KMP 第一次接触 \(border\) 都是先从 KMP 开始的吧. 思想在于先对于一个串自匹配以求出 fail 指针(也就是 border) 然后就可以在匹配其他串的时候非常自然的失配转移.在此顺便给出一下 \(border\) 的定义: Border 字符串的某个能与后缀完全匹配的真前缀(即不为原串的前缀). 在 KMP 中我们一般关注最长的 \(border\),然后我们 KMP 中的 fail 实际上就是存储的最长的 \(border\) 的结束的位置(因为是前缀所以可以这样存储).…

持续更新中!!!更个屁,无线停更! 前言: KMP 学傻了,看 skyh 说啥 border 树,跑来学 border 理论 洛谷云剪切板:https://www.luogu.com.cn/paste/gfkqhuyb(有小差别) 目录 I. 基础定义 基本定义 Period 与 Border 前缀函数 / KMP 自动机 KMP 算法 Border 树 / 失配树 II. 性质与定理 关于周期的基本定理 Border 的结构 Prefix-Suffix (PS) III. 一些问题 子串周期查…

WPF中的常用布局   一 写在开头1.1 写在开头微软是一家伟大的公司.评价一门技术的好坏得看具体的需求,没有哪门技术是面面俱到地好,应该抛弃对微软和微软的技术的偏见. 1.2 本文内容本文主要内容为WPF中的常用布局,大部分内容转载至https://blog.csdn.net/woshisunjiale/article/details/54136323,代码片段可能有所不同. 二 WPF中的常用布局因为项目需要,所以得学习WPF开发.WPF使软件界面和逻辑相分离,手写xaml进行程序UI的开…

http://poj.org/problem?id=2478 题意:给定一个数x,求<=x的数的欧拉函数值的和.(x<=10^6) 题解:数据范围比较大,像poj1248一样的做法是不可行的了. 首先我们要了解欧拉函数的几个性质和推论:(今天跟好基友Konjak魔芋讨论了好久..) 推论(一): phi(p^k)=(p-1)*p^(k-1) 证明: 令n=p^k,小于等于n的正整数数中,所有p的倍数共有p^k /p = p^(k-1)个. 1~n出去p的倍数,所以phi(n)= n -  p^…

第三章习题 部分证明题未给出答案 1. 表3.4中,零假设是指三种形式的广告对TV的销量没什么影响.而电视广告和收音机广告的P值小说明,原假设是错的,也就是电视广告和收音机广告均对TV的销量有影响:报纸的P值高,说明原假设成立,也就是报纸广告对TV的销量没啥影响. 2. KNN回归和KNN近分类都是典型的非参数方法.这两者的区别在于,前者的输入和输出均为定量值:而后者的输入和输入和输出均为定性值. 3. 首先,有题目可知下面关系:Y = 50 + 20(gpa) + 0.07(iq) + 35(…

写在前面 此题是一个很容易想到的贪心题目,但是正确性的证明是非常复杂的.然而,目前网上所有题解并未给出本题贪心算法的任何正确性证明,全部仅停留在描述出一个贪心算法.本着对算法与计算机科学的热爱(逃),我花了2周时间深入研究了这个问题,并请教了Apass.Jack 大牛,终于在他的帮助下证明了该贪心的正确性.接下来将给出详细地证明过程. PS:Apass.Jack提供了整个证明框架(尽管后来被我发现了一处错误并重新修正了证明),在此表示感谢! 题目描述 给定$n$($n \le 10^5)$个城市…

Description 给定一个字符串 \(S\),对每个前缀求长度不超过该前缀一半的公共前后缀个数. 共有 \(T\) 组数据,每组数据的输出是 \(O(1)\) 的. Limitations \(1 \leq |S| \leq 10^6,~1 \leq T \leq 5\) Solution 好水的NOI题 建出 \(border\) 树,对于树上每个节点,它的所有 \(border\) 与它的所有祖先一一对应.这是因为每个节点的父亲是它的最长 \(border\),数学归纳可以证明这个结论…

HW11中对ageVar采用缓存优化的等价性证明(包括溢出情况) 概要 我们知道,第三次作业里age上限变为2000,而如果缓存年龄的平方和,2000*2000*800 > 2147483647,会溢出.但是实际上,我们仍然能通过缓存得到正确的结果.这是因为,计算机内进行的二进制运算其实每一步都进行了 \(\&0xffff\_ffff\) 操作,有交换律.结合律.平方公式成立.即使在溢出的情况下,两个式子仍然是等价的.本文试着利用二进制运算和无符号数运算的关系,以及无符号数运算的性质,来证明…

1.前置知识 以下数字未特殊说明,取值范围均与$N$​​​取交 以下字符串未特殊说明,下标均从1开始,且均为非空串,复杂度中的$n$​​​指字符串长度 周期和border 对于非空集合$S$,定义$\min S$为$S$​中最小的元素,$\max S$为$S$中最大的元素 对于字符串$s$​​,记其长度为$|s|$​​,$s_{i}$​​表示第$i$​​个字符,$s[l,r]$​​表示区间$[l,r]$​​​构成的子串 周期:$1\le x\le |s|$​​为$s$​​的周期当且仅当$\for…

定义 \(nxt_i\) 表示在字符串 \(S\) 中以 \(i\) 结尾的最长 \(border\). 引理一:若 \(n - nxt_n \mid n\) 则 \(S_{1 \sim n - nxt_n}\) 为原串的最小循环节. 引理二:若 \(n - nxt_n \nmid n\) 则 \(S_{1 \sim n - nxt_n}\) 为原串的弱循环节(即原串可以 \(S_{1 \sim n - nxt_n}\) 不断循环但最终一段不能完整循环完毕) 关于引理一的 证明,引理二类似. 为…