题目链接 https://www.luogu.org/problemnew/show/P2568 分析 题目即求\(\sum_{i=1}^N \sum_{j=1}^N [gcd(i,j)\) \(is\) \(a\) \(prime\) \(number\) \(]\) 我们提出这个素数变成\(\sum_p \sum_{i=1}^{\frac{N}{p} \ } \sum_{j=1}^{\frac{N}{p} \ } [gcd(i,j)\) \(is\) \(1]\) 对于后面两个\(sigma…

题意 求$ \sum_{i=1}^n gcd(i,n) $ 给定 $n(1\le n\le 2^{32}) $. 链接 题解 欧拉函数 $φ(x)$ :1到x-1有几个和x互质的数. gcd(i,n)必定是n的一个约数. 若p是n的约数,那么gcd(i,n)==p的有$φ(n/p)$个数,因为要使gcd(i,n)==p,i/p和n/p必须是互质的. 那么就是求i/p和n/p互质的i在[1,n]里有几个,就等价于 1/p,2/p,...,n/p 里面有几个和n/p互质,即φ(n/p). 求和的话,…

题目大意 直接看原文吧.... The Farey Sequence Fn for any integer n with n >= 2 is the set of irreducible rational numbers a/b with 0 < a < b <= n and gcd(a,b) = 1 arranged in increasing order. The first few areF2 = {1/2}F3 = {1/3, 1/2, 2/3}F4 = {1/4, 1/3…

题目大意 给定一个正整数n,要求你求出所有小于n的正整数当中与n互质的数的个数 题解 欧拉函数模板题~~~因为n过大~~~所以直接用公式求 代码: #include<iostream> #include<cmath> #include<cstdio> using namespace std; int euler_phi(int n) { int m=(int)sqrt(n+0.5); int ans=n; ; i<=m; i++) ) { ans=ans/i*(i…

https://codeforces.com/contest/1114/problem/F 欧拉函数 + 区间更新线段树 题意 对一个序列(n<=4e5,a[i]<=300)两种操作: 1. 将a[l,r]的数字乘以x(x<=300) 2. 求\(\varphi(\prod_{i=l}^ra[i])\)对1e9+7取模 题解 欧拉函数性质 假如\(p\)是一个质数,\(\varphi(p)=p-1\),\(\varphi(p^k)=p^{k-1}*(p-1)=p^k*\frac{p-1}…

题目描述 给出 $n$ 和 $p$ ,求 $(\sum\limits_{i=1}^n\sum\limits_{j=1}^nij\gcd(i,j))\mod p$ . $n\le 10^{10}$ . 题解 欧拉函数(欧拉反演)+杜教筛 推式子: $$\begin{align}&\sum\limits_{i=1}^n\sum\limits_{j=1}^nij\gcd(i,j)\\=&\sum\limits_{i=1}^n\sum\limits_{j=1}^nij\sum\limits_{d|…

题目描述 给定n个正整数a1,a2,…,an,求 的值(答案模10^9+7). 输入 第一行一个正整数n. 接下来n行,每行一个正整数,分别为a1,a2,…,an. 输出 仅一行答案. 样例输入 3 6 10 15 样例输出 1595 题解 欧拉函数 由于 $\varphi$ 是积性函数,所以可以单独考虑每个质因子的贡献. 那么对于最终的 $a=i_1i_2\dots i_n$ ,若其包含 $p^c\ ,\ c>0$ ,则贡献为 $\frac{p-1}{p}·p^c$ .因此求出 $p^c$ 的…

题目描述 平面上摆放着一个n*m的点阵(下图所示是一个3*4的点阵).Curimit想知道有多少三点组(a,b,c)满足以a,b,c三点共线.这里a,b,c是不同的3个点,其顺序无关紧要.(即(a,b,c)和(b,c,a)被认为是相同的).由于答案很大,故你只需要输出答案对1,000,000,007的余数就可以了. 输入 有且仅有一行,两个用空格隔开的整数n和m. 输出 有且仅有一行,一个整数,表示三点组的数目对1,000,000,007的余数.(1,000.000.007是质数) 样例输入 3…

题目描述 作为体育委员,C君负责这次运动会仪仗队的训练.仪仗队是由学生组成的N * N的方阵,为了保证队伍在行进中整齐划一,C君会跟在仪仗队的左后方,根据其视线所及的学生人数来判断队伍是否整齐(如下图).    现在,C君希望你告诉他队伍整齐时能看到的学生人数. 输入 共一个数N. 输出 共一个数,即C君应看到的学生人数. 样例输入 4 样例输出 9 题解 欧拉函数 将左下角的点的坐标视为(0,0),则如果一个除(0,1)和(1,0)以外点能够被看见,它的横纵坐标必定互质. 那么可以盖住左上半部…

