这儿只是一个简单说明/概括/总结. 原理见这: https://www.cnblogs.com/cjyyb/p/9185093.html https://www.cnblogs.com/zhoushuyu/p/9187319.html 首先计算\[g(n,j)=\sum_if(i),\quad i是质数\ 或\ i的最小质因子严格大于P_j\\g(n,j)=\begin{cases}g(n,j-1)&P_j^2\gt n\\ g(n,j-1)-f(P_j)\left[g(\frac{n}{P_j…

原文链接https://www.cnblogs.com/zhouzhendong/p/Min-25.html 前置技能 埃氏筛法 整除分块(这里有提到) 本文概要 1. 问题模型 2. Min_25 筛 3. 模板题以及模板代码 问题模型 有一个积性函数 $f$ ,对于所有质数 $p$,$f(p)$ 是关于 $p$ 的多项式,$f(p^k)$ 非常容易计算(不一定是关于 p 的多项式). 求 $$\sum_{i=1}^{n} f(i)$$ $n\leq 10^{10}$ ${\rm Time\…

看见ntf和pb两位大佬都来学了,然后就不自觉的来学了. 我们考虑这样一个问题. $$ans=\sum_{i=1}^nf(i)$$其中$1\leq n\leq 10^{10}$ 其中$f(i)$是一个非常奇怪的函数,并不像$\mu(i),\varphi(i),i\varphi(i)$那样具有那么好的性质.但是满足以下条件: 1.若$p$为质数,则$f(p)$是一个关于$p$的多项式,比如$\mu(p)=-1,\varphi(p)=p-1$. 2.若$p$为质数,$e$为正整数,则$f(p^e)$…

洲阁筛 给定一个积性函数$F(n)$,求$\sum_{i = 1}^{n}F(n)$.并且$F(n)$满足在素数和素数次幂的时候易于计算. 显然有: $\sum_{i = 1}^{n} F(n) = \sum_{i = 1}^{\sqrt{n}}F(i) \left(\sum_{\sqrt{n} < p\leqslant n/i, p\ is\ a\ prime} F(p) \right) + \sum_{i = 1, i\ has\ no\ prime\ factor\ greater\ th…

感觉好好用啊 Luogu上的杜教筛模版题一发 Min_25抢到了 rank1 $ Updated \ on 11.29 $被 STO txc ORZ踩爆啦 前言 $ Min$_$25$筛可以求积性函数的前缀和 要求$ f(p_i)为一个多项式,f(p_i^{k_i})可以快速计算$ 以下部分暂时忽略$ 1$,即只考虑最小质因子$ \geq 2$的那些数 先考虑素数贡献 我们定义$ sp(n)$表示$\sum\limits_{i=1}^n f(p_i)$即前$ n$个素数的积性函数和 这里我们先假…

\(Min\_25\)筛学习笔记 这种神仙东西不写点东西一下就忘了QAQ 资料和代码出处 资料2 资料3 打死我也不承认参考了yyb的 \(Min\_25\)筛可以干嘛?下文中未特殊说明\(P\)均指质数集合,\(p_i\)或\(p\)指某个具体质数. 求一类积性函数\(f(x)\)的前缀和,需要满足\(f(p)\)可以写成多项式的形式,或者操作一下可以写成多项式(如例题),且\(f(p^k)\)能快速求出. 讲真学这个东西比我什么都不会的时候学\(FFT\)都累. Round 1 先求质数的贡…

Powerful Number 筛学习笔记 用途 \(Powerful\ number\) 筛可以用来求出一类积性函数的前缀和,最快可以达到根号复杂度. 实现 \(Powerful\ number\) 的定义是每个质因子次数都 \(\ge 2\) 的数. 有如下的性质: \(1\).一个 \(Powerful\ number\) 一定可以表示为 \(a^2b^3\) 的形式. \(2\).\(n\) 以内的 \(Powerful\ number\) 个数是 \(O(\sqrt n)\) 级别的.…

前言 为什么叫学习小记呢?因为暂时除了模板题就没有做其他的东西了.(雾 这个东西折磨了我一整天,看得我身不如死,只好结合代码理解题解,差点死在机房.(话说半天综合半天竞赛真是害人不浅) 为了以后忘了再受荼毒,这里还是写一下,如果有人会看到的话,希望可以帮助到吧.(话说这个东西我已经拖了好久了啊!!!) (话说我怎么这么多话说啊?!!) Min_25 筛 这个东西是由聚聚\(\texttt{Min-25}\)发明了,所以我们称之为\(\texttt{Min-25}\)筛.(感觉有点民科了)那就不废…

Min_25筛简介 \(\text{min_25}\)筛是一种处理一类积性函数前缀和的算法. 其中这类函数\(f(x)\)要满足\(\sum_{i=1}^{n}[i\in prime]\cdot f(i)\)可以被\(\sum_{i=1}^{n}[i\in prime]\cdot i^k\)简单表示或者快速计算,其中\(k\)为较小的常数. 时间复杂度好像是\(O(\frac{n^{0.75}}{\log n})\),不过据说被证伪了...也有人说是\(O(n^{1-\epsilon})\),反…

min_25筛 由 dalao min_25 发明的筛子,据说时间复杂度是极其优秀的 \(O(\frac {n^{\frac 3 4}} {\log n})\),常数还小. 1. 质数 \(k\) 次方前缀和(基础) 求 \(\sum_{p \leq n}p^k\) 我们考虑一个 \(\rm DP\) 的思路:设 \(g(n,j)\) 为: \[\sum_{i=1}^n[(\sum_{t=1}^j[p_t|i])=0] i^k \] 其实就是不大于 \(n\) 的,且不含有 \(p_1\) ~…