写诗或者写程序的时候,我们经常要跟欧几里得算法打交道.然而有没要考虑到为什么欧几里得算法是有效且高效的,一些偏激(好吧,请允许我用这个带有浓重个人情感色彩的词汇)的计算机科学家认为,除非程序的正确性在数学上得到了完全严格的证实,否则我们不能认为程序是正确的.既然存在即合理,因此下面我就详细得解说一下欧几里得算法,它为什么是正确的算法(算法过程就不给出了,有了思想,无论是迭代还是循环实现应该都不成问题),为什么有那么好的时间复杂性. 首先还是证明上述命题:注意到证明了该命题就证明了欧几里得算法的正…

关于欧几里得算法求最大公约数算法, 代码如下: int gcd( int a , int b ) { if( b == 0 ) return a ; else gcd( b , a % b ) ; } 证明: 对于a,b,有a = kb + r  (a , k , b , r 均为整数),其中r = a mod b . 令d为a和b的一个公约数,则d|a,d|b(即a.b都被d整除), 那么 r =a - kb ,两边同时除以d 得 r/d = a/d - kb/d = m (m为整数,因为r也…

求a,b的最大公约数我们经常用欧几里得算法解决,也称辗转相除法, 代码很简短, int gcd(int a,int b){ return (b==0)?a:gcd(b,a%b); } 但其中的道理却很深刻,完全理解不简单,以前都只是记一下代码,今天研究了很久,才差不多理解了其中的原因 从代码可以看出,gcd(a,b)=gcd(b,a%b),关键就在于证明这个等式 证明如下, 设c=gcd(a,b),则a=kc,b=nc(n,c为正整数), 设r=a%b,可得r=a-mb(m为a/b向下取整),…

有这样的问题: 给你两个整数数$(a,b)$,问你整数$x$和$y$分别取多少时,有$ax+by=gcd(x,y)$,其中$gcd(x,y)$表示$x$和$y$的最大公约数. 数据范围$a,b≤10^{18}$. 求解这个问题有一种方法,叫做扩展欧几里得算法(简称扩欧),其本质是一个递归求解的过程. 首先由一个前置的结论是$gcd(x,y)=gcd(y,x\%y)$.此处的$\%$为$c++$中取模操作,下同. 我们不妨设$a>b$ 当$a≠0,b=0$时,则显然有$x=1,y=0$.此时$gc…

一.欧几里得算法及其证明 1.定义: 欧几里得算法又称辗转相除法,用于求两数的最大公约数,计算公式为GCD(a,b)=GCD(b,a%b): 2.证明: 设x为两整数a,b(a>=b)的最大公约数,那么x|a,x|b; ①由整数除法具有传递性(若x能整除a,x能整除b,那么x可整除a,b的任意线性组合)知x|a-b; ②设x不是b的因子,则x不是b和a-b的公因子:设x不是a的因子,则x不是b和a-b的公因子:所以可以得出GCD(a,b)=GCD(b,a-b); ③由a>=b知,a可表示为a=…

Bryce1010模板 /**** *扩展欧几里得算法 *返回d=gcd(a,b),和对应等式ax+by=d中的x,y */ long long extend_gcd(long long a,long long b,long long &x,long long &y) { if(a==0&&b==0)return -1;//无最大公约数 if(b==0){x=1;y=0;return a;} long long d=extend_gcd(b,a%b,y,x); y-=a/b…

浅谈扩展欧几里得(扩展GCD)算法 本篇随笔讲解信息学奥林匹克竞赛中数论部分的扩展欧几里得算法.为了更好的阅读本篇随笔,读者最好拥有不低于初中二年级(这是经过慎重考虑所评定的等级)的数学素养.并且已经学会了学习这个算法的前置知识:欧几里得算法. 对于对欧几里得算法还有知识模糊的读者,请不要担心,这里为你准备了前导知识讲解,请移步至本蒟蒻的另两篇博客: 浅谈GCD 求最大公约数的方式 裴蜀定理 裴蜀定理的概念及证明 因为翻译版本的不同,这个定理可能还会被叫做贝祖定理.\(B\acute{e}zou…