题目描述 Longge的数学成绩非常好,并且他非常乐于挑战高难度的数学问题.现在问题来了:给定一个整数N,你需要求出∑gcd(i, N)(1<=i <=N). 输入 一个整数,为N. 输出 一个整数,为所求的答案. 样例输入 6 样例输出 15 题解 欧拉函数 易得知满足gcd(n,x)==i的小于等于n的x的个数为phi(n/i), 并且欧拉函数可以在O(√n)的时间内快速求出.. 于是可以先求出所有n的因子,再用欧拉函数得出答案. 由于因子是成对出现的,所以因子并不需要枚举到n,只需枚举到…

题目描述 Given n, calculate the sum LCM(1,n) + LCM(2,n) + .. + LCM(n,n), where LCM(i,n) denotes the Least Common Multiple of the integers i and n. 输入 The first line contains T the number of test cases. Each of the next T lines contain an integer n. 输出 Ou…

题目描述 大富翁国因为通货膨胀,以及假钞泛滥,政府决定推出一项新的政策:现有钞票编号范围为1到N的阶乘,但是,政府只发行编号与M!互质的钞票.房地产第一大户沙拉公主决定预测一下大富翁国现在所有真钞票的数量.现在,请你帮助沙拉公主解决这个问题,由于可能张数非常大,你只需计算出对R取模后的答案即可.R是一个质数. 输入 第一行为两个整数T,R.R<=10^9+10,T<=10000,表示该组中测试数据数目,R为模后面T行,每行一对整数N,M,见题目描述 m<=n 输出 共T行,对于每一对N,…

题目描述 给出一个数字N 输入 第一行为一个正整数T,表示数据组数. 接下来T行为询问,每行包含一个正整数N. T<=5000,N<=10^7 输出 按读入顺序输出答案. 样例输入 1 10 样例输出 136 题解 欧拉函数 其中用到了$\sum\limits_{i=1}^k\sum\limits_{j=1}^k[\gcd(i,j)=1]=2\sum\limits_{i=1}^k\varphi(i)-1$ 这个推导很简单:由欧拉函数的定义,$\sum\limits_{i=1}^k\sum\li…

约数 一.概念 约数,又称因数.整数a除以整数b(b≠0) 除得的商正好是整数而没有余数,我们就说a能被b整除,或b能整除a.a称为b的倍数,b称为a的约数. 二.性质 1.整数唯一分解 1)定义 对于任意一个正整数N,都有 N=p1c1*p2c2...pmcm,其中p为质数. 2)正约数集合 ={p1b1*p2b2*...pmbm|0<=bi<=ci}   3)正约数的和 f(n)=(p1^0+p1^1+p1^2+…p1^a1)(p2^0+p2^1+p2^2+…p2^a2)…(pk^0+pk…

思路: 虽然看到题目就想到了用欧拉函数做,但就是不知道怎么做... 当a b互质时GCD(a,b)= 1,由此我们可以推出GCD(k*a,k*b)= k.设ans[i]是1~i-1与i的GCD之和,所以最终答案是将ans[0]一直加到ans[n].当 k*i==j 时,ans[j]=k*euler[i]. 看完题解瞬间领悟:神奇海螺 突然忘记欧拉函数是什么:欧拉函数 代码: #include<cstdio> #include<cstring> #include<cstdlib…

题目: Bamboo Pole-vault is a massively popular sport in Xzhiland. And Master Phi-shoe is a very popular coach for his success. He needs some bamboos for his students, so he asked his assistant Bi-Shoe to go to the market and buy them. Plenty of Bamboos…

The Farey Sequence Fn for any integer n with n >= 2 is the set of irreducible rational numbers a/b with 0 < a < b <= n and gcd(a,b) = 1 arranged in increasing order. The first few are F2 = {1/2} F3 = {1/3, 1/2, 2/3} F4 = {1/4, 1/3, 1/2, 2/3, 3…

Bi-shoe and Phi-shoe Bamboo Pole-vault is a massively popular sport in Xzhiland. And Master Phi-shoe is a very popular coach for his success. He needs some bamboos for his students, so he asked his assistant Bi-Shoe to go to the market and buy them.…

版权声明:本文作者靖心,靖空间地址:http://blog.csdn.net/kenden23/,未经本作者同意不得转载. https://blog.csdn.net/kenden23/article/details/35774889 最主要的欧拉函数: 欧拉函数:求小于n的与n互质的个数   欧兰函数公式:φ(x)=x(1-1/p1)(1-1/p2)(1-1/p3)(1-1/p4)-..(1-1/pn),当中p1, p2--pn为x的全部质因数   就是要求这种式子啦,只是求这条式子.相信有非…

