入门杜教筛啦. http://blog.csdn.net/skywalkert/article/details/50500009(好文!) 可以在$O(N^{\frac{2}{3}})或O(N^{\frac{3}{4}})$的复杂度内解决求某些数论函数f(n)(或f的前缀和S(n)$)的值. 先来看看原理是什么.(接下来推导如何求数论函数f(n)的前缀和S(n)) 现在有两个数论函数$f( )和g( )$ (同时定义f的前缀和函数$S(n)=\sum_{i=1}^{n}f(i)$) 有狄利克雷乘…

题目:https://www.lydsy.com/JudgeOnline/problem.php?id=3944 杜教筛入门题! 看博客:https://www.cnblogs.com/zjp-shadow/p/8491542.html 写法模仿其他博客的,但很慢啊... 代码如下: #include<iostream> #include<cstdio> #include<cstring> #include<algorithm> #include<ma…

题目大意:略 洛谷传送门 杜教筛入门题? 以下都是常规套路的变形,不再过多解释 $\sum\limits_{i=1}^{N}\sum\limits_{j=1}^{N}ijgcd(i,j)$ $\sum\limits_{i=1}^{N}\sum\limits_{j=1}^{N}ij\sum\limits_{d|gcd(i,j)}\varphi(d)$ $\sum\limits_{d=1}^{N} \varphi(d) \sum\limits_{i=1}^{N}\sum\limits_{j=1}^{…

3944: Sum Time Limit: 10 Sec  Memory Limit: 128 MBSubmit: 4930  Solved: 1313[Submit][Status][Discuss] Description   Input 一共T+1行 第1行为数据组数T(T<=10) 第2~T+1行每行一个非负整数N,代表一组询问   Output 一共T行,每行两个用空格分隔的数ans1,ans2   Sample Input 6 1 2 8 13 30 2333 Sample Outp…

一道杜教筛的板子题. 两个都是积性函数,所以做法是一样的.以mu为例,设\( f(n)=\sum_{d|n}\mu(d) g(n)=\sum_{i=1}^{n}f(i) s(n)=\sum_{i=1}^{n}\mu(i) \),然后很显然对于mu\( g(n)=1\),对于phi\( g(n)=n*(n+1)/2 \),然后可以这样转化一下: \[ g(n)=\sum_{i=1}^{n}\sum_{d|n}\mu(d) \] \[ =\sum_{d=1}^{n}\mu(d)\left \lflo…

3944: Sum Time Limit: 10 Sec  Memory Limit: 128 MBSubmit: 3471  Solved: 946[Submit][Status][Discuss] Description   Input 一共T+1行 第1行为数据组数T(T<=10) 第2~T+1行每行一个非负整数N,代表一组询问   Output 一共T行,每行两个用空格分隔的数ans1,ans2   Sample Input 6 1 2 8 13 30 2333 Sample Outpu…

题目中要求phi和miu的前缀和,利用杜教筛可以推出公式.我们令为 那么有公式 类比欧拉函数,我们可以推出莫比乌斯函数的和公式为  (公式证明懒得写了,主要核心是利用Dirichlet卷积的性质 phi * 1 =id, mu * 1 =0(n>1) 然后利用神奇的杜教筛搞一搞 ) 因为有一个n=1的特例,所以这里有一个1,我一开始错在这里,总和答案差1........ 所以我们可以预处理一波phi和mu的前缀和 然后递归的处理,用map记忆一下就可以了,复杂度为n的三分之二次幂(我不会证明)—…

https://www.lydsy.com/JudgeOnline/problem.php?id=4805 给出一个数字N,求sigma(phi(i)),1<=i<=N https://blog.csdn.net/popoqqq/article/details/45023331 ←杜教筛的一些讲解 杜教筛用来求积性函数前缀和,本题同bzoj 3944,bzoj 3944多了一个求sigma( μ ( i ) ) #include<iostream> #include<cstd…

