[Rather less, but better.]----卡尔·弗里德里希·高斯(1777-1855) (2016诸暨质检18)已知$f(x)=x^2-a|x-1|+b(a>0,b>-1)$. (Ⅰ)若b=0,a>2,求f(x)在区间[0.2]内的最小值m(a); (Ⅱ)若f(x)在区间[0.2]内不同的零点恰有两个,且落在区间$[0,1),(1,2]$内各一个, 求a-b的取值范围. 先来看看参考答案的标准解答.(要掌握,会写) 评:我们把问题看成$y=x^2+b$和$y=a|x-1…

…

Hibernate配置文档有框架总部署文档hibernate.cfg.xml 和映射类的配置文档 ***.hbm.xml hibernate.cfg.xml(文件位置直接放在src源文件夹即可) (在配置属性时也可使用hibernate.properties文件来部署,hibernate5.0官方文件在目录hibernate-release-5.2.1.Final\project\etc  下.但在实际开发中一般使用hibernate.cfg.xml) hibernate.cfg.xml 中hi…

一天一道LeetCode系列 (一)题目 Given a matrix of m x n elements (m rows, n columns), return all elements of the matrix in spiral order. For example, Given the following matrix: [ [ 1, 2, 3 ], [ 4, 5, 6 ], [ 7, 8, 9 ] ] You should return [1,2,3,6,9,8,7,4,5]. (二…

已知二次函数$f(x)=ax^2+bx+c$有零点,且$a+b+c=1$ 若$t=\min\{a,b,c\}$求$t$的最大值. 分析:由$a,c$的对称性,不妨$c\ge a$即$2a+b\le1$则$t=\min\{a,b\}$.由$b^2\ge4ac$得$(2a+b)^2\ge4a $,由于求$t$的最大值,只需考虑$a,b>0$(不然则$t=\min\{a,b\}\le0$)此时由$(2a+b)^2\ge4a $得$1\ge4t$故$t\le\dfrac{1}{4},$当$a=\dfra…

(2012北大保送)已知$f(x)$是二次函数,且$a,f(a),f(f(a)),f(f(f(a)))$是正项等比数列;求证:$f(a)=a$ 构造二次函数$f(x)=qx$,则$a,f(a),f(f(a))$是该二次函数的三个根,故他们当中必有两个相等,从而易得$q=1$,故$f(a)=a$…

这种构造二次函数的方法最早接触的应该是在证明柯西不等式时: 再举一例: 最后再举个反向不等式的例子: 评:此类题目的证明是如何想到的呢?他们都有一个明显的特征$AB\ge(\le)C^2$,此时构造二次函数利用$\Delta$证明,效果非常理想.…

解析: 评:两根式是不错的考虑方向,一方面二次函数两根式之前有相应的经验,另一方面这里$\sqrt{\frac{b^2}{4}-c}$正好和两个根有关系.…

2010浙江省数学竞赛,附加题. 设$D,E,F$分别为$\Delta ABC$的三边$BC,CA,AB$上的点,记$\alpha=\dfrac{BD}{BC},\beta=\dfrac{BD}{BC},\gamma=\dfrac{AF}{AB}$ 证明:$S_{\Delta DEF}\ge\alpha\beta\gamma S_{\Delta ABC}$ 证明:$S_{DEF}=S_{ABC}-S_{AFE}-S_{BDF}-S_{DCE}$$=S_{ABC}(1-\sum\limits_{c…

已知$x_1^2+x_2^2+\cdots+x_6^2=6,x_1+x_2+\cdots+x_6=0,$证明:$x_1x_2\cdots x_6\le\dfrac{1}{2}$ 解答:显然只需考虑2个非负4个非正(或者2非正4非负)的情况.不妨设$x_1,x_2\ge0;x_3,x_4,x_5,x_6\le0$,记$a_1=x_1,a_2=x_2,a_k=-x_k (k=3,4,5,6)$则题目变为已知$a_1^2+a_2^2+a_3^2+a_4^2+a_5^2+a_6^2=6,a_1+a_2=…

若不等式$k\sin^2B+\sin A\sin C>19\sin B\sin C$对任意$\Delta ABC$都成立,则$k$的最小值为_____ 分析:由正弦定理得$k>\dfrac{19bc-ac}{b^2}$,令$a=x+y,b=y+z,c=z+x,x,y,z>0$,则$\dfrac{19bc-ac}{b^2}=\dfrac{(z+x)(19(y+z)-(x+y))}{(y+z)^2}<\dfrac{(z+x)(20y+19z-x))}{(y+z)^2}\le\dfrac…

若$f(x^2)$的定义域为$[-1,1]$,则函数$f(x)$的定义域为______ 设$a>0$构造$f(x)=\sqrt{x(1-x)(a+x)}$,此时$f(x^2)$的定义域为$[-1,1]$满足条件,但是$f(x)$的定义域为$(-\infty,-a]\cup[0,1]$,因$a$而异,故由题目条件不足以确定$f(x)$的定义域.…

