BZOJ_3994_[SDOI2015]约数个数和_莫比乌斯反演 Description  设d(x)为x的约数个数,给定N.M,求   Input 输入文件包含多组测试数据. 第一行,一个整数T,表示测试数据的组数. 接下来的T行,每行两个整数N.M. Output T行,每行一个整数,表示你所求的答案. Sample Input 2 7 4 5 6 Sample Output 110 121 HINT 1<=N, M<=50000 1<=T<=50000 基本同BZOJ4176…

P3327 [SDOI2015]约数个数和 神犇题解(转) 无话可补 #include<iostream> #include<cstdio> #include<cstring> #define re register using namespace std; template<typename T>T max(T &a,T &b){return a>b?a:b;} template<typename T>T min(T &a…

3994: [SDOI2015]约数个数和 Description  设d(x)为x的约数个数,给定N.M,求   Input 输入文件包含多组测试数据. 第一行,一个整数T,表示测试数据的组数. 接下来的T行,每行两个整数N.M. Output T行,每行一个整数,表示你所求的答案. Sample Input 2 7 4 5 6 Sample Output 110 121 HINT 1<=N, M<=50000 1<=T<=50000 Source Round 1 感谢yts19…

[SDOI2015]约数个数和 题目描述 设\(d(x)\)为\(x\)的约数个数,给定\(N,M\),求$ \sum\limits^N_{i=1}\sum\limits^M_{j=1}d(ij)$ 输入输出格式 输入格式: 输入文件包含多组测试数据.第一行,一个整数\(T\),表示测试数据的组数.接下来的\(T\)行,每行两个整数\(N,M\). 输出格式: \(T\)行,每行一个整数,表示你所求的答案. 说明 \(1 \le N, M \le 50000\) \(1 \le T \le 50…

3994: [SDOI2015]约数个数和 Time Limit: 20 Sec  Memory Limit: 128 MBSubmit: 898  Solved: 619[Submit][Status][Discuss] Description  设d(x)为x的约数个数,给定N.M,求     Input 输入文件包含多组测试数据. 第一行,一个整数T,表示测试数据的组数. 接下来的T行,每行两个整数N.M.   Output T行,每行一个整数,表示你所求的答案.   Sample Inp…

[BZOJ3994][SDOI2015]约数个数和 Description  设d(x)为x的约数个数,给定N.M,求   Input 输入文件包含多组测试数据. 第一行,一个整数T,表示测试数据的组数. 接下来的T行,每行两个整数N.M. Output T行,每行一个整数,表示你所求的答案. Sample Input 2 7 4 5 6 Sample Output 110 121 HINT 1<=N, M<=50000 1<=T<=50000 题解:依旧是这个结论 但由于这次是多…

Portal Description 共\(T(T\leq5\times10^4)\)组数据.给出\(n,m(n,m\leq5\times10^4)\),求\[\sum_{i=1}^n\sum_{j=1}^m\sigma_0(ij)\] Solution 首先有结论:\(\sigma_0(xy)=\sum_{d_1|x}\sum_{d_2|y}[gcd(d_1,d_2)=1]\).下面先证明一下这个结论. 将\(x,y\)分解质因数,得到\(x=\prod_{i=1}^kp_i^{a_i}\),…

P3327 [SDOI2015]约数个数和 莫比乌斯反演 链接 luogu 思路 第一个式子我也不会,luogu有个证明,自己感悟吧. \[d(ij)=\sum\limits_{x|i}\sum\limits_{y|j}[gcd(x,y)==1]\] \[\sum\limits_{i=1}^{n}\sum\limits_{j=1}^{m}\sum\limits_{x|i}\sum\limits_{y|j}[gcd(x,y)==1]\] \[\sum\limits_{i=1}^{n}\sum\li…

[BZOI 3994] [SDOI2015]约数个数和 题面 设d(x)为x的约数个数,给定N.M,求\(\sum _{i=1}^n \sum_{i=1}^m d(i \times j)\) T组询问,\(N,M,T \leq 50000\) 分析 首先有一个结论 \[d(nm)= \sum _{i |n} \sum _{j|m} [gcd(i,j)=1]\] 这是因为nm的约数都可以表示为\(i \times \frac{m}{j}\)的形式,并且为了不重复算,要保证\(gcd(i,j)=1\…