欧几里得算法: 1.定义:gcd的意思是最大公约数,通常用扩展欧几里得算法求 原理:gcd(a, b)=gcd(b, a%b) 2.证明: 令d=gcd(a, b)  =>  a=m*d,b=n*d 则m*d=t*n*d+a%b  =>  a%b=d*(m-t*n) gcd(b, a%b)=gcd(n*d, (m-t*n)*d) 令gcd(n, m-t*n)=e  =>  n=x*e,m-t*n=y*e 则m-x*e*n=y*e  =>  m=e*(x*n+y) 由gcd(n, m…

欧几里得算法 又称辗转相除法 迭代求两数 gcd 的做法 由 (a,b) = (a,ka+b) 的性质:gcd(a,b) = gcd(b,a mod b) int gcd(int a,int b){ if(b==) return a; return gcd(b,a%b); } O(logn) 裴蜀定理: 设 (a,b) = d,则对任意整数 x,y,有 d|(ax+by) 成立: 特别地,一定存在 x,y 满足 ax+by = d 等价的表述:不定方程 ax+by = c(a,b,c 为整数)…

题目 3在十进制下满足若各位和能被3整除,则该数能被3整除. 5在十六进制下也满足此规律. 给定数字k,求多少进制(1e18进制范围内)下能满足此规律,找出一个即可,无则输出-1. 题解 写写画画能找到规律,即是求与k互质的数x,x进制下即能满足上述规律. 相关 求最大公约数:辗转相除法(又叫欧几里得算法) 欧几里德定理: gcd(a, b) = gcd(b , a mod b) ,对于正整数a.b. 其中a.b大小无所谓.当a值小于b值时,算法的下一次递归调用就能够将a和b的值交换过来. 代码…

相信大家对欧几里得算法,即辗转相除法不陌生吧. 代码如下: int gcd(int a, int b){ return !b ? gcd(b, a % b) : a; } 而扩展欧几里得算法,顾名思义就是对欧几里得算法的扩展. 切入正题: 首先我们来看一个问题: 求整数x, y使得ax + by = 1, 如果gcd(a, b) != 1, 我们很容易发现原方程是无解的.则方程ax + by = 1有正整数对解(x, y)的必要条件是gcd(a, b) = 1,即a, b 互质. 此时正整数对解…

一.欧几里得算法 名字非常高大上的不一定难,比如欧几里得算法...其实就是求两个正整数a, b的最大公约数(即gcd),亦称辗转相除法 需要先知道一个定理: gcd(a, b) = gcd(b, a mod b) (其中a mod b != 0)  或  b (其中a mod b == 0) 证明: 后半部分呢...是废话,于是只要证明前半部分即可. 不妨设g = gcd(a, b),于是有 a = g * A, b = g * B 且 (A, B) = 1 故gcd(b, a mod b) =…

先感谢参考文献:http://www.cnblogs.com/frog112111/archive/2012/08/19/2646012.html 注:以下讨论的数均为整数 一.欧几里得算法(重点是证明,对后续知识有用) 欧几里得算法,也叫辗转相除,简称 gcd,用于计算两个整数的最大公约数 定义 gcd(a,b) 为整数 a 与 b 的最大公约数 引理:gcd(a,b)=gcd(b,a%b) 证明: 设 r=a%b , c=gcd(a,b) 则 a=xc , b=yc , 其中x , y互质…

求最小公约数,最easy想到的是欧几里得算法,这个算法也是比較easy理解的,效率也是非常不错的. 也叫做辗转相除法. 对随意两个数a.b(a>b).d=gcd(a.b),假设b不为零.那么gcd(a,b)=gcd(b.a%b) 证明: 令 r=a%b,即存在k,使得 a=b*k+r,那么r=a-b*k:显然r>=0,  r%d=((a%d)-(b*k)%d)%d.由于a%d=b%d=0,所以r%d=0: 因此求gcd(a,b)能够转移到求gcd(b,a%b).那么这就是个递归过程了.那什么时…

