传送门 式子好麻烦orz……大佬好腻害orz->这里 //minamoto #include<iostream> #include<cstdio> #define ll long long using namespace std; ,mod=; int n,m,vis[N],p[N],cnt,mu[N];ll sum[N]; ll ans,inv2,summ; void init(int lim){ mu[]=; ;i<=lim;++i){ ; ;j<=cnt&a…

题意:求$\sum_{i=1}^{n}\sum_{j=1}^{m}lcm(i,j)$. 开始开心(自闭)化简: $\sum_{i=1}^{n}\sum_{j=1}^{m}lcm(i,j)$ =$\sum_{d=1}^{n}\sum_{i=1}^{n}\sum_{j=1}^{m}\frac{ij}{d}[gcd(i,j)==d]$ =$\sum_{d=1}^{n}\sum_{i=1}^{\lfloor \frac{n}{d}\rfloor}\sum_{j=1}^{\lfloor \frac{m}{…

[国家集训队]Crash的数字表格 / JZPTAB 题意 求\(\sum\limits_{i=1}^n\sum\limits_{j=1}^mlcm(i,j)\),\(n,m\le 10^7\) 鉴于我式子没推出来,所以再推一遍. \[\sum\limits_{i=1}^n\sum\limits_{j=1}^mlcm(i,j)\] \[=\sum\limits_{i=1}^n\sum\limits_{j=1}^m\frac{ij}{gcd(i,j)}\] \[=\sum\limits_{i=1}…

传送门:洛谷,bzoj 题目描述 今天的数学课上,Crash小朋友学习了最小公倍数(Least Common Multiple).对于两个正整数a和b,LCM(a, b)表示能同时整除a和b的最小正整数.例如,LCM(6, 8) = 24. 回到家后,Crash还在想着课上学的东西,为了研究最小公倍数,他画了一张NM的表格.每个格子里写了一个数字,其中第i行第j列的那个格子里写着数为LCM(i, j).一个45的表格如下: 1 2 3 4 5 2 2 6 4 10 3 6 3 12 15 4 4…

题目描述 今天的数学课上,Crash小朋友学习了最小公倍数(Least Common Multiple).对于两个正整数a和b,LCM(a, b)表示能同时整除a和b的最小正整数.例如,LCM(6, 8) = 24. 回到家后,Crash还在想着课上学的东西,为了研究最小公倍数,他画了一张NM的表格.每个格子里写了一个数字,其中第i行第j列的那个格子里写着数为LCM(i, j).一个45的表格如下: 1 2 3 4 5 2 2 6 4 10 3 6 3 12 15 4 4 12 4 20 看着这…

题目背景 提示:原 P1829 半数集问题 已经迁移至 P1028 数的计算 题目描述 今天的数学课上,Crash小朋友学习了最小公倍数(Least Common Multiple).对于两个正整数a和b,LCM(a, b)表示能同时整除a和b的最小正整数.例如,LCM(6, 8) = 24. 回到家后,Crash还在想着课上学的东西,为了研究最小公倍数,他画了一张N*M的表格.每个格子里写了一个数字,其中第i行第j列的那个格子里写着数为LCM(i, j).一个4*5的表格如下: 1 2 3 4…

题面 传送门:洛咕 Solution 调到自闭,我好菜啊 为了方便讨论,以下式子\(m>=n\) 为了方便书写,以下式子中的除号均为向下取整 我们来颓柿子吧qwq 显然,题目让我们求: \(\large \sum_{i=1}^n\sum_{j=1}^m lcm(i,j)\) \(lcm\)没法玩,我们转到\(gcd\)形式: \(\large \sum_{i=1}^n\sum_{j=1}^m \frac{i*j}{gcd(i,j)}\) 根据套路,我们去枚举\(gcd\) \(\large \s…

题解-[国家集训队]Crash的数字表格 / JZPTAB 前置知识: 莫比乌斯反演 </> [国家集训队]Crash的数字表格 / JZPTAB 单组测试数据,给定 \(n,m\) ,求 \[\sum\limits_{i=1}^n\sum\limits_{j=1}^m\operatorname{lcm}(i,j)\bmod 20101009 \] 数据范围:\(1\le n,m\le 10^7\). 作为写出了最暴力的做法的蒟蒻,来推个式子. \(n\le m\),一气呵成: \[\begi…

