对于同余式 \[x^2 \equiv n \pmod p\] 若对于给定的\(n, P\),存在\(x\)满足上面的式子,则乘\(n\)在模\(p\)意义下是二次剩余,否则为非二次剩余 我们需要计算的是在给定范围内所有满足条件的\(x\),同时为了方便,我们只讨论\(p\)是奇质数的情况 前置定理 \(x^2 \equiv (x+p)^2 \pmod p\) 证明:\(x^2 \equiv x^2 + 2xp + p^2 \pmod p\)显然成立 对于\(x^2 \equiv n \pmod…

欧拉准则 \(a\)是\(p\)的二次剩余等价于\(a^{\frac{p-1}{2}}\equiv 1\pmod p\),\(a\)不是\(p\)的二次剩余等价于\(a^{\frac{p-1}{2}}\equiv -1\pmod p\). Cipolla 若\(a^2-n\)不是\(p\)的二次剩余,则\(p\)的二次剩余为\((a+\sqrt{a^2-n})^\frac{p+1}{2}\). 因此我们随机\(a\)即可.\(\sqrt{a^2-n}\)的计算用复数. 时间复杂度约为\(O(\l…

Cipolla LL ksm(LL k,LL n) { LL s=1; for(;n;n>>=1,k=k*k%mo) if(n&1) s=s*k%mo; return s; } namespace number { LL D; struct Z { LL x,y; Z(LL _x=0,LL _y=0){x=_x,y=_y;} }; Z operator +(const Z &x,const Z &y) {return Z((x.x+y.x)%mo,(x.y+y.y)%m…

二次剩余 \(Cipolla\) 算法 概述 大概就是在模 \(p\) 意义下开根号,如求解方程\(x^2\equiv n(mod\ p)\). 这里只考虑 \(p\) 为素数的情况.若 \(p=2\) ,则\(x=0\ when\ n=0,x=1\ when\ n=1\). 若 \(p​\) 为奇素数,定义勒让德符号: \[ \lgroup\frac{n}{p}\rgroup =n^{\frac{p-1}{2}} \] 则根据欧拉准则, 对于 \(\lgroup \frac{n}{p} \rg…

二次剩余定义: 在维基百科中,是这样说的:如果q等于一个数的平方模 n,则q为模 n 意义下的二次剩余.例如:x2≡n(mod p).否则,则q为模n意义下的二次非剩余. Cipolla算法:一个解决二次剩余强有力的工具,用来求得上式的x的一个算法. 需要学习的数论及数学基础:勒让德符号.欧拉判别准则和复数运算. 勒让德符号:判断n是否为p的二次剩余,p为奇质数. 欧拉定理为xφ(p)≡1(mod p) 当p为素数时,可知φ(p)=p-1,转化为xp-1≡1(mod p) 开根号后为 x(p−1…

转自:http://blog.csdn.net/doyouseeman/article/details/52033204 简介 Cipolla算法是解决二次剩余强有力的工具,一个脑洞大开的算法. 认真看懂了,其实是一个很简单的算法,不过会感觉得出这个算法的数学家十分的机智. 基础数论储备 二次剩余 首先来看一个式子x2≡n(modp),我们现在给出n,要求求得x的值.如果可以求得,n为mod p的二次剩余,其实就是n在mod p意义下开的尽方.Cipolla就是一个用来求得上式的x的一个算法.…

学习了一下1个$\log$的二次剩余.然后来水一篇博客. 当$p$为奇素数的时候,并且$(n, p) \equiv 1 \pmod{p}$,用Cipolla算法求出$x^2 \equiv n \pmod{p}$的一组解. 寻找一个$a$,使得$a^2 - n$是一个二次非剩余. 期望只用2次就能找到. 令$\omega \equiv \sqrt{a^2 - n} \pmod{p}$,显然这个值不存在,我们强行扩域. 那么$(a + \omega)^{(p + 1) / 2}$即为一组解. 证明如…