1009:数论 扩展欧几里得算法 其实自己对扩展欧几里得算法一直很不熟悉...应该是因为之前不太理解的缘故吧这次再次思考,回看了某位大神的推导以及某位大神的模板应该算是有所领悟了 首先根据题意:L1=x+mt; L2=y+nt; 可知当两人相遇: L1-L2=k*l; 即 :(m-n)t-(y-x)=kL 根据整除取余的方法:[ a/b=c...d --> a-d=c*b;] 可得到:(m-n)t mod l=y-x; 得到线性同余方程 此方程有解当且仅当 y-x 能被 m-n 和l的最大公约数…

1141. RSA Attack Time limit: 1.0 secondMemory limit: 64 MB The RSA problem is the following: given a positive integer n that is a product of two distinct odd primes p and q, a positive integer e such that gcd(e, (p-1)*(q-1)) = 1, and an integer c, fi…

greatest common divisor(最大公约数) 1.欧几里得算法 欧几里德算法又称辗转相除法,用于计算两个正整数a,b的最大公约数. 其计算原理依赖于下面的定理: 两个整数的最大公约数等于其中较小的那个数和两数相除余数的最大公约数. 最大公约数(greatest common divisor)缩写为gcd. gcd(a,b) = gcd(b,a mod b) (不妨设a>b 且r=a mod b ,r不为0),以此辗转相除得到最终结果.   证明: a可以表示成a = kb + r…

在讲解扩展欧几里得之前我们先回顾下辗转相除法: \(gcd(a,b)=gcd(b,a\%b)\)当a%b==0的时候b即为所求最大公约数 好了切入正题: 简单地来说exgcd函数求解的是\(ax+by=gcd(a,b)\)的最小正整数解.根据数论的相关知识,一定存在一组解\(x,y\)使得\(ax+by=gcd(a,b)\).那就来谈谈具体如何来求解吧. 根据辗转相除法的内容\(gcd(a,b)=gcd(b,a\%b)\)我们可以得到:\[ax_1+by_1=gcd(a,b)=gcd(b,a\%…

设$t=\sqrt r$,原题转化为$\sum_{x=1}^n(4*\lfloor\frac{tx}2\rfloor-2*\lfloor tx\rfloor+1)$考虑如何求$\sum_{x=1}^n\lfloor\frac{bt+c}ax\rfloor$开始我写了一个真欧几里得来求直线下整点数目,然后由于里头含小数所以不对.于是学习了一下新姿势,思想其实差不多.先把a,b,c同时除以gcd(a,b,c),防止爆int.之后把斜率变成$\frac{bt+c}a-\lfloor\frac{bt+c…

题目链接:http://lightoj.com/volume_showproblem.php?problem=1306 You have to find the number of solutions of the following equation: Ax + By + C = Where A, B, C, x, y are integers and x1 ≤ x ≤ x2 and y1 ≤ y ≤ y2. Input Input starts with an integer T (≤ ),…

欧几里得和扩展欧几里得算法 题目: poj 1061 poj 2142 双六 扩展欧几里得算法详解 先说欧几里得算法:欧几里得算法辗转相除求\(gcd\).求\(a.b\)的\(gcd\),则利用的性质是:\(gcd(a,b)=gcd(b,a\%b)\),而\(gcd(a,0)=a\),这样,辗转除下去,当第二个参数为0,第一个参数就是最大公约数. int gcd(int a,int b){ while(b!=0){ int tmp = a%b; a = b; b = tmp; } return…

Euclid算法(gcd) 在学习扩展欧几里得算法之前,当然要复习一下欧几里得算法啦. 众所周知,欧几里得算法又称gcd算法,辗转相除法,可以在\(O(log_2b)\)时间内求解\((a,b)\)(a,b的最大公约数). 其核心内容可以陈述为:\((a,b)=(b,a\%b)\),然后反复迭代该式缩小\(a,b\)规模,直到\(b=0\),得到a为最大公约数. 证明 设两数为\(a\ b(b<a)\),求它们最大公约数的步骤如下:用\(b\)除\(a\),即\(a/b=q-..r\),得\(a…

