小距离.请输出每个结点的指标值.($n \leq 5000, k \leq 150$) 分析 一个常用的转化 $$n^k=\sum_{i=0}^{k}S(k,i) \times C(n,i) \times i!$$ 证明可以考虑组合意义,等式的左边就是把 $k$ 个球放在…

传送门 思路 又见到这个\(k\)次方啦!按照套路,我们将它搞成斯特林数: \[ ans_x=\sum_{i=0}^k i!S(k,i)\sum_y {dis(x,y) \choose i} \] 前面可以枚举,考虑后面那东西怎么求. 我们不知道为什么但就是考虑DP:设: \[ dn_{x,t}=\sum_{y\in x} {dis(x,y) \choose t}\\ up_{x,t}=\sum_{y\notin x} {dis(x,y) \choose t} \] 其中\(y\in x\)表示…

题意 ​ 题目链接:https://www.luogu.org/problem/P4827 ​ 给定一棵 \(n\) 个节点的树和一个常数 \(k\) ,对于树上的每一个节点 \(i\) ,求出 \(\displaystyle \sum_{i=1}^n{\rm dist}^k(i,j)\),其中 \(\rm{dist}\) 函数表示树上两点距离. ​ \(1 \leq n \leq 50000\) ​ \(1\leq k \leq 150\) 思路 ​ 看到求答案 \(k\) 次方的问题,应该联…

Description 给定一棵 \(n\) 个点的树,对于每个点 \(i\) 求 \(S(i)=\sum\limits_{j=1}^n \operatorname{dist(i,j)}^k\) .\(n\leq 50000,k\leq 150\). Sol 根据斯特林展开,原式化为 \[ \begin{align}S(i)= & \sum\limits_{j=1}^n \sum\limits_{p=0}^k S(k,p)\cdot \dbinom{\operatorname{dist(i,j)…

Time Limit: 10 Sec  Memory Limit: 259 MB Submit: 480  Solved: 234[Submit][Status][Discuss] Description Crash 小朋友最近迷上了一款游戏——文明5(Civilization V).在这个游戏中,玩家可以建立和发展自己的国家,通过外交和别的国家交流,或是通过战争征服别的国家.现在Crash 已经拥有了一个N 个城市的国家,这些城市之间通过道路相连.由于建设道路是有花费的,因此Crash 只修建…

传送门 这个题......我谔谔 首先可以考虑换根\(dp\),但到后来发现二项式定理展开过后需要维护\(k\)个值,同时每个值也要\(O(k)\)的时间按二项式定理算 当然fft优化过后就是k log k了... 这样复杂度是\(O(nk^2)\)的 当然\(FFT\)优化过后就变成\(O(nk \log k)\)了 这复杂度感觉是对的?但FFT的大常数好像被卡成\(50\)了 跟没优化一样,没试过qwq 然后发现又可以点分治,复杂度\(O(nk \log n)\),跑的好像比\(O(nk \…