P1829 [国家集训队]Crash的数字表格 原题传送门 前置芝士 莫比乌斯反演 乘法逆元 数论分块 正文 //补充:以下式子中的除法均为整除 由题目可以得知,这道题让我们所求的数,用一个式子来表达即为:\(\boxed{ANS=\sum_{i=1}^n \sum_{j=1}^m LCM(i,j)}\) 而根据莫比乌斯反演的内容,我们可以对右边的式子进行进一步的推导: \[\begin{align} \sum_{i=1}^n \sum_{j=1}^m LCM(i,j)&=\sum_{i=1}^…

点此看题面 大致题意: 求\(\sum_{i=1}^n\sum_{j=1}^mlcm(i,j)\). 推式子 不会莫比乌斯反演的可以先去看这篇博客:初学莫比乌斯反演. 反演题显然就是推式子啊~~~ 考虑\(lcm\)这个东西不好做,所以我们先把它化成\(gcd\): \[\sum_{i=1}^n\sum_{j=1}^m\frac{ij}{gcd(i,j)}\] 接下来就是按照套路枚举\(gcd\)了: \[\sum_{d=1}^{min(n,m)}d\sum_{i=1}^{\lfloor\fra…

传送门 思路 又见到这个\(k\)次方啦!按照套路,我们将它搞成斯特林数: \[ ans_x=\sum_{i=0}^k i!S(k,i)\sum_y {dis(x,y) \choose i} \] 前面可以枚举,考虑后面那东西怎么求. 我们不知道为什么但就是考虑DP:设: \[ dn_{x,t}=\sum_{y\in x} {dis(x,y) \choose t}\\ up_{x,t}=\sum_{y\notin x} {dis(x,y) \choose t} \] 其中\(y\in x\)表示…

题目描述 ​ 给你一棵 n 个点的树,对于树上的每个节点 i,求 \(\sum_{j=1}^ndis(i,j)^k\).其中 \(dis(i,j)\) 为两点在树上的距离. 输入格式 ​ 第一行两个整数 n,k. ​ 接下来 n-1 行,每行两个整数 (x,y),表示一条树边. 输出格式 ​ 一行一个整数,表示答案对 10007 取模的值. 样例输入 5 2 1 2 1 3 2 4 2 5 样例输出 10 7 23 18 18 数据范围 ​ 对于 \(30\%\) 的数据,\(n\le5000,…

求解\(\sum_{i = 1}^{n}\sum_{j = 1}^{m}lcm\left ( i,j \right )\). 有\(lcm\left ( i,j \right )=\frac{ij}{gcd\left ( i,j \right )}\), 所以原本的式子转化为:\(\sum_{i = 1}^{n}\sum_{j = 1}^{m}\frac{ij}{gcd\left ( i,j \right )}\). 注意到\(i, j\) 均为 \(gcd\left ( i,j \right…

Description: 求$ \sum_{i=1}^n \sum_{j=1}^m lcm(i,j) $ Hint: $ n,m<=10^7 $ Solution: 这题有每次询问 \(O(n)\) 做法,然而原题是多组询问,所以还是好好推 \(O(\sqrt[]{n})\) 做法 首先: \(Ans=\sum_{d=1}^{n}d * \sum_{i=1}^n \sum_{j=1}^m i * j * [gcd(i,j)==1] ​\) $Ans=\sum_{d=1}^{n}d * \sum_…

推式子太快乐啦!虽然我好蠢而且dummy和maomao好巨(划掉) 思路 莫比乌斯反演的题目 首先这题有\(O(\sqrt n)\)的做法但是我没写咕咕咕 然后就是爆推一波式子 \[ \sum_{i=1}^{n}\sum_{j=1}^{m}lcm(i,j) \] \[ \sum_{i=1}^{n}\sum_{j=1}^{m}\frac{i\times j}{gcd(i,j)} \] 设$ gcd(i,j)=d$ \[ \sum_{d=1}^{n}d\sum_{i=1}^{\lfloor\frac…