求gcd(x,y)=p等价于求gcd(x/p,y/p)=1,转化为了n/p内互质的个数 所以欧拉函数,因为有序所以乘2,再特判一下只有在1,1情况下才会重复计算,所以每次都减一 数组开小一时爽,提交wa火葬场!!! #include<iostream> #include<cstdio> #include<cstring> using namespace std; ; int n; int ck[maxn],prime[maxn],phi[maxn],tot; long…

Description Longge is good at mathematics and he likes to think about hard mathematical problems which will be solved by some graceful algorithms. Now a problem comes: Given an integer N(1 < N < 2^31),you are to calculate ∑gcd(i, N) 1<=i <=N. …

Description The greatest common divisor GCD(a,b) of two positive integers a and b,sometimes written (a,b),is the largest divisor common to a and b,For example,(1,2)=1,(12,18)=6. (a,b) can be easily found by the Euclidean algorithm. Now Carp is consid…

前言:还算比较简单的数学题,我这种数学蒟蒻也会做QAQ. --------------- 题意:求$\sum\limits_{i=1}^n gcd(i,n)$的值. 设$gcd(i,n)=d$,即$d$为$i$和$n$的因数,那么有$gcd(i/d,n/d)=1$.假设我们求出了$x$个满足条件的$i$,那么总的结果就是$x*d$.我们因此可以枚举$n$的因数,累加即可.注意判断$n$是不是完全平方数. 问题来了:怎么求满足$gcd(i/d,n/d)=1$的$i$的个数?欧拉函数啊!我们可以$\…

题意: 给定\(n,m,p\),求 \[\sum_{a=1}^n\sum_{b=1}^m\frac{\varphi(ab)}{\varphi(a)\varphi(b)}\mod p \] 思路: 由欧拉函数性质可得:\(x,y\)互质则\(\varphi(xy)=\varphi(x)\varphi(y)\):\(p\)是质数则\(\varphi(p^a)=(p-1)^{a-1}\).因此,由上述两条性质,我们可以吧\(a,b\)质因数分解得到 \[\begin{aligned} \sum_{a=…

GCD 题意:输入N,M(2<=N<=1000000000, 1<=M<=N), 设1<=X<=N,求使gcd(X,N)>=M的X的个数.  (文末有题) 知识点:   欧拉函数.http://www.cnblogs.com/shentr/p/5317442.html 题解一: 当M==1时,显然答案为N. 当M!=1.  X是N的因子的倍数是 gcd(X,N)>1 && X<=N 的充要条件.so  先把N素因子分解, N=     …

Farey Sequence 题意:给定一个数n,求在[1,n]这个范围内两两互质的数的个数.(转化为给定一个数n,比n小且与n互质的数的个数) 知识点: 欧拉函数: 普通求法: int Euler(int n) { int ans=n; for(int i=0;i<cnt&&prime[i]<=n;i++) { if(n%prime[i]==0) { ans=ans-ans/prime[i]; while(n%prime[i]==0) n/=prime[i]; } } if(…

51Nod: http://www.51nod.com/onlineJudge/questionCode.html#!problemId=1136 1136 欧拉函数 基准时间限制:1 秒 空间限制:131072 KB 分值: 0 难度:基础题   对正整数n,欧拉函数是少于或等于n的数中与n互质的数的数目.此函数以其首名研究者欧拉命名,它又称为Euler's totient function.φ函数.欧拉商数等.例如:φ(8) = 4(Phi(8) = 4),因为1,3,5,7均和8互质.  …

Description   Given A,B,C, You should quickly calculate the result of A^B mod C. (1<=A,C<=1000000000,1<=B<=10^1000000). Input There are multiply testcases. Each testcase, there is one line contains three integers A, B and C, separated by a sin…

题意:求1--n中满足gcd(x,y)的值为质数的数对(x,y)的数目 ( (x,y)和(y,x)算两个 ) sol: 设p[i]是一个质数,那么以下两个命题是等价的: 1.gcd(x,y)=1 2.gcd(x*p[i],y*p[i])=p[i] eg:gcd(36,25)=1,gcd(36*7,25*7)=7 所以对于1--n的所有质数p[i],求一下1<=x,y<=n/p[i]中所有gcd(x,y)=1的数对的数目即可. 如何求1--r范围内所有互质数对的数目? 考虑欧拉函数φ(x)=1.…

欧拉函数:一般记作φ(n),表示1-n中与n互质的数的数量. 欧拉函数是积性函数,即φ(m*n)=φ(m)*φ(n) //这条定理基友面试时还遇到了= = 欧拉函数的值φ(n)=n*(1-p[1])*(1-p[2])*...*(1-p[n]) //p[i]是小于等于n的所有素数 若n是m的倍数,则小于等于n且与m互质的数的个数为(n/m)*φ(m) //证明不难理解:设k小于等于m且与m互质,则k+m.k+2m......也与m互质 若n是质数p的k次幂,则φ(n)=(p-1)*(p^(k-1)…