BZOJ3944: Sum(杜教筛模板) 题面描述 传送门 题目分析 求\(\sum_{i=1}^{n}\mu(i)\)和\(\sum_{i=1}^{n}\varphi(i)\) 数据范围线性不可做. 需要使用杜教筛. 杜教筛可以在非线性时间里求出一个积性函数的前缀和. 借这里先写一些杜教筛内容...或许以后会补总结(雾 最开始扔积性函数: \(\mu(n)\),莫比乌斯函数 \(\phi(n)\),欧拉函数. \(d(n)\),约数个数. \(\sigma(n)\),约数和函数. \(\eps…

3944: Sum Time Limit: 10 Sec  Memory Limit: 128 MBSubmit: 6201  Solved: 1606[Submit][Status][Discuss] Description   Input 一共T+1行 第1行为数据组数T(T<=10) 第2~T+1行每行一个非负整数N,代表一组询问   Output 一共T行,每行两个用空格分隔的数ans1,ans2   Sample Input 6 1 2 8 13 30 2333 Sample Outp…

题面 设d(x)d(x)d(x)为xxx的约数个数,给定NNN,求 ∑i=1N∑j=1Nd(ij)\sum^{N}_{i=1}\sum^{N}_{j=1} d(ij)i=1∑N​j=1∑N​d(ij) N<=109N<=10^9N<=109 题目分析 有这样一个结论 d(ij)=∑x∣i∑y∣j[(x,y)==1]d(ij)=\sum_{x|i}\sum_{y|j}[(x,y)==1]d(ij)=x∣i∑​y∣j∑​[(x,y)==1]这道题就是下面这道题的数据增强版,那么这个结论的证明…

[BZOJ3944]Sum(杜教筛) 题面 求\[\sum_{i=1}^n\mu(i)和\sum_{i=1}^n\phi(i)\] 范围:\(n<2^{31}\) 令\[S(n)=\sum_{i=1}^n\mu(i)\] 随便找个函数\(g\)和\(\mu\)做狄利克雷卷积 \[(g*\mu)(i)=\sum_{d|i}\mu(d)g(\frac{i}{d})\] 对这个玩意求前缀和 \[\sum_{i=1}^n\sum_{d|i}\mu(d)g(\frac{i}{d})\] 把\(d\)给提出…

Description 去年的Lucas非常喜欢数论题,但是一年以后的Lucas却不那么喜欢了. 在整理以前的试题时,发现了这样一道题目“求Sigma(f(i)),其中1<=i<=N”,其中 表示i的约数个数.他现在长大了,题目也变难了. 求如下表达式的值: 一行一个整数ans,表示答案模1000000007的值. Sample Input 2 Sample Output 8 HINT 对于100%的数据n <= 10^9. 题解: 解锁新技能:杜教筛. 再复习一下: 若$F(n)=\s…

BZOJ 洛谷 不得不再次吐槽洛谷数据好水(连\(n=0,2^{31}-1\)都没有). \(Description\) 给定\(n\),分别求\[\sum_{i=1}^n\varphi(i),\quad\sum_{i=1}^n\mu(i)\] \(n\lt2^{31}\). \(Solution\) \(\varphi(p)=p-1,\quad\mu(p)=-1\) 令\(g(i)\)表示\(1\sim i\)的质数和,\(h(i)\)表示\(1\sim i\)的质数个数,那么\(\varph…

题意概述:求,n<=10^9,其中d(n)表示n的约数个数. 分析: 首先想要快速计算上面的柿子就要先把d(ij)表示出来,有个神奇的结论: 证明:当且仅当a,b没有相同的质因数的时候我们统计其贡献,可以发现所有被统计的(a,b)乘积的质因数分解形式正好和i,j的所有因数的质因数分解形式一一对应,不重不漏(对于b中质因数指数不为0对应的就是i中指数+b中指数的情况,对于b中质因数指数为0的情况对应i中指数的情况). 然后就有如下的推导: 对于这个式子,整个数字分段来算,n/d一共sqrt(n)种…

bzoj3944 题目描述 输入 一共T+1行 第1行为数据组数T(T<=10) 第2~T+1行每行一个非负整数N,代表一组询问 输出 一共T行,每行两个用空格分隔的数ans1,ans2 样例输入 6 1 2 8 13 30 2333 样例输出 1 1 2 0 22 -2 58 -3 278 -3 1655470 2 bzoj4805 同上,不需要求mu 题解 杜教筛 公式推导: 这里有一个难点(其实也不能算难),就是由枚举d|i到枚举j≤⌊n/i⌋.此时可以看作下面语句的i是上面语句的i/d,…

