1.欧几里得算法(辗转相除法) 直接上gcd和lcm代码. int gcd(int x,int y){ ?x:gcd(y,x%y); } int lcm(int x,int y){ return x*y/gcd(x,y); } 2.扩欧:exgcd:对于a,b,一定存在整数对(x,y)使ax+by=gcd(a,b)=d ,且a,b互质时,d=1. x,y可递归地求得. 我懒得改返回值类型了 long long exgcd(long long a,long long b,long long &x,…

中国剩余定理 CRT 推导 给定\(n\)个同余方程 \[ \left\{ \begin{aligned} x &\equiv a_1 \pmod{m_1} \\ x &\equiv a_2 \pmod{m_2} \\ &... \\ x &\equiv a_n \pmod{m_n} \end{aligned} \right. \] \(m_1, m_2 , ... , m_n\)两两互质 令\(M = \prod_{i=1}^{n} m_i\),求\(x \mod M\)…

数论守门员二号 =.= 中国剩余定理: 1.一次同余方程组: 一次同余方程组是指形如x≡ai(mod mi) (i=1,2,…,k)的同余方程构成的组 中国剩余定理的主要用途是解一次同余方程组,其中m1,m2,...,mk互质 2.中国剩余定理: 令M=m1*m2*...*mk(即所有m的lcm)ti为同余方程M/mi*ti≡1(mod mi)的最小正整数解 则存在解x=∑ai*M/mi*ti 通解为x+i*M 最小非负整数解为(x%M+M)%M (我承认这段是抄的orz 原文看起来更方便:ht…

引入 常想起在空间里见过的一些智力题,这个题你见过吗: 一堆苹果,\(3\)个\(3\)个地取剩\(1\)个,\(5\)个\(5\)个地取剩\(1\)个,\(7\)个\(7\)个地取剩\(2\)个,苹果最少有几个? 够焦头烂额的(雾 大力算可知至少有16个. 我们把它抽象成数学问题: 求满足 \[\begin{cases}x\equiv1\pmod{3}\\x\equiv1\pmod{5}\\x\equiv2\pmod{7}\end{cases}\] 的最小正整数\(x\). 感性地猜到有一个长…

只看懂了CRT,EXCRT待补.... 心得:记不得这是第几次翻CRT了,每次都有迷迷糊糊的.. 中国剩余定理用来求解类似这样的方程组: 求解的过程中用到了同余方程. x=a1( mod x1) x=a2( mod x2) x=a3( mod x3) 假设: n1=a1( mod x1) n2=a2( mod x2) n3=a3( mod x3)已知n1满足除以3余2,能不能使得n1+n2的和仍然满足%x1=a1? 所以n2应该是x2的倍数,其余同理. 所以当答案为n1+n2+n3时,n1应该是…

中国剩余定理 ——!x^n+y^n=z^n 想必大家都听过同余方程这种玩意,但是可能对于中国剩余定理有诸多不解,作为一个MOer&OIer,在此具体说明. 对于同余方程: x≡c1(mod m1) x≡c2(mod m2) ··· x≡cn (mod mn) [其中任意的两个mi,mj互质] 我们可以构造出一个解: 令m=Πai[0<i<=n],Mi*mi=m. 那我们可以得到一组解: x=ΣMi*Mi-1(mod m) 接下来我们想办法证明她是唯一的: Mi*Mi-1≡1(mod m…

题目链接:http://lightoj.com/volume_showproblem.php?problem=1319 In 'MonkeyLand', there is a traditional game called "Bamboo Climbing". The rules of the game are as follows: ) There are N monkeys who play this game and there are N bamboos of equal he…

扩展欧几里得算法 求逆元就不说了. ax+by=c 这个怎么求,很好推. 设d=gcd(a,b) 满足d|c方程有解,否则无解. 扩展欧几里得求出来的解是 x是 ax+by=gcd(a,b)的解. 对于c的话只需要x*c/gcd(a,b)%(b/d)即可,因为b/d的剩余系更小. 为什么这样呢? 设a'=a/d,b'=b/d 求出a'x+b'y=1的解,两边同时乘d,然后x也是ax+by=d的解, 然后因为b'的剩余系更小,所以%b’ 中国剩余定理是合并线性方程组的 中国余数定理 转化为一个线性…

首先请看定义:(百科上抄下来的)孙子定理是中国古代求解一次同余式组(见同余)的方法.是数论中一个重要定理.又称中国余数定理. 一元线性同余方程组问题最早可见于中国南北朝时期(公元5世纪)的数学著作<孙子算经>卷下第二十六题,叫做"物不知数"问题. 原文如下: 有物不知其数,三三数之剩二,五五数之剩三,七七数之剩二.问物几何? 即,一个整数除以三余二,除以五余三,除以七余二,求这个整数.<孙子算经>中首次提到了同余方程组问题,以及以上具体问题的解法,因此在中文数学…

前置知识 1. a%b=d,c%b=e, 则(a+c)%b=(d+e)%b(正确性在此不加证明) 2. a%b=1,则(d\(\times\)a)%b=d%b(正确性在此不加证明) 下面先看一道题(改编自曹冲养猪): 烤绿鸟的故事 题目描述: mian包是一个贪吃的孩子,这天,他买了一堆绿鸟吃.当然他的妈妈并不想让他吃太多食物(因为那样会发胖),为了避免老妈的唠叨,他决定不告诉他的妈妈绿鸟数量,而是将绿鸟的数量x用以下式子来描述 \[\begin{cases}x≡b_1 (mod a_1)\\x…