二次剩余 ppp是奇素数.所有的运算都是在群Zp∗Z_{p}^{*}Zp∗​中的运算.方程x2=a≠0x^2=a \neq 0x2=a̸​=0问是否有解,以及解是什么?若有解,aaa就是模ppp的二次剩余:若无解,则aaa就是模ppp的非二次剩余. a=0a=0a=0,显然只有唯一解x=0x=0x=0. a≠0a\neq 0a̸​=0,有解等价于ap−12=1a^{\frac{p-1}{2}}=1a2p−1​=1;无解等价于ap−12=−1a^{\frac{p-1}{2}}=-1a2p−1​=−…

目录 二次剩余 勒让德符号(legendre symbol) Cipolla's Algorithm. 代码 end 二次剩余 给定y和奇质数p,求x,使得\(x^2≡y(mod p)\) 勒让德符号(legendre symbol) 以前看视频的截图 求解\(x^2\equiv a(mod\ p)\)时,我们可用勒让德符号来判定他是否有解 (前提,p必须为奇素数) \(\begin{pmatrix} \frac{a}{p} \end{pmatrix}=\begin{cases}0 (a\equ…

题意:求${x^2} \equiv n\bmod p$ 解题关键: 定理:若$a$满足$w = {a^2} - n$是模$p$的二次非剩余,即,${x^2} = w\bmod p$无解,则${(a + \sqrt w )^{\frac{{p + 1}}{2}}}$是二次剩余方程${x^2} \equiv n\bmod p$的解. 证明: $\begin{array}{l}{x^2} \equiv {(a + \sqrt w )^{p + 1}} \equiv (a + \sqrt w ){(a…

欧拉准则 模\(p\)意义下,\(a\)是二次剩余等价于\(a^{\frac{p-1}{2}}\equiv 1\),\(a\)不是二次剩余等价于\(a^{\frac{p-1}{2}}\equiv -1\). Cipolla算法 Cipolla 若\(a^2-n\)不是二次剩余,则\(n\)的二次剩余是\((a+\sqrt {a^2-n})^\frac{p+1}{2}\).其中计算时记录\(\sqrt{a^2-n}\)的系数,可证明最后其系数为\(0\). 随机\(a\)即可.时间复杂度为\(O(…

数学杂烩总结(多项式/形式幂级数+FWT+特征多项式+生成函数+斯特林数+二次剩余+单位根反演+置换群) 因为不会做目录所以请善用ctrl+F 本来想的是笔记之类的,写着写着就变成了资源整理 一些有的没的的前置 导数 \(f'(x)=\lim\limits_{\triangle x\rightarrow 0}\frac{f(x+\triangle x)-f(x)}{\triangle x}\) \(\sin x:\cos x\) \(\cos x:-\sin x\) \(\ln x:\frac{…

部分引用自:http://blog.csdn.net/v5zsq/article/details/77255048 所以假设方程 x^2+x+1=0 在模p意义下的解为d,则答案就是满足(ai/aj) mod p = d的数对(i,j)的数量(i<j). 现在把问题转化为解这个模意义下的二次方程. x^2+x+1=0 配方:x^2+x+1/4+3/4=0 (x+1/2)^2+3/4=0 同乘4:(2x+1)^2+3=0 即(2x+1)^2=-3 (mod p) 换句话说,我们必须保证-3+p是p…

题意: 求\(x^2 \equiv a \mod p\) 的所有整数解 思路: 二次剩余定理求解. 参考: 二次剩余Cipolla's algorithm学习笔记 板子: //二次剩余,p是奇质数 ll ppow(ll a, ll b, ll mod){ ll ret = 1; a = a % mod; while(b){ if(b & 1) ret = ret * a % mod; a = a * a % mod; b >>= 1; } return ret; } struct TT…

大米饼正式退役了,OI给我带来很多东西 我会的数学知识基本都在下面了 博客园的评论区问题如果我看到了应该是会尽力回答的．．． 这也是我作为一个OIer最后一次讲课的讲稿 20190731 多项式乘法 FFT 基本概念 1.多项式的两种表达(拉格朗日插值法) 多项式:\(A(x) = \sum_{i=0}^{n-1}a_ix^i\),最高项次数为\(n-1\),次数界为\(n\) \((a_0,\cdots,a_{n-1})\)为多项式的系数表达, \((x_0,y_0),\cdots,(x_{n…

