\(\color{#0066ff}{ 题目描述 }\) 小C有一个集合S,里面的元素都是小于M的非负整数.他用程序编写了一个数列生成器,可以生成一个长度为N的数列,数列中的每个数都属于集合S.小C用这个生成器生成了许多这样的数列.但是小C有一个问题需要你的帮助:给定整数x,求所有可以生成出的,且满足数列中所有数的乘积mod M的值等于x的不同的数列的有多少个.小C认为,两个数列{Ai}和{Bi}不同,当且仅当至少存在一个整数i,满足Ai≠Bi.另外,小C认为这个问题的答案可能很大,因此他只需要你…

题目大意:给你一个集合$n,m,x,S(S_i\in(0,m],m\leqslant 8000,m\in \rm{prime},n\leqslant10^9)$,求一个长度为$n$的序列$Q$,满足$Q_i\in S$,且$\prod\limits _{i=1}^nQ_i=x$,求序列的个数 题解:乘比较麻烦,可以把每个数求$\ln$,可以求出$m$的原根,求原根可以暴力$O(m^2)$求,然后每个数求$\ln$,求出生成函数$F(x)$,算出$F^n(x)$.发现$n$较大,多项式快速幂即可.…

思路 首先有个挺显然的DP \[ dp[i][(j*k)\%m]+=dp[i-1][j]\times dp[i-1][k] \] 想办法优化这个DP 这个dp也可以写成这样 \[ dp[i][j]=\sum_{p*q=j}dp[i-1][p]\times dp[i-1][q] \] 看着一副卷积的样子 但是是乘法,可以考虑转化乘法为加法,有两种方式,取ln或者原根 注意到m是质数,所以取原根,每层之间的转移就变成卷积了 但是这题的卷积下标是模m的,所以每次乘完都要把大于m-1的加到对应项上(i+…

一道不错的多项式好题.还涉及了一些数论内容. 首先我们看到题目是求乘积模\(m\)的方案数,考虑到这种方案数我们一般都可以用生成函数来做. 但显然卷积的下标有加(FFT,NTT等)有位运算(FWT)但是没有乘法的.除非您十分dalao自己发明一个卷积算法 所以我们考虑化乘为加,我们注意到\(m\)是一个不大的指数,那么意味这我们可以利用同余系下的一大利器--原根 关于原根的主要性质,其实就是原根\(g\),满足\(g^0,g^1\dots g^{m-2}\)模\(m\)后各不相同. 所以我们可以…

显然dp就是设\(f[i][j]\)表示dp了i轮,对m取膜是j的方案数 \(f[i][xy\mod m]=f[i-1][x]\times f[i-1][y]\) 这是\(O(nm^2)\)的 像我这样的蒟蒻都能想到用类似快速幂一样的东西来转移是吧,那么就\(O(log_2 nm^2)\)了 非常难受,还是过不去 如果可以优化一下dp转移就好了,比如把乘改成加,就能用NTT了 然后就要用到一个叫做原根的东西,学NTT的时候只是记了一下不知道这货有啥用 质数\(m\)原根\(g\)的性质:对\(m…

传送门 题意:$a_i\in S$,求$\prod_{i=1}^na_i\equiv x\pmod{m}$的方案数 这题目太珂怕了……数学渣渣有点害怕……kelin大佬TQL 设$f[i][j]$表示$\prod_{k=1}^ia_k\equiv j\pmod{m}$的方案数 那么$$f[2*i][j]=\sum_{ab\equiv j\pmod{m}}f[i][a]f[i][b]$$ 然后因为$m$是质数.质数有一个叫做原根的东西,质数$p$的原根$g$满足$g^i\ mod\ p$在$i$为…

3992: [SDOI2015]序列统计 Time Limit: 30 Sec  Memory Limit: 128 MBSubmit: 1017  Solved: 466[Submit][Status][Discuss] Description 小C有一个集合S,里面的元素都是小于M的非负整数.他用程序编写了一个数列生成器,可以生成一个长度为N的数列,数列中的每个数都属于集合S. 小C用这个生成器生成了许多这样的数列.但是小C有一个问题需要你的帮助:给定整数x,求所有可以生成出的,且满足数列中…

[SDOI2015]序列统计 标签: NTT 快速幂 Description 给你一个模m意义下的数集,需要用这个数集生成一个数列,使得这个数列在的乘积为x. 问方案数模\(1004535809\). Solution 首先很容易写出一个dp. \(dp_{i,j}\)数列长度为i,乘积为j的方案数. 这么做是\(O(nm^2)\)的. 所以我们肯定要搞点事情,把n变成logn. 这个数列显然是满足结合律的,并且每次的转移都相同. 于是可以写一个快速幂,把n降为logn. 注意到乘积不太好维护,…

3992: [SDOI2015]序列统计 链接 分析: 给定一个集和s,求多少个长度为n的序列,满足序列中每个数都属于s,并且所有数的乘积模m等于x. 设$f=\sum\limits_{i=0}^{n - 1} a_i x ^ i \ \ 如果集合中存在i,a_i = 1$ 那么答案的生成函数为f自乘n次,这里可以快速幂.这里"乘法"定义是:设多项式a乘多项式b等于c,$\sum\limits_{k=0}^{n - 1} c_k = \sum\limits_{i \times j =…

3992: [SDOI2015]序列统计 Time Limit: 30 Sec  Memory Limit: 128 MBSubmit: 2275  Solved: 1090[Submit][Status][Discuss] Description 小C有一个集合S,里面的元素都是小于M的非负整数.他用程序编写了一个数列生成器,可以生成一个长度为N的数 列,数列中的每个数都属于集合S.小C用这个生成器生成了许多这样的数列.但是小C有一个问题需要你的帮助: 给定整数x,求所有可以生成出的,且满足数…