这道题我们要求的是 \[\sum_{i=1}^N\sum_{j=1}^Mlcm(i,j)\] 总所周知\(lcm\)的性质不如\(gcd\)优雅,但是唯一分解定理告诉我们\(gcd(i,j)\times lcm(i,j)=i\times j\) 所以很容易的可以转化成这个柿子 \[\sum_{i=1}^N\sum_{j=1}^M\frac{i\times j}{(i,j)}\] 现在开始套路了 先设两个函数 \[f(n)=\sum_{i=1}^N\sum_{j=1}^M[(i,j)==n]\ti…

---题面--- 题解: $$ans = \sum_{i = 1}^{n}\sum_{j = 1}^{m}{\frac{ij}{gcd(i, j)}}$$ 改成枚举d(设n < m) $$ans = \sum_{d = 1}^{n}\sum_{i = 1}^{n}\sum_{j = 1}^{m}[gcd(i, j) == d]\frac{ij}{d}$$ 考虑枚举$id$ 设$N = \lfloor{\frac{n}{d}}\rfloor$,$M = \lfloor{\frac{m}{d}}\r…

被 bs 了姿势水平--好好学习数学QAQQAQQAQ ref #include <iostream> #include <cstring> #include <cstdio> using namespace std; typedef long long ll; int n, m, pri[10000005], cnt, mu[10000005], qia[10000005]; bool isp[10000005]; const int mod=20101009; vo…

又一道...分数和取模次数成正比$qwq$ 求:$\sum_{i=1}^N\sum_{j=1}^Mlcm(i,j)$ 原式 $=\sum_{i=1}^N\sum_{j=1}^M\frac{i*j}{gcd(i.j)}$ $=\sum_{d=1}^{N}\sum_{i=1}^{\lfloor\frac{N}{d}\rfloor}\sum_{j=1}^{\lfloor\frac{M}{d}\rfloor}dij[gcd(i,j)==1]$ $=\sum_{d=1}^{N}\sum_{i=1}^{\l…

传送门 题目要求,求: \[\sum_{i=1}^n\sum_{j=1}^mlcm(i,j)\] 先转化为gcd的形式,然后枚举gcd. \[\sum_{i=1}^n\sum_{j=1}^m\sum_{d=1}^n\frac{ij}{d}[gcd(i,j) = d]\] 把d除进去,套用莫比乌斯函数的性质: \[\sum_{d=1}^nd\sum_{i=1}^{\frac{n}{d}}i\sum_{j=1}^{\frac{m}{d}}j\sum_{p|i.p|j}\mu(p)\] 继续替换得到:…

题意 注:默认\(n\leqslant m\). 所求即为:\(\sum\limits_{i=1}^{n}\sum\limits_{j=1}^{m}lcm(i,j)\) 因为\(i*j=\gcd(i,j)*lcm(i,j)\),因此原式为: \(\sum\limits_{i=1}^{n}\sum\limits_{j=1}^{m}\frac{i*j}{\gcd(i,j)}\) 枚举\(gcd(i,j)=d\): \(\sum\limits_{d=1}^{n}\frac{1}{d}*\sum\lim…

考虑到\(lcm(i,j)=\frac{ij}{gcd(i,j)}\) \(\sum_{i=1}^n\sum_{j=1}^m\frac{ij}{gcd(i,j)}\) \(\sum_{d=1}^{n}\sum_{i=1}^n\sum_{j=1}^m[gcd(i,j)==d]\frac{ij}{d}\) \(\sum_{d=1}^{n}\sum_{i=1}^{n/d}\sum_{j=1}^{m/d}[gcd(i,j)==1]{ijd}\) \(=\sum_{d=1}^{n}d\sum_{i=1}^…

题目 我的第一篇莫比乌斯反演题解 兴奋兴奋兴奋 贡献一个本人自己想的思路,你从未看到过的船新思路 [分析] 显然,题目要求求的是 \(\displaystyle Ans=\sum_{i=1}^n\sum_{j=1}^m lcm(i,j)\) 根据数论知识,很显然 \(lcm(i,j)={ij\over gcd(i,j)}\) \(\therefore \displaystyle Ans=\sum_{i=1}^n\sum_{j=1}^m lcm(i,j)\) \(\displaystyle \qq…