最近在二中苦逼地上课,天天听数论(当然听不懂) 但是,简单的还是懂一点的 1.欧几里得算法 说得这么高级干什么,gcd入门一个月的人都会吧,还需要BB? 证明可参照其他博客(不会),主要就是gcd(a,b)=gcd(b,a%b); 特殊的,gcd(a,0)=gcd(0,a)=a; 然后一行 int gcd(int m,int n) { return n?gcd(n,m%n):m; } 2.扩展欧几里得 在班里天天看紫书,终于会打(背)了. 专门对于形如 ax+by=d(a,b,d为常数,d=gc…

[题目]#6392. 「THUPC2018」密码学第三次小作业 / Rsa [题意]T次询问,给定正整数c1,c2,e1,e2,N,求正整数m满足: \(c_1=m^{e_1} \ \ mod \ \ N\) \(c_2=m^{e_2} \ \ mod \ \ N\) 保证\(c_1,c_2,e_1,e_2 \leq N,2^8 < N < 2^{63},T \leq 10^4,(e_1,e_2)=1,(m,N)=1\). [算法]扩展欧几里得算法 我们最终要求\(m\),而已知\(m^{e_…

概念 在数学中,辗转相除法,又称欧几里得算法(英语:Euclidean algorithm),是求最大公约数的算法. 证明 首先假设有两个数a和b,其中a是不小于b的数,记a被b除的余数为r,那么a可以写成这样的形式: a = b*q + r 假设a和b的一个约数为u,那么a和b都能被u整除,即: a = su b = tu 带入原式可得 su = (tu)q + r r = su - (tu)q r = u*(s-tq) 所以 u 也是r 的公约数,即 a和b的约数也整除它们的余数r,所以a和…

http://poj.org/problem?id=1061 思路: 搞懂这个扩展欧几里得算法花了不少时间,数论真的是难啊. 含义:找出一对整数,使得ax+by=gcd(a,b). 接下来看这道题目,(x+mt)-(y+nt)=kl,转换成(n-m)t+kl=x-y. 令a=n-m,b=l,c=x-y,那么上式就变成了at+kb=c,之后就参照上面的算法来计算就行,具体参见代码. #include<iostream> #include<algorithm> #include<…

说在开头. 出于对欧几里得的尊重,先简单介(cou)绍(ge)一(zi)下(shu).. 欧几里得,古希腊人,数学家.他活跃于托勒密一世时期的亚历山大里亚,被称为“几何之父”. 他最著名的著作<几何原本>是欧洲数学的基础,提出五大公设,欧几里得几何,被广泛的认为是历史上最成功的教科书. 欧几里得也写了一些关于透视.圆锥曲线.球面几何学及数论的作品.(https://baike.baidu.com/item/欧几里得/182343?fr=aladdin) --------------------…

[题意]给定a,b,c,在天平左边放置若干重量a的砝码,在天平右边放置若干重量b的砝码,使得天平两端砝码差为c.设放置x个A砝码和y个B砝码,求x+y的最小值. [算法]数论(扩展欧几里德算法) [题解]问题转化为求满足方程ax+by=c,|x|+|y|的最小值. 先用扩展欧几里得算法求得通解. 由原方程得答案分布在y=-a/b*x+c/b(a>0,b>0,c>0),因此是k<0,b>0的直线. 由于斜率一定,min{|x|+|y|}一定出现在x轴两侧或y轴两侧,取这四个点判…

青蛙的约会 writer:pprp Time Limit: 1000MS Memory Limit: 10000K Total Submissions: 119716 Accepted: 25238 Description 两只青蛙在网上相识了,它们聊得很开心,于是觉得很有必要见一面.它们很高兴地发现它们住在同一条纬度线上,于是它们约定各自朝西跳,直到碰面为止.可是它们出发之前忘记了一件很重要的事情,既没有问清楚对方的特征,也没有约定见面的具体位置.不过青蛙们都是很乐观的,它们觉得只要一直朝着某…

欧几里德算法又称辗转相除法,用于计算两个整数a,b的最大公约数. 基本算法:设a=qb+r,其中a,b,q,r都是整数,则gcd(a,b)=gcd(b,r),即gcd(a,b)=gcd(b,a%b). 递归版算法: int gcd(int a,int b) { ) return a; return gcd(b,a%b); } 递归优化版: int gcd(int a,int b) { return b ? gcd(b,a%b) : a; } 迭代版: int Gcd(int a, int b)…