题目链接: [清华集训2016]如何优雅地求和 题目大意:给出一个多项式$m+1$个点值$a_{0},a_{1}...a_{m}$(其中$f(i)=a_{i}$),并给出两个数$n,x$,求$Q(f,n,x)=\sum\limits_{k=0}^{n}f(k)C_{n}^{k}x^k(1-x)^{n-k}mod998244353$的值. 当$f(x)=1$时,$Q=\sum\limits_{i=0}^{n}C_{n}^{i}k^i(1-k)^{n-i}$,根据二项式定理可知这个式子结果为$1$.…

题面传送门 wjz:<如何优雅地 AK NOI> 我:如何优雅地爆零 首先,按照这题总结出来的一个小套路,看到多项式与组合数结合的题,可以考虑将普通多项式转为下降幂多项式,因为下降幂和组合数都可以用阶乘相除的形式表示,而对于两个组合数相乘我们有恒等式 \(\dbinom{n}{m}\dbinom{m}{k}=\dbinom{n}{k}\dbinom{n-k}{m-k}\),这样我们可以将原式中待枚举变量 \(m\) 从两个组合数中转移到一个组合数(\(\dbinom{n-k}{m-k}\))中…

代码 神仙题? 看到连续的点值,那么一定是要利用到连续点值的性质,可以考虑下降幂多项式,即考虑多项式\(F(x) = \sum\limits_{i=0}^m a_ix^{\underline i}\). 因为有下降幂,下降幂和阶乘相关,所以可以考虑点值的指数型生成函数,故设\(G(x) = \sum\limits_{i=0}^\infty \frac{f(i)}{i!} x^i\).我们考虑\(F(x) = x^{\underline m}\),那么\(G(x) = \sum\limits_{i…

[UOJ#274][清华集训2016]温暖会指引我们前行 试题描述 寒冬又一次肆虐了北国大地 无情的北风穿透了人们御寒的衣物 可怜虫们在冬夜中发出无助的哀嚎 “冻死宝宝了!” 这时 远处的天边出现了一位火焰之神 “我将赐予你们温暖和希望!” 只见他的身体中喷射出火焰之力 通过坚固的钢铁,传遍了千家万户 这时,只听见人们欢呼 “暖气来啦!” 任务描述 虽然小R住的宿舍楼早已来了暖气,但是由于某些原因,宿舍楼中的某些窗户仍然开着(例如厕所的窗户),这就使得宿舍楼中有一些路上的温度还是很低. 小R的宿…

题目链接 (BZOJ) https://www.lydsy.com/JudgeOnline/problem.php?id=4732 (UOJ) http://uoj.ac/problem/268 题解 首先考虑,给定一条路径,如何计算与其相交的所有路径的权值和?显然一条路径和另一条路径相交,当且仅当这条路径的LCA在另一条路径上,或者另一条路径的LCA在这条路径上.那么我们考虑维护两个数组\(a\)和\(b\), 分别表示以某点为LCA的路径权值和以及覆盖这个点但不以该点为LCA的路径权值和,则…

题意 给定一棵 \(n\) 个点的树,给定 \(k\) ,求 \(|\frac{\sum w(路径长度)}{t(路径边数)}-k|\)的最小值. \(n\leq 5\times 10^5,k\leq 10^{13}\) 分析 看到分数考虑分数规划,二分答案 \(x\),式子转化成 \(-x< \frac{\sum w}{t}-k< x\) 将边权变为 \(w-k\) 消除 \(k\) 的影响.但是不能够直接求最长链.因为是路径,考虑点分治. 二分答案 \(x\) 之后考虑两条路径组合 \((A…

UOJ #269. [清华集训2016]如何优雅地求和 题目链接 给定一个\(m\)次多项式\(f(x)\)的\(m+1\)个点值:\(f(0)\)到\(f(m)\). 然后求: \[ Q(f,n,x) = \sum_{k = 0}^{n}f(k){n\choose k}x^k(1 - x) ^{n - k} \pmod{998244353} \] 考虑一个很巧妙的变化:组合数多项式! 设: \[ f(n)=\sum_{i=0}^m\binom{n}{i}h_i \] 可以这么玩的原因是\(\b…

UOJ 275. [清华集训2016]组合数问题 组合数 $C_n^m $表示的是从 \(n\) 个物品中选出 \(m\) 个物品的方案数.举个例子,从$ (1,2,3)(1,2,3)$ 三个物品中选择两个物品可以有 \((1,2),(1,3),(2,3)\) 这三种选择方法.根据组合数的定义,我们可以给出计算组合数$ C_m^n$的一般公式: \[ C_n^m=\frac{n!}{m!(n-m)!} \] 其中 \(n!=1×2×⋯×n\).(额外的,当 n=0n=0 时, n!=1n!=1)…

[UOJ#276][清华集训2016]汽水 试题描述 牛牛来到了一个盛产汽水的国度旅行. 这个国度的地图上有 \(n\) 个城市,这些城市之间用 \(n−1\) 条道路连接,任意两个城市之间,都存在一条路径连接.这些城市生产的汽水有许多不同的风味,在经过道路 \(i\) 时,牛牛会喝掉 \(w_i\) 的汽水.牛牛非常喜欢喝汽水,但过量地饮用汽水是有害健康的,因此,他希望在他旅行的这段时间内,平均每天喝到的汽水的量尽可能地接近给定的一个正整数 \(k\). 同时,牛牛希望他的旅行计划尽可能地有趣…

#274. [清华集训2016]温暖会指引我们前行 题意比较巧妙 裸lct维护最大生成树 #include <iostream> #include <cstdio> #include <cstring> #include <algorithm> using namespace std; typedef long long ll; #define lc t[x].ch[0] #define rc t[x].ch[1] #define pa t[x].fa co…