首先由这样一个结论: \[ d(ij)=\sum_{p|i}\sum_{q|j}[gcd(p,q)==1] \] 然后推反演公式: \[ \sum_{i=1}^{n}\sum_{j=1}^{n}\sum_{p|i}\sum_{q|j}[gcd(p,q)==1] \] \[ \sum_{p=1}^{n}\sum_{q=1}^{n}[gcd(p,q)==1]\left \lfloor \frac{n}{p} \right \rfloor\left \lfloor \frac{n}{q} \right…

居然扒到了学长出的题 和3944差不多(?),虽然一眼看上去很可怕但是仔细观察发现,对于mu来讲,答案永远是1(对于带平方的,mu值为0,1除外),然后根据欧拉筛的原理,\( \sum_{i=1}^{n}\phi(i^2)=\sum_{i=1}^{n}\phi(i)*i \),然后就可以正常推了: 设 \[ g(n)=\sum_{i=1}^{n}i\sum_{d=1}^{i}[d|i]\phi(d)=\sum_{i=1}^{n}i^2=\frac{n(n+1)(2n+1)}{6} \] \[ s…

目录 题目链接 思路 代码 题目链接 传送门 思路 首先我们将原式化简: \[ \begin{aligned} &\sum\limits_{l_1=1}^{n}\sum\limits_{l_2=1}^{n}\dots\sum\limits_{l_k=1}^{n}gcd(l_1,l_2,\dots,l_k)^2&\\ =&\sum\limits_{d=1}^{n}d^2\sum\limits_{l_1=1}^{n}\sum\limits_{l_2=1}^{n}\dots\sum\li…

题目大意:给你$n$,求:$$\sum\limits_{i=1}^n\varphi(i),\sum\limits_{i=1}^n\mu(i)$$最多$10$组数据,$n\leqslant2^{31}-1$ 题解:杜教筛,用来求$\sum\limits_{i=1}^nf(i)$的,其中$f$是某个特殊函数. 若我们可以找到一个函数$g$,使得$g,f*g$两个函数的前缀和十分好算($g*f$表示$g$和$f$的狄利克雷卷积),就可在$O(n^{\frac 23})$的复杂度内求出我们要的东西.令$…

P4213 [模板]杜教筛(Sum) 题目描述 给定一个正整数$N(N\le2^{31}-1)$ 求 $$ans_1=\sum_{i=1}^n\varphi(i)$$ $$ans_2=\sum_{i=1}^n \mu(i)$$ 输入输出格式 输入格式: 一共T+1行 第1行为数据组数T(T<=10) 第2~T+1行每行一个非负整数N,代表一组询问 输出格式: 一共T行,每行两个用空格分隔的数ans1,ans2 输入输出样例 输入样例#1: 复制 6 1 2 8 13 30 2333 输出样例#1…

[BZOJ 3930] [CQOI 2015]选数(莫比乌斯反演+杜教筛) 题面 我们知道,从区间\([L,R]\)(L和R为整数)中选取N个整数,总共有\((R-L+1)^N\)种方案.求最大公约数刚好为K的选取方案有多少个.由于方案数较大,你只需要输出其除以1000000007的余数即可. \[N,K,L,H \leq 10^9,H-L \leq 10^5\] 分析 \(\because \gcd(ka,kb)=k\gcd(a,b)\),我们先把\(L,R\)除以\(K\),然后问题就变成了…