题意: \(T(1 \le T \le 50000)\)次询问,每次给出\(n, m(1 \le n, m \le 50000)\),求\(\sum_{i=1}^{n} \sum_{j=1}^{m} d(ij)\),其中\(d(n)\)表示\(n\)的约数个数 分析 有个结论: $$\sum_{x_1}^{y_1} \sum_{x_2}^{y_2} \cdots \sum_{x_k}^{y_k} d(x_1 x_2 \cdots x_k) = \sum_{x_1}^{y_1} \sum_{x_2…

Description  设d(x)为x的约数个数,给定N.M,求     Input 输入文件包含多组测试数据. 第一行,一个整数T,表示测试数据的组数. 接下来的T行,每行两个整数N.M.   Output T行,每行一个整数,表示你所求的答案.   Sample Input 2 7 4 5 6 Sample Output 110 121 HINT 1<=N, M<=50000 1<=T<=50000   这篇blog讲得很不错http://blog.codebursts.co…

Description  设d(x)为x的约数个数,给定N.M,求     Input 输入文件包含多组测试数据. 第一行,一个整数T,表示测试数据的组数. 接下来的T行,每行两个整数N.M.   Output T行,每行一个整数,表示你所求的答案.   Sample Input 2 7 4 5 6 Sample Output 110 121 HINT 1<=N, M<=50000 1<=T<=50000     数论……终于还是的在神犇博客的帮助下才写得出……T_T…… 最后推出…

2015 题意:\(d(i)\)为i的约数个数,求\(\sum\limits_{i=1}^n \sum\limits_{j=1}^m d(ij)\) \(ij\)都爆int了.... 一开始想容斥一下用\(d(i)\)和\(d(j)\)算\(d(ij)\),发现不行... 然后翻题解看到了一步好神的转化: \[ d(nm) = \sum_{i\mid n} \sum_{j\mid m} [gcd(i,j)=1] \] 晚上再补吧还是没拿草稿纸... 补: \(Proof.\) 首先注意约数个数…

Problem bzoj3994 洛谷3327 题意:设 \(d(x)\) 为 \(x\) 的约数个数,给定 \(N,M\),求\(\sum_{i=1}^N\sum_{j=1}^Md(ij)\) \(1\leq N,M,T\leq 5\times 10^4\) Solution 第一次推出莫反式 ♪(^∇^*) 以下部分中小括号代表\(\gcd\),中括号代表取布尔值 一开始想枚举约数然后看有多少倍数出现过的,发现不好弄,转而想到 \(xy\) 的因数一定是 \(x\) 的因数和 \(y\) 的…

又是恶心的莫比乌斯反演,蒟蒻我又是一脸懵逼的被CXR dalao狂虐. 题目要求\(ans=\sum_{i=1}^n \sum_{j=1}^m d(ij)\),其中\(d(ij)\)表示数\(x\)的约数个数 这道题的一大难点就在于\(d(ij)\)这个函数,它有一个重要的性质: \[d(ij)=\sum_{x|i}\sum_{y|i}[\gcd(i,j)=1]\] 大致的证明思路就是对于\(i,j\)的所有约数,为了避免重复计算,我们只取互质的一对. 知道了这个就是反演的套路了(如果不知道为什…

http://www.lydsy.com/JudgeOnline/problem.php?id=3994 (题目链接) 题意 多组询问,给出${n,m}$,求${\sum_{i=1}^n\sum_{j=1}^m d(i×j)}$,${d(i×j)}$为${ij}$的约数个数. Solution 看到这个式子感觉无从下手,这个${d(ij)}$比较丑,有一个比较经典的公式:$${d(nm)=\sum_{i|n}\sum_{j|m} [gcd(i,j)=1]}$$ 这个是怎么得来的呢.每一个${nm…

http://www.lydsy.com/JudgeOnline/problem.php?id=3994 设d(x)为x的约数个数,给定N.M,求 用到的一个结论: 证明: 枚举n的约数i,枚举m的约数j 那么i*j一定是n*m的约数 d(nm)相当于不同的i*j 的个数 若i, j 不互质 设gcd(i,j)= g , 则 i= p*g ,j=q*g 那么i*j 可以 组成两个互质数p*g*g 和 q 的乘积 p*g*g 和 q 也都输n和m的约数 即p*g*g 和 q 也都是合法的i,j 所…

