BZOJ 2226 [Spoj 5971] LCMSum 这道题和上一道题十分类似. \[\begin{align*} \sum_{i = 1}^{n}\operatorname{LCM}(i, n) &= \sum_{i = 1}^{n}\frac{i \times n}{\operatorname{gcd}(i, n)}\\ &= n \times \sum_{i = 1}^{n}\frac{i}{\operatorname{gcd}(i, n)} \end{align*}\] 设\(…

2226: [Spoj 5971] LCMSum Time Limit: 20 Sec  Memory Limit: 259 MBSubmit: 578  Solved: 259[Submit][Status] Description Given n, calculate the sum LCM(1,n) + LCM(2,n) + .. + LCM(n,n), where LCM(i,n) denotes the Least Common Multiple of the integers i a…

题目: http://www.lydsy.com/JudgeOnline/problem.php?id=2226 题解: 题目要求的是Σn*i/gcd(i,n) i∈[1,n] 把n提出来变成Σi/gcd(i,n) i∈[1,n] 最后乘个n 设gcd(i,n)==d 我们枚举约数可以得到 ∑(∑i/d*(gcd(i,n)==d)) (外面的Σ枚举d) 把i/d这个式子除以d可以得到 Σ( Σj*(gcd(j,n/d)==1) ) (外面Σ枚举d,j与n互质) 由于n/d与d等价 Σ( Σj*(…

Code: #pragma GCC optimize(2) #include<bits/stdc++.h> #define setIO(s) freopen(s".in","r",stdin) #define maxn 1000006 #define M 1000004 #define ll long long using namespace std; char *p1,*p2,buf[100000]; #define nc() (p1==p2&…

题解:枚举gcd,算每个gcd对答案的贡献,贡献用到欧拉函数的一个结论 最后用nlogn预处理一下,O(1)出答案 把long long 打成int 竟然没看出来QWQ #include<iostream> #include<cstdio> #include<cmath> #include<cstring> using namespace std; const int maxn=1000009; const int u=1000000; typedef lo…

题解: 考虑枚举gcd,然后问题转化为求<=n且与n互质的数的和. 这是有公式的f[i]=phi[i]*i/2 然后卡一卡时就可以过了. 代码: #include<cstdio> #include<cstdlib> #include<cmath> #include<cstring> #include<algorithm> #include<iostream> #include<vector> #include<…

[BZOJ2226][Spoj 5971] LCMSum Description Given n, calculate the sum LCM(1,n) + LCM(2,n) + .. + LCM(n,n), where LCM(i,n) denotes the Least Common Multiple of the integers i and n. Input The first line contains T the number of test cases. Each of the n…

题目描述 Given n, calculate the sum LCM(1,n) + LCM(2,n) + .. + LCM(n,n), where LCM(i,n) denotes the Least Common Multiple of the integers i and n. 输入 The first line contains T the number of test cases. Each of the next T lines contain an integer n. 输出 Ou…

给出一个n,求1-n这n个数,同n的最大公约数的和 n<=1e9 考虑枚举每个因数,对答案贡献的就是个数*大小…

2226: [Spoj 5971] LCMSum Time Limit: 20 Sec  Memory Limit: 259 MBSubmit: 1123  Solved: 492[Submit][Status][Discuss] Description Given n, calculate the sum LCM(1,n) + LCM(2,n) + .. + LCM(n,n), where LCM(i,n) denotes the Least Common Multiple of the in…

1040 最大公约数之和 给出一个n,求1-n这n个数,同n的最大公约数的和.比如:n = 6 1,2,3,4,5,6 同6的最大公约数分别为1,2,3,2,1,6,加在一起 = 15 输入 1个数N(N <= 10^9) 输出 公约数之和 输入样例 6 输出样例 15 题解 \[ \sum_{i=1}^n\gcd(i,n)=\sum_{d|n}d\varphi(n) \] 暴力搞就行了. 1188 最大公约数之和 V2 给出一个数N,输出小于等于N的所有数,两两之间的最大公约数之和. 相当于计…

考虑每一个数对于答案的贡献.复杂度是O(nlogn)的.因为1/1+1/2+1/3+1/4......是logn级别的 //gcd(i,j)=2=>gcd(i/2,j/2)=1=>phi(n/d)*d;O(nlogn); #include<cstdio> #include<cstring> #include<cctype> #include<algorithm> using namespace std; #define rep(i,s,t) fo…

