平面曲线的长度: 积分的重要作用体现在处理曲线和曲面. 在这里我们讨论平面中一条用参数形式表达的曲线:x=f(t),y=g(t),a≤t≤b. 如图. y=f(x)形式的弧长计算: 之前我们讨论过平面笛卡尔系下参数形式的弧长公式,现在对于一般的y=f(x)的形式,我们可以将其等价转化成参数形式: 令x=t,y=f(t),a≤t≤b. 然后再将参数形式带入之前讨论参数形式得到的结论,我们就能够得到如下的定义:…

定积分一个广泛的应用就是在求解一些“看似不规则”的几何体的体积,之所以说看似不规则,是因为不规则之下还是有一定的“规则性”可言的,我们就是需要抓住这些线索进行积分运算得到体积. 方法1:切片法. 这里由于处理的方法思想和典型的离散的黎曼和到连续的积分的过程类似,因此这里不再重复推导,直接给出如何应用以及实例. 基于这条定理,我们能够直接介绍一下卡瓦列里原理.卡瓦列里原理表明,高度相同并且在每个高度上的横截面积相同的几何体的体积相同,直观的理解,就像下面这两堆“叠硬币”图. 下面我们看一些实例.…

这一章节讨论积分的定义以及微积分基本定理. 笔者先前在数学证明专栏中关于高斯定理的证明的开头,给出了一段关于微积分思想的概括,文中提到根据导数(微分)的定义,根据其逆定义来给出积分的定义和计算方法,这里其实是及其不严谨的,积分本身有着自己的定义,而其计算方法正是微积分基本定理所呈现出来的东西. 积分的定义: 积分的现代定义的本质就是黎曼和,笔者之前关于多重积分定义的引入其实就已经提到过,这里是对一维的积分进行定义,相对二重.三重积分则会简单很多. 理论总是源于实际问题嘛,在解决曲线和坐标系围成的…

之前关于二重积分的笔记,介绍了二重积分概念的引入,但是对于它的计算方法(化为累次积分),介绍的较为模糊,它在<概率论基础教程>中一系列的推导中发挥着很重要的作用. 回想先前关于二重积分的几何含义,求解一个曲顶圆柱的体积,我们用如下的符号进行定义: 现在我们通过另外一条路径,再次得到几何体的体积,便可以建立等式,那么对于一般的二重积分,我们就找到了计算方法. 看这样一个图: 落在x-O-y上的面积就是被积区域D,几何体的顶部z=f(x,y)就是被积函数,为了求解这个几何体的体积,我们采取先求侧面…

这一章节我们开始对多重积分的研究. 在此之前,我们首先来回忆起积分的过程,在平面中,面临求解不规则图形的面积(常叫曲边梯形)的时候,我们可以采取建立直角坐标系,然后通过得到不规则图形边界的函数表达式f(x),对f(x)求解一次定积分即可.其方法就是先微分(将自变量区间划分为n个区间段),引入极限的概念(即使得n趋向无穷)之后使得我们能够“化曲为直”,然后利用矩形的面积公式进行求解.随后是积分过程,将这n个小矩形相加求极限,可得曲边梯形的面积. 如下几图使得这个过程更加的直观. Sp又叫做,f(x…

线积分: 基于二重积分和三重积分的引入,我们对于线积分的引入过程将会轻车熟路. 对于一根不均匀密度的铜丝,我们如何求其总质量?如下图. 类似二重积分和三重积分的引入,我们首先基于实际问题给出黎曼和的形式,然后规定出积分符号,然后抽象出模型,然后再讨论如何正确的计算. 这里我们将这段曲线分割成n个区间段,可以近似求解质量,而随着n趋向无穷,这种近似的取法最终将逼近准确答案,则有如下的黎曼和形式(这里建立三维坐标系,f(x,y,z)是记录铜导线(x,y,z)点的密度的函数): 写成积分形式为: 其表…

承接之前对一重积分和二重积分的介绍,这里我们自然的引出三重积分. 在二重积分的引入中,我们曾经埋下过一个小伏笔,二重积分的几何意义是求解一个体积,但是我们仅仅限定在了曲顶柱体的几何体,那么对于完全由曲面D包裹的空间D’,我们如何求其体积呢? 我们很自然的能够想到,从x.y.z三个维度作平行线,然后把D’分割成了n个小长方体,如下图. 伴随着n趋于无穷,我们可以完美的得到D’区域的体积. 个人认为,这个例子仅仅是为了自然的引出三重积分的概念和形式,在实际应用中,很难通过这个方法来计算各种各样不规则…

定积分中值定理: 积分自身的定义是简单的,但是在教学过程中人们往往记得的只是它的计算方法,在引入积分的概念的时候,往往就将其与计算方法紧密的捆绑在一起,实际上,在积分简单的定义之下,微积分基本定理告诉了我们积分的计算方法. 微积分基本定理: 能够看到,正是基于这样一个基本定理,我们才能够找到积分的计算方法,从这个角度就可以充分的理解为什么求积分的过程实际上是一个求“反导数”(求导的逆运算)的过程了.…

Q:定义p级数有如下形式,讨论p级数的敛散性.(p>o) 我们以p = 1作为分界点,因为实践表明这个分界点是最优区分度的.那么下面我们进行分情况讨论. 在这之前,我们有必要先引入一个检验敛散性的方法——积分检验法. 所谓积分检验法,就是将级数的通项看成一个函数表达式,而求解无穷级数也就是求解无穷项的和的时候,其实恰恰对应着函数求积分的过程,因此我们在判断无穷级数敛散性的时候,我们可以借助积分这个工具来进行间接的判断.给出下面的图便一目了然. 原则上这个方法的正确性是需要证明的,在<托马斯大学…

写在前面:写在前面的当然是对大天朝教材的吐槽啦. 曾记否,高中所学虚数和复平面的概念,如此虚无的概念到了大学一门叫<模拟电子技术>的课程中居然明目张胆的开始进行计算! 曾记否,高中的指对运算,他们老师由于不想说话就向我们扔了一个自然对数e! 其实很多人觉得数学抽象.晦涩而且无章可循,其实这都是假想,如果真的有这种感觉,很大程度上是教科书在编排顺序上有瑕疵.数学本身是语言,描述自然的语言,因此在每个概念.公式的背后,往往都需要(或者说必然)对应着现实模型,因此在学习新的概念的时候,考察它的现实意…