简单数论 质因子分解 素性测试 素性测试指的是对一个正整数是否为质数的判定,一般来说,素性测试有两种算法: \(1.\) 试除法,直接尝试枚举因子,时间复杂度\(O(\sqrt n)\). \(2.\) \(Miller-Rabin\)算法,利用费马小定理和二次探测定理对素数进行测试,有小概率误判,时间复杂度\(O(log_2n)\). \(Code:\) inline bool judge(long long x,long long p) { if ( x % p == 0 || quickp…

CSP2019前夕整理一下模板,顺便供之后使用 0. 非算法内容 0.1. 读入优化 描述: 使用getchar()实现的读入优化. 代码: inline int read() { int x=0; bool f=1; char c=getchar(); for(;!isdigit(c);c=getchar()) if(c=='-') f=0; for(; isdigit(c);c=getchar()) x=x*10+(c^'0'); if(f) return x; return -x; } 0…

ZROI 游记 在自闭中度过了17天 挖了无数坑,填了一点坑 所以还是有好多坑啊zblzbl 挖坑总集: 时间分治 差分约束 Prufer序列 容斥 树上数据结构 例题C (和后面的例题) 点分 最大流.费用流.上下界 Hero meet devil(dp套dp) Pollards' Rho CRT & exCRT BSGS & exBSGS NTT & FFT 以及 分治NTT & FFT (& 原根) Cipolla 算法(二次剩余) Min25 ZROI D1…

费马小定理&欧拉定理 费马小定理: 如果\(p\)是一个质数,而整数\(a\)不是\(p\)的倍数,\(a^{p-1}\equiv1\pmod p\) 欧拉定理: 当\(a\)与\(n\)互质时,\(a^b \equiv a^{b\%\phi(n)} \pmod n\) 扩展欧拉定理: \[ a^b \equiv \begin{cases} a^b\pmod n (b<\phi(n))\\ a^{b\%\phi(n)+\phi(n)\pmod n (b\ge\phi(n))}\\ \end{…

前置知识 扩展欧几里得,快速幂 都是很基础的东西 扩展欧几里得 说实话这个东西我学了好几遍都没有懂,最近终于搞明白,可以考场现推了,故放到这里来加深印象 翡蜀定理 方程$ax+by=gcd(a,b)$一定有整数解 证明: 因为$gcd(a,b)=gcd(b,a$ $mod$ $b)$ 所以假设我们已经求出来了$bx+(a$ $mod$ $b)y=gcd(b,a$ $mod$ $b)$的一组整数解$(p,q)$ 因为$a$ $mod$ $b=a-(\lfloor \frac{a}{b} \rflo…

LINK 题意:求满足模p下$\frac{1}{a_i+a_j}\equiv\frac{1}{a_i}+\frac{1}{a_j}$的对数,其中$n,p(1\leq n\leq10^5,2\leq p\leq10^{18})$ 思路:推式子,两边同乘$(a_i + a_j)^3$,得$a_i^2+a_j^2 \equiv {a_i·a_j} \mod{p}$,进一步$a_i^2+a_j^2+a_i·a_j\equiv {0} \mod{p}$,然后?然后会点初中数竞,或者数感好会因式分解就能看出…

好像有不少更新:) 本文主要记录一些不是那么熟悉的高级数论算法的推导与应用. exBSGS算法 解决模数.底数不互质的离散对数问题. (1)为何\(BSGS\)算法不再适用:\(A\)不一定存在逆元,而且无法保证解的循环性. (2)无解的结论: 设方程为\(A^x=B \pmod{P}\) 当 \((A,P) \nmid B\)且\(B\ne 1\) 时,原方程无自然数解. 还有就是\(A=0,B≠0\)这种. (3)算法流程: 先判无解. 然后若\(B=1\),显然\(x=0\),特判之. 否…

传送门 MD写一道二次剩余的板题差点写自闭了. 我用的是cipollacipollacipolla算法. 利用的是欧拉准则来找寻一个二次非剩余类来求根. 注意这题有两个等根和模数为2的情况. 代码: #include<bits/stdc++.h> using namespace std; typedef long long ll; int T,n,mod; inline int ksm(int a,int p){int ret=1;for(;p;p>>=1,a=(ll)a*a%mo…