设函数$f(x)=x^2+ax+b$,已知函数$f(x)$在$[-1,1]$上存在零点,若$0\le b-2a\le 1$,求$b$的范围 (2015浙江文科高考20(2)) 分析:理解成$g(x)=ax+b,h(x)=-x^2$的图像在$[-1,1]$上有交点.且$g(-2)\in[0,1]$,由图容易知道$P$取$A$点时,相切时$b$最大,过$C$时$b$最小.故易知$b\in[-3,9-4\sqrt{5}]$…

设$a,b,c>0,$满足$a+b+c\le abc$证明:$\dfrac{1}{\sqrt{1+a^2}}+\dfrac{1}{\sqrt{1+b^2}}+\dfrac{1}{\sqrt{1+c^2}}\le\dfrac{3}{2}$ 证明:设$a=\dfrac{1}{x},b=\dfrac{1}{y},c=\dfrac{1}{z}$由$a+b+c\le abc$知$xy+yz+zx\le 1$\begin{align}\label{} \sum\dfrac{1}{\sqrt{1+a^2}}…

若函数$f(x)=ax^2+20x+14(a>0)$对任意实数$t$,在闭区间$[t-1,t+1]$上总存在两实数$x_1,x_2$,使得$|f(x_1)-f(x_2)|\ge8$成立,则实数$a$的最小值为____ 解答:记$h(t)=\max\limits_{x_1,x_2}\{|f(x_1)-f(x_2)|\}$,由题意$h(t)_{min}\ge8$$\because 2a=f(t+1)+f(t-1)-2f(t)\le 2f(x)_{max}-2f(x)_{min}=2h(t),\the…

评:此类题目在高考中作为压轴题也曾考过,一般通性通法都如上面的做法,但是我们如果可以站在包络的角度,很多问题将变得很清晰:…

[Read a good book, that is conversation with many a noble man.]---勒内·笛卡尔(1596-1650) 解答: 评:也可以把f(f(x))的表达式写出来再作图.相比之下比较花时间.…

注:康拓诺维奇不等式的应用…

[Genius is one percent inspiration and ninety-nine percent perspiration]--- 爱迪生 [Without the one percent of inspiration, all the perspiration in the world is only a bucket of sweat]         ---美国作家Cindi Myers 已知$cosxcos2xcos3x+sinxsin2xsin3x=1$,求$x$=…

评:技巧性很大,需要敏锐的洞察力通过柯西不等式把分母变成一样.请记住这个变形$$(a+b+ab+1)=(a+1)(b+1)\le\sqrt{(a^2+1)(b^2+1)}$$…

让我通过这道题来演示如何利用切比雪夫多项式的内功心法: 评:如此大道至简,当年为之叫绝的精彩的做法…

解答: 评:一般的五次及以上的多项式方程是无根式解的,只能用计算机去精确到某某位.但是特殊的比如$x^5=1$显然有根式解,本题就是一个不平凡的特殊的例子,这里的代换用于求解三次方程的求根过程是一样的.…

评:指数函数增长>幂函数增长>对数函数增长.…

评:这道题由于系数弄得不是很好,涉及的难度为联赛一试+难度.中间用到了$Sturm$定理,还涉及到一些代 数变形技巧,最后一个求关于$m$的三次方程又涉及到三次方程的求法.一个小时讲这一道题也不为过.…

解答: 评:容易用绝对值不等式证明当$x\in[1,5]$时$|x^2+px+q|\ge2$…

                                  评:蝴蝶效应[蝴蝶效应(The Butterfly Effect)是指在一个动力系统中,初始条件下微小的变化能带动整个系统的长期的巨大的连锁反应.这是一种混沌现象.任何事物发展均存在定数与变数,事物在发展过程中其发展轨迹有规律可循,同时也存在不可测的“变数”,往往还会适得其反,一个微小的变化能影响事物的发展,说明事物的发展具有复杂性.]https://baike.baidu.com/item/%E8%9D%B4%E8%9D%B6…

(2018武汉大学自招)设$x,y,z\ge0,xy+yz+zx=1$证明:$\dfrac{1}{x+y}+\dfrac{1}{y+z}+\dfrac{1}{z+x}\ge \dfrac{5}{2}$ 证明:\begin{align*}\textbf{原式} & \iff 2\sum{(y+z)(z+x)}-5\prod(x+y)\ge0\\ & \iff 2\sum{z^2+(x+y)z+xy}-5\left((x+y+z)(xy+yz+zx)-xyz\right)\ge0\\ &…

设函数$f(x)=3ax^2-2(a+b)x+b,$其中$a>0,b\in R$证明:当$0\le x\le 1$时,$|f(x)|\le \max\{f(0),f(1)\}$ 分析:由$a>0$知道$\max\{f(0),f(1)\}=\max\{|f(0)|,|f(1)|\}$则\begin{align*} |f(x)| & \le |(3x^2-4x+1)f(0)+(3x^2-2x)f(1)| \\ &\le(|3x^2-4x+1|+|3x^2-2x|)\max\{|f(…

解答:答案1,3,4. 这里关于高斯函数$[x]$的一个不等式是需要知道的$x-1<[x]\le x$,具体的:…

设$a,b,c$是正数,且$(a+b)(b+c)(c+a)=8$,证明不等式:$\frac{a+b+c}{3}≥[\frac{a^3+b^3+c^3}{3}]^{\frac{1}{27}}$ 评:记住一些常见的三元恒等变换是重要的,这里的27次是"假27次".…