题意:求sigma{lcm(i,j)},1<=i<=n,1<=j<=m 不妨令n<=m 首先把lcm(i,j)转成i*j/gcd(i,j) 正解不会...总之最后化出来的莫比乌斯反演式子并没有除法- 本脑子有坑选手的做法:20101009是一个质数,而且n和m的范围小于20101009,这一定有其原因.经过仔细思考,我们发现这保证了每个1~n的数都有mod20101009意义下的乘法逆元.用inv[x]表示x的逆元,我们发现原先的式子等于sigma{inv[gcd(i,j)]…

题目传送门 http://www.lydsy.com/JudgeOnline/problem.php?id=2154 人生中第一道自己做出来的莫比乌斯反演 人生中第一篇用LaTeX写数学公式的博客 大家别看公式多就害怕了啊,这里面的公式大多是很显然的 首先,题目要我们求 $\Large\sum\limits_{i=1}^{n}\sum\limits_{j=1}^{m}lcm(i,j)$ 这个$lcm$很不好办,我们想办法转化成$gcd$,然后尝试搞莫比乌斯反演的套路 那么因为 $\Large l…

洛谷P2634 [国家集训队]聪聪可可 静态点分治 一开始还以为要把分治树建出来……• 树的结构不发生改变,点权边权都不变,那么我们利用刚刚的思路,有两种具体的分治方法.• A:朴素做法,直接找重心,处理过重心的所有路径.然而,路径端点在同一子树(即路径实际上并不过重心)的情况会发生重复计数,需要使用类似容斥的方法,不断删去重复计数的部分.• B:采用类似树形背包的思路,遍历子树时,只考虑当前子树和先前处理完的多颗子树之间的路径,以保证路径端点在不同的子树中,防止重复计数,不需要麻烦的容斥.在一…

洛谷题目链接:[国家集训队]矩阵乘法 题目背景 原 <补丁VS错误>请前往P2761 题目描述 给你一个N*N的矩阵,不用算矩阵乘法,但是每次询问一个子矩形的第K小数. 输入输出格式 输入格式: 第一行两个数N,Q,表示矩阵大小和询问组数: 接下来N行N列一共N*N个数,表示这个矩阵: 再接下来Q行每行5个数描述一个询问:x1,y1,x2,y2,k表示找到以(x1,y1)为左上角.以(x2,y2)为右下角的子矩形中的第K小数. 输出格式: 对于每组询问输出第K小的数. 输入输出样例 输入样例#…

P2757 [国家集训队]等差子序列 题目描述 给一个\(1\)到\(N\)的排列\(\{A_i\}\),询问是否存在 \[1 \le p_1<p_2<p_3<p_4<p_5<-<p_{Len} \le N (Len \ge 3)\] 使得\(A_{p_1},A_{p_2},A_{p_3},\cdots,Ap_{Len}\)是一个等差序列. 输入输出格式 输入格式: 输入的第一行包含一个整数\(T\),表示组数. 下接\(T\)组数据,每组第一行一个整数\(N\),每组…

P1527 [国家集训队]矩阵乘法 题目描述 给你一个\(N*N\)的矩阵,不用算矩阵乘法,但是每次询问一个子矩形的第\(K\)小数. 输入输出格式 输入格式: 第一行两个数\(N,Q\),表示矩阵大小和询问组数: 接下来\(N\)行\(N\)列一共\(N*N\)个数,表示这个矩阵: 再接下来\(Q\)行每行\(5\)个数描述一个询问:\(x1,y1,x2,y2,k\)表示找到以\((x1,y1)\)为左上角.以\((x2,y2)\)为右下角的子矩形中的第\(K\)小数. 输出格式: 对于每组询…

BZOJ传送门:洛谷传送门 数颜色 题目描述 墨墨购买了一套N支彩色画笔(其中有些颜色可能相同),摆成一排,你需要回答墨墨的提问.墨墨会向你发布如下指令: 1. Q L R代表询问你从第L支画笔到第R支画笔中共有几种不同颜色的画笔. 2. R P Col 把第P支画笔替换为颜色Col. 为了满足墨墨的要求,你知道你需要干什么了吗? 输入输出格式 输入格式: 第1行两个整数N,M,分别代表初始画笔的数量以及墨墨会做的事情的个数. 第2行N个整数,分别代表初始画笔排中第i支画笔的颜色. 第3行到第2…