Description Input 一共T+1行 第1行为数据组数T(T<=10) 第2~T+1行每行一个非负整数N,代表一组询问 Output 一共T行,每行两个用空格分隔的数ans1,ans2 Sample Input 6 1 2 8 13 30 2333 Sample Output 1 1 2 0 22 -2 58 -3 278 -3 1655470 2 正解:线性筛+杜教筛. 杜教筛板子题.然而感觉自己还不是很理解的样子.. 唐老师博客:http://blog.csdn.net/skyw…

4176: Lucas的数论 题意:求\(\sum_{i=1}^n \sum_{j=1}^n \sigma_0(ij)\) \(n \le 10^9\) 代入\(\sigma_0(nm)=\sum_{i\mid n}\sum_{j\mid m}[(i,j)=1]\) 反演得到 \[ \sum_{d=1}^n \mu(d) (g(\frac{n}{d}))^2 \\ g(n) = \sum_{i=1}^n \sigma_0(i) \] 杜教筛\(\mu \ \sigma_0\)的前缀和 当然和前面…

题意 求\(\sum_{i=1}^{n}\varphi(i)和\sum_{i=1}^{n}\mu(i)\) \(n <= 2^{31}-1\) 不会做啊... 只会线性筛,显然不能线性筛 这个时候就需要杜教筛 怎么筛 先看一下狄利克雷卷积 假设我们要求\(F(i)=\sum_{i=1}^{n}f(n)\)而\(n(10^{11}左右)\)比较大不能线性筛时考虑杜教筛 套路的推导: 先随意找一个函数\(g(i)\)和\(f(i)\)求狄利克雷卷积: \[(g * f)(n) = \sum_{d|n…

题目描述 给定一个正整数N(N\le2^{31}-1)N(N≤231−1) 求ans_1=\sum_{i=1}^n\phi(i),ans_2=\sum_{i=1}^n \mu(i)ans1​=∑i=1n​ϕ(i),ans2​=∑i=1n​μ(i) 输入输出格式 输入格式: 一共T+1行 第1行为数据组数T(T<=10) 第2~T+1行每行一个非负整数N,代表一组询问 输出格式: 一共T行,每行两个用空格分隔的数ans1,ans2 输入输出样例 输入样例#1: 复制 6 1 2 8 13 30 2…

原文链接http://www.cnblogs.com/zhouzhendong/p/8671759.html 题目传送门 - BZOJ3944 题意 多组数据(组数<=10). 每组数据一个正整数$n(n\leq 10^{10})$. 让你求$\sum_{i=1}^{n}\varphi(i)$以及$\sum_{i=1}^{n}\mu(i)$. 题解 杜教筛模版题. 杜教筛学习->传送门 代码 #include <bits/stdc++.h> using namespace std;…

传送门 题意: 思路:直接上杜教筛. 知道怎么推导就很简单了,注意预处理的范围. 然后我因为预处理范围不对被zxyoi教育了(ldx你这个傻×两倍常数活该被卡TLE) 喜闻乐见 代码: #include<bits/stdc++.h> #define ri register int using namespace std; const int N=7500005,lim=7500000; typedef long long ll; namespace Sieve{ int pri[N],tot=…

4176: Lucas的数论 Time Limit: 30 Sec  Memory Limit: 256 MB Description 去年的Lucas非常喜欢数论题,但是一年以后的Lucas却不那么喜欢了. 在整理以前的试题时,发现了这样一道题目“求Sigma(f(i)),其中1<=i<=N”,其中 表示i的约数个数.他现在长大了,题目也变难了. 求如下表达式的值:   其中 表示ij的约数个数. 他发现答案有点大,只需要输出模1000000007的值. Input 第一行一个整数n. Ou…

当作杜教筛的笔记吧. 杜教筛 要求一个积性函数$f(i)$的前缀和,现在这个东西并不是很好算,那么我们考虑让它卷上另外一个积性函数$g(i)$,使$(f * g)$的前缀和变得方便计算,然后再反推出这个$f$函数的前缀和. $$\sum_{i = 1}^{n}(f * g)(i) = \sum_{i = 1}^{n}\sum_{d | i}g(d)f(\frac{i}{d}) = \sum_{d = 1}^{n}g(d)\sum_{i = 1}^{\left \lfloor \frac{n}{d…