又是恶心的莫比乌斯反演,蒟蒻我又是一脸懵逼的被CXR dalao狂虐. 题目要求\(ans=\sum_{i=1}^n \sum_{j=1}^m d(ij)\),其中\(d(ij)\)表示数\(x\)的约数个数 这道题的一大难点就在于\(d(ij)\)这个函数,它有一个重要的性质: \[d(ij)=\sum_{x|i}\sum_{y|i}[\gcd(i,j)=1]\] 大致的证明思路就是对于\(i,j\)的所有约数,为了避免重复计算,我们只取互质的一对. 知道了这个就是反演的套路了(如果不知道为什…

题面 我的做法基于以下两个公式: \[[n=1]=\sum_{d|n}\mu(d)\] \[\sigma_0(i*j)=\sum_{x|i}\sum_{y|j}[gcd(x,y)=1]\] 其中\(\sigma_0(n)\)表示\(n\)的约数个数 第一个公式是莫比乌斯函数的基本性质,至于第二个公式的证明,可以考虑\(i*j\)中每一个质因子对 \(\sigma_0(i*j)\) 的贡献,对于一个质因子 \(p\) ,若它在 \(i\) 中的次数为 \(k_1\) ,它在 \(j\) 中的次数为…

P3327 [SDOI2015]约数个数和 莫比乌斯反演 链接 luogu 思路 第一个式子我也不会,luogu有个证明,自己感悟吧. \[d(ij)=\sum\limits_{x|i}\sum\limits_{y|j}[gcd(x,y)==1]\] \[\sum\limits_{i=1}^{n}\sum\limits_{j=1}^{m}\sum\limits_{x|i}\sum\limits_{y|j}[gcd(x,y)==1]\] \[\sum\limits_{i=1}^{n}\sum\li…

Portal Description 共\(T(T\leq5\times10^4)\)组数据.给出\(n,m(n,m\leq5\times10^4)\),求\[\sum_{i=1}^n\sum_{j=1}^m\sigma_0(ij)\] Solution 首先有结论:\(\sigma_0(xy)=\sum_{d_1|x}\sum_{d_2|y}[gcd(d_1,d_2)=1]\).下面先证明一下这个结论. 将\(x,y\)分解质因数,得到\(x=\prod_{i=1}^kp_i^{a_i}\),…

https://www.luogu.org/problemnew/show/P3327 不会做. 去搜题解...为什么题解都用了一个奇怪的公式?太奇怪了啊... 公式是这样的: $d(xy)=\sum_{i|x}\sum_{j|y}[(i,j)=1]$ 证明:(转自:https://23613.blog.luogu.org/solution-p3327) 考虑一个质因子p,设x中p的指数为a,y中p的指数为b(指质因数分解结果中指数),那么根据因数个数定理,这个质因子对式子左边的贡献(指使得答案…

题目 设d(x)为x的约数个数,给定N.M,求\(\sum_{i = 1}^{N} \sum_{j = 1}^{M} d(ij)\) 输入格式 输入文件包含多组测试数据.第一行,一个整数T,表示测试数据的组数.接下来的T行,每行两个整数N.M. 输出格式 T行,每行一个整数,表示你所求的答案. 输入样例 2 7 4 5 6 输出样例 110 121 提示 1<=N, M<=50000 1<=T<=50000 题解 好神的题[是我太弱吧] 首先上来就伤结论.. 题目所求 \[ans…

题目大意 设d(x)为x的约数个数,\(t\)组询问,给定\(n,m\)(\(t,m,n\leq5*10^4\)),求$ \sum^n_{i=1}\sum^m_{j=1}d(i*j)$ 题解 假设\(n\leq m\) 设\(i=p_1^{a_1}*p_2^{a_2}*...*p_k^{a_k},j=p_1^{b_1}*p_2^{b_2}*...*p_k^{b_k}\) 对于\(i*j\)的某个约数\(x\),设\(x=p_1^{c_1}*p_2^{c_2}*...*p_k^{c_k}\),那么…

题目描述 设d(x)为x的约数个数,给定N.M,求 \sum^N_{i=1}\sum^M_{j=1}d(ij)∑i=1N​∑j=1M​d(ij) 输入输出格式 输入格式: 输入文件包含多组测试数据.第一行,一个整数T,表示测试数据的组数.接下来的T行,每行两个整数N.M. 输出格式: T行,每行一个整数,表示你所求的答案. 输入输出样例 输入样例#1: 复制 2 7 4 5 6 输出样例#1: 复制 110 121 说明 1<=N, M<=50000 1<=T<=50000 有一个…

传送门 公式太长了……我就直接抄一下这位大佬好了……实在懒得打了 首先据说$d(ij)$有个性质$$d(ij)=\sum_{x|i}\sum_{y|j}[gcd(x,y)=1]$$ 我们所求的答案为$$ans=\sum_{i=1}^{n}\sum_{j=1}^{m}d(ij)$$ $$ans=\sum_{i=1}^{n}\sum_{j=1}^{m}\sum_{x|i}\sum_{y|j}[gcd(x,y)=1]$$ 考虑一下$gcd(x,y)=1$,我们可以考虑莫比乌斯函数的性质,那么即$\su…

思路 做这题先要知道一个性质, \[ d_{ij}=\sum_{x|i}\sum_{y|j}[(x,y)=1] \] 然后上莫比乌斯反演颓柿子就好了 \[ \begin{align}&\sum_{i=1}^n\sum_{j=1}^m\sum_{x|i}\sum_{y|j}[(x,y)=1]\\=&\sum_{i=1}^n\sum_{j=1}^m\sum_{x|i}\sum_{y|j}\sum_{d|(x,y)}\mu(d)\\=&\sum_{i=1}^n\sum_{j=1}^m\s…