题面 传送门 前置芝士 \(bsgs\),\(Cipolla\) 题解 因为题目保证\(p\bmod 10\)是完全平方数,也就是说\(p\bmod 5\)等于\(1\)或\(-1\),即\(5\)是模\(p\)的二次剩余(法老讲过,我忘了为啥了--) 然后我们需要用\(Cipolla\)求出\(c=\sqrt{5}\),并记\(p={1+c\over 2}\) 用斐波那契数列的通项公式代入,方程可以变为 \[{1\over c}\left(p^n-(-1)^n{1\over p^n}\righ…

题面 传送门 题解 首先你得会多项式开根->这里 其次你得会解形如 \[x^2\equiv a \pmod{p}\] 的方程 这里有两种方法,一个是\(bsgs\)(这里),还有一种是\(Cipolla\)(这里)(不过这个只能用来解二次剩余就是了) 代码里留着的是\(bsgs\),注释掉的是\(Cipolla\) 如果用\(Cipolla\)的话注意这里需要求的是较小的那个解 //minamoto #include<bits/stdc++.h> #include<tr1/unor…

N次剩余 给定 \(N,a,P\),且 \(P\) 最好为质数 可以算出 \(x^N\equiv a(mod~p)\) 的解 首先可以算出 \(P\) 的原根 \(g\) 解方程 \(g^y\equiv b(mod~p)\),这个直接 \(BSGS\) 设 \(g^z\equiv x(mod~p)\) 那么 \(g^{za}=g^y(mod~p)\iff za\equiv y(mod~\varphi(p))\),这个直接 \(exgcd\) 无解在 \(BSGS\) 和 \(exgcd\) 的时…

BSGS $Big\ Step\ Giant\ Step$,大步小步法,一种在$O(\sqrt{p})$内求解方程$a^x\equiv b (mod\ p)$的算法. 先考虑$p$为质数的情况. 令$x=im-j$,$m=\lceil \sqrt{p} \rceil$(注意是上取整,要保证大步比小步大),则$a^{im-j}\equiv b(mod\ p)$. 移项,有$(a^m)^i\equiv ba^j(mod\ p)$. 首先$0-i$枚举$j$,将$ba^j$存入哈希表.在$1-m$枚举…

这里仅作为自我检查用,模板代码请移步其他博文 标+的表示已学完,标?的表示需要进一步学习,标-的表示有计划但未开始学习,标*的表示暂时没有计划学习 数学 ?BSGS +FFT&NTT ?Lucas&扩展Lucas ?差分约束 ?多项式处理 ?常系数齐次线性递推 ?拉格朗日插值 ?高斯消元 ?线性基 +矩阵快速幂 -卡特兰数 +扩展欧几里得 ?生成函数相关 ?矩阵.行列式 +莫比乌斯反演 ?容斥 ?斯特林数 -线性规划 ?中国剩余定理 +裴蜀定理 *二次剩余 ?博弈论&sg相关 -群…

本题我只是个搬运工,主要是抢救补板子,所以自己就没写.https://blog.csdn.net/u013534123/article/details/78058997 题意: 大致题意是给你一个N*N的矩阵,然后告诉你阿诺德变换,即原来坐标为(x,y)的点变换一次后变成((x+y)%N,(x+2y)%N).然后告诉你阿诺德变换一定能够通过有限次变换之后变换回原本的矩阵,然后让你求这个周期. 思路: 不难发现是个斐波拉契循环,题意就是让我们找fib循环节. 然后就开始套板子了. 1.把n质因数分…

题意 定义 $F_n$ 为 $$F_n = \left\{\begin{matrix}0, n=0\\ 1, n=1 \\F_{n-1} + F_{n-2}, n > 1\end{matrix}\right.$$ 现给你一个素数 $p$ 和一个非负整数 $C$,你需要最小的非负整数 $n$,使得 $F_n \equiv C (mod \ p)$. 分析 因为题目保证 $p \ mod \ 10$ 是一个完全平方数,也就是说 $p \ mod \ 5$ 等于1或-1,即5是模$p$ 的二次剩余(据…