Description 设d(x)为x的约数个数,给定1<=T<=50000 组1<=N, M<=50000 ,求 有一个公式\[d(ij)=\sum_{x|i}\sum_{y|j}[gcd(i,j)=1]\] 先简单证明一下 如果\(p_1^{k_1}|i\wedge p_1^{k_2}|j\) ,那么对于\(ij\)的一个因子\(p_1^{k_3}\) ,如果\(k_3\leq k_1\)我们就假设\(p_1^{k_3}\)全部来自于\(i\),不然就是\(k_1\)来自于\(…

Description 设d(x)为x的约数个数,给定N.M,求 Input 输入文件包含多组测试数据. 第一行,一个整数T,表示测试数据的组数. 接下来的T行,每行两个整数N.M. Output T行,每行一个整数,表示你所求的答案. Sample Input 2 7 4 5 6 Sample Output 110 121 HINT 1<=N, M<=50000 1<=T<=50000 Solution 莫比乌斯反演 但这题更多的是套路 首先,一个神奇的东东:\(d(nm)= \…

慢慢化柿子吧 要求的是这个 \[\sum_{i=1}^N\sum_{j=1}^Md(ij)\] 神奇的约数个数函数有一个这样的性质 \[d(ij)=\sum_{x|i}\sum_{y|j}[(x,y)=1]\] 试着从唯一分解定理的角度去理解,将\(i,j\)分别分解质因数 显然\(d(ij)\)应该等于每一个\(p\)在\(i,j\)中分解出来的指数加起来加1再相乘 所以分别枚举所有约数的话,保证这对约数互质就可以求出所有约数了 之后现在的答案变成了 \[\sum_{i=1}^N\sum_{j…

求\(\sum\limits_{i=1}^{n}\sum\limits_{j=1}^{m}d(ij)\) 不知道怎么讲..... 首先考虑\(d(ij)\)究竟是什么 首先,很自然地想到,既然是求\(ij\)的约数个数 因此就枚举\(i,j\)的约数 即\(d(ij) =\sum\limits_{x|i}\sum\limits_{y|j}...\) 注意到,我们不能重复地统计 我们从唯一分解得形式来考虑 因为多个质因子个和一个质因子的情况是一致的 因此我们考虑一个质因子 假设\(i = p^a,…

link 设\(d(x)\)表示x约数个数,给定n,m,\(\sum_{i=1}^n\sum_{j=1}^md(ij)\) 多组询问,1<=T<=50000,1<=N, M<=50000 前置知识:\(d(ij)=\sum_{x|i}\sum_{y|j}[\gcd(x,y)=1]\) 证明:\(xy\)一定是\(ij\)的约数.考虑一个质数\(p\),\(i\)中包含\(p^a\),\(j\)中包含\(p^b\),则\(ij\)中包含的是\(p^{a+b}\).若\(\gcd(x,…

点此看题面 大致题意: 设\(d(x)\)为\(x\)的约数个数,求\(\sum_{i=1}^N\sum_{j=1}^Md(i·j)\). 莫比乌斯反演 这是一道莫比乌斯反演题. 一个重要的性质 首先我们要先了解\(d(i·j)\)这个函数的性质: \[d(i,j)=\sum_{x|i}\sum_{y|j}[gcd(x,y)==1]\] 证明: 我也不知道,应该就是枚举\(i\)和\(j\)的约数,求出其中不互质的约数对个数,避免重复计算. 一些定义 按照莫比乌斯反演的常见套路,我们可以定义\(…