[题目链接] https://www.51nod.com/onlineJudge/questionCode.html#!problemId=1237 [题目大意] 求[1,n][1,n]最大公约数之和 [题解] 枚举最大公约数k,得到答案为2*∑(k*phi_sum(n/k))-n*(n+1)/2 phi_sum可以利用杜教筛实现 [代码] #include <cstdio> #include <algorithm> using namespace std; typedef lon…

1237 最大公约数之和 V3 题意:求\(\sum_{i=1}^n\sum_{j=1}^n(i,j)\) 令\(A(n)=\sum_{i=1}^n(n,i) = \sum_{d\mid n}d \cdot \varphi(\frac{n}{d})\) \(ans = 2*\sum_{i=1}^n A(i) -\sum_{i=1}^ni\) 套路推♂倒 \[ S(n) =\sum_{i=1}^n\sum_{d\mid i}d \cdot \varphi(\frac{i}{d}) =\sum_{i…

1188 最大公约数之和 V2 题目来源: UVA 基准时间限制:2 秒 空间限制:262144 KB 分值: 160 难度:6级算法题   给出一个数N,输出小于等于N的所有数,两两之间的最大公约数之和.       相当于计算这段程序(程序中的gcd(i,j)表示i与j的最大公约数):   G=0; for(i=1;i<N;i++) for(j=i+1;j<=N;j++) {     G+=gcd(i,j); }   Input 第1行:1个数T,表示后面用作输入测试的数的数量.(1 &l…

1040 最大公约数之和 题目来源: rihkddd 基准时间限制:1 秒 空间限制:131072 KB 分值: 80 难度:5级算法题   给出一个n,求1-n这n个数,同n的最大公约数的和.比如:n = 6 1,2,3,4,5,6 同6的最大公约数分别为1,2,3,2,1,6,加在一起 = 15   Input 1个数N(N <= 10^9) Output 公约数之和 Input示例 6 Output示例 15 /* 51nod 1040 最大公约数之和(欧拉函数) 给你n,然后求[1-n]…

1040 最大公约数之和 题目连接: https://www.51nod.com/onlineJudge/questionCode.html#!problemId=1040 Description 给出一个n,求1-n这n个数,同n的最大公约数的和.比如:n = 6 1,2,3,4,5,6 同6的最大公约数分别为1,2,3,2,1,6,加在一起 = 15 Input 1个数N(N <= 10^9) Output 公约数之和 Sample Input 6 Sample Output 15 Hint…

给出一个n,求1-n这n个数,同n的最大公约数的和.比如:n = 6 1,2,3,4,5,6 同6的最大公约数分别为1,2,3,2,1,6,加在一起 = 15   Input 1个数N(N <= 10^9) Output 公约数之和 Input示例 6 Output示例 15—————————————————————————这道题枚举 约数d 约数的贡献就是 $\sum_{d|n}\phi(\frac{n}{d})d$ 因为和n的最大公约数是d的 除以d之后就一定是和n/d 互质的 #inclu…

1040 最大公约数之和 给出一个n,求1-n这n个数,同n的最大公约数的和.比如:n = 6时,1,2,3,4,5,6 同6的最大公约数分别为1,2,3,2,1,6,加在一起 = 15 看起来很简单对吧,但是n<=1e9,所以暴力是不行的,所以要把公式进行推导. 引用51nod1040最大公约数之和(欧拉函数) 这个自己上手推一下也很好推的,不过没推过公式的可能不太懂. #include<cstdio> #include<cmath> typedef long long l…

目录 题意 思路 AC_Code1 AC_Code2 AC_Code3 参考 @(bzoj 2780: [Spoj]8093 Sevenk Love Oimaster) 题意 链接:here 有\(n\)个大串\(s\)和\(m\)个询问,每次给出一个字符串\(t\)询问在多少个大串中出现过. \(1\le n\le 10000,1\le m\le 60000,\sum|s|\le 100000,\sum |t|\le 360000\) 思路 初步分析 对\(n\)个串建广义后缀自动机(每个串插…

1188 最大公约数之和 V2 题目来源: UVA 基准时间限制:2 秒 空间限制:262144 KB  给出一个数N,输出小于等于N的所有数,两两之间的最大公约数之和.       相当于计算这段程序(程序中的gcd(i,j)表示i与j的最大公约数):   G=0; for(i=1;i<N;i++) for(j=i+1;j<=N;j++) {     G+=gcd(i,j); }   Input 第1行:1个数T,表示后面用作输入测试的数的数量.(1 <= T <= 50000)…

[BZOJ 2154]Crash的数字表格(莫比乌斯反演+数论分块) 题面 求 \[\sum_{i=1}^{n} \sum_{j=1}^{m} \mathrm{lcm}(i,j)\] 分析 \[\sum_{i=1}^{n} \sum_{j=1}^{m} \mathrm{lcm}(i,j)\] \[=\sum_{i=1}^{n} \sum_{j=1}^{m} \frac{i j}{\mathrm{gcd}(i, j)}\] \[=\sum_{g=1}^{n} \sum_{i=1}^{n/g} \s…

题目链接:LCMSum 这个题显然就是要我们推式子了……那么就来推一波: \begin{aligned}&\sum_{i=1}^n lcm(i,n) \\=&\sum_{i=1}^n\frac{ni}{\gcd(i,n)} \\=&n\sum_{d|n}\sum_{i=1}^{\frac{n}{d}}\frac{di[\gcd(i,\frac{n}{d})=1]}{d} \\=&n\sum_{d|n}\sum_{i=1}^{d}i[\gcd(i,d)=1]\end{alig…

Description Given \(n\), calculate the sum \(LCM(1,n) + LCM(2,n) + \cdots + LCM(n,n)\), where \(LCM(i,n)\) denotes the Least Common Multiple of the integers \(i\) and \(n\). Input The first line contains \(T\) the number of test cases. Each of the ne…

全场都 AK 了就我爆 0 了 题意 \(t\) 组询问,每组询问给定 \(n\),求 \(\sum\limits_{k=1}^n [n,k]\).其中 \([a,b]\) 表示 \(a\) 和 \(b\) 的最小公倍数. \(t\le 3\times 10^5,\space n\le 10^6\) 题解 怎么全世界都做过这题啊 前一天晚上听林老师说今天 T1 是莫比乌斯反演,然后我就出了一身冷汗--我没做过几道莫反,推不出来式子会不会被 D 啊-- 然后到了今天-- 我自己用模板的方法(?)推…

BZOJ SPOJ 直观的想法是构建笛卡尔树(每次取最小值位置划分到两边),在树上DP,这样两个儿子的子树是互不影响的. 令\(f[i][j]\)表示第\(i\)个节点,放了\(j\)个车的方案数. 设\(v\)是\(i\)的一个儿子,对于子树部分的转移,有\[f'[i][j]=\sum_{k\leq j}f[v][j-k]f[i][k]\] 求完子树贡献后,对于\(i\)节点代表的矩形,设高度是\(h\)宽度是\(w\),有\[f'[i][j]=\sum_{k\leq j}f[i][j-k]\…

2588: Spoj 10628. Count on a tree Time Limit: 12 Sec  Memory Limit: 128 MBSubmit: 9280  Solved: 2421[Submit][Status][Discuss] Description 给定一棵N个节点的树,每个点有一个权值,对于M个询问(u,v,k),你需要回答u xor lastans和v这两个节点间第K小的点权.其中lastans是上一个询问的答案,初始为0,即第一个询问的u是明文.   Input…

2588: Spoj 10628. Count on a tree Time Limit: 12 Sec  Memory Limit: 128 MBSubmit: 5217  Solved: 1233[Submit][Status][Discuss] Description 给定一棵N个节点的树,每个点有一个权值,对于M个询问(u,v,k),你需要回答u xor lastans和v这两个节点间第K小的点权.其中lastans是上一个询问的答案,初始为0,即第一个询问的u是明文. Input 第一…

求∑1<=i<=n∑1<=j<=ngcd(i,j) % P P = 10^9 + 7 2 <= n <= 10^10 这道题,明显就是杜教筛 推一下公式: 利用∑d|nphi(d) = n ans = ∑1<=i<=n∑1<=j<=n∑d|(i,j)phi(d) = ∑1<=d<=n∑1<=i<=n∑1<=j<=n[d|(i,j)]phi(d) = ∑1<=d<=nphi(d)∑1<=i<…

2588: Spoj 10628. Count on a tree Time Limit: 1 Sec Memory Limit: 256 MB 题目连接 http://www.lydsy.com/JudgeOnline/problem.php?id=2588 Description 给定一棵N个节点的树,每个点有一个权值,对于M个询问(u,v,k),你需要回答u xor lastans和v这两个节点间第K小的点权.其中lastans是上一个询问的答案,初始为0,即第一个询问的u是明文. Inp…