题目 设d(x)为x的约数个数,给定N.M,求\(\sum_{i = 1}^{N} \sum_{j = 1}^{M} d(ij)\) 输入格式 输入文件包含多组测试数据.第一行,一个整数T,表示测试数据的组数.接下来的T行,每行两个整数N.M. 输出格式 T行,每行一个整数,表示你所求的答案. 输入样例 2 7 4 5 6 输出样例 110 121 提示 1<=N, M<=50000 1<=T<=50000 题解 好神的题[是我太弱吧] 首先上来就伤结论.. 题目所求 \[ans…

题目大意 设d(x)为x的约数个数,\(t\)组询问,给定\(n,m\)(\(t,m,n\leq5*10^4\)),求$ \sum^n_{i=1}\sum^m_{j=1}d(i*j)$ 题解 假设\(n\leq m\) 设\(i=p_1^{a_1}*p_2^{a_2}*...*p_k^{a_k},j=p_1^{b_1}*p_2^{b_2}*...*p_k^{b_k}\) 对于\(i*j\)的某个约数\(x\),设\(x=p_1^{c_1}*p_2^{c_2}*...*p_k^{c_k}\),那么…

https://www.luogu.org/problemnew/show/P3327 不会做. 去搜题解...为什么题解都用了一个奇怪的公式?太奇怪了啊... 公式是这样的: $d(xy)=\sum_{i|x}\sum_{j|y}[(i,j)=1]$ 证明:(转自:https://23613.blog.luogu.org/solution-p3327) 考虑一个质因子p,设x中p的指数为a,y中p的指数为b(指质因数分解结果中指数),那么根据因数个数定理,这个质因子对式子左边的贡献(指使得答案…

题目描述 设d(x)为x的约数个数,给定N.M,求 \sum^N_{i=1}\sum^M_{j=1}d(ij)∑i=1N​∑j=1M​d(ij) 输入输出格式 输入格式: 输入文件包含多组测试数据.第一行,一个整数T,表示测试数据的组数.接下来的T行,每行两个整数N.M. 输出格式: T行,每行一个整数,表示你所求的答案. 输入输出样例 输入样例#1: 复制 2 7 4 5 6 输出样例#1: 复制 110 121 说明 1<=N, M<=50000 1<=T<=50000 有一个…

Description  设d(x)为x的约数个数,给定N.M,求     Input 输入文件包含多组测试数据. 第一行,一个整数T,表示测试数据的组数. 接下来的T行,每行两个整数N.M. Output T行,每行一个整数,表示你所求的答案. Sample Input 2 7 4 5 6 Sample Output 110 121 解题思路: 有一个喜闻乐见的结论: ${\sum_{i=1}^{n}}{\sum_{j=1}^{m}}{d(i*j)]}={\sum_{i=1}^{n}}{\su…

题意 首先有个结论: \(d(i,j)=\sum\limits_{x|i}\sum\limits_{y|j}[gcd(x,y)=1]\) 证明: 假设\(i=p_1^{a_1}*p_2^{a_2}*...*p_k^{a_k},j=p_1^{b_1}*p_2^{b_2}*...*p_k^{b_k}\),则\(i*j=p_1^{a_1+b_1}*p_2^{a_2+b_2}*...*p_k^{a_k+b_k}\) 考虑第\(i\)个质因子\(p_i\),如果\(x,y\)互质,则\(x,y\)只能有一…

题面 我的做法基于以下两个公式: \[[n=1]=\sum_{d|n}\mu(d)\] \[\sigma_0(i*j)=\sum_{x|i}\sum_{y|j}[gcd(x,y)=1]\] 其中\(\sigma_0(n)\)表示\(n\)的约数个数 第一个公式是莫比乌斯函数的基本性质,至于第二个公式的证明,可以考虑\(i*j\)中每一个质因子对 \(\sigma_0(i*j)\) 的贡献,对于一个质因子 \(p\) ,若它在 \(i\) 中的次数为 \(k_1\) ,它在 \(j\) 中的次数为…