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[物理学与PDEs]第2章第1节 理想流体力学方程组 1.1 预备知识
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[物理学与PDEs]第2章第1节 理想流体力学方程组 1.1 预备知识
1. 理想流体: 指忽略粘性及热传导的流体. 2. 流体的状态 (运动状态及热力学状态) 的描述 (1) 速度向量 $\bbu=(u_1,u_2,u_3)$: 流体微元的宏观运动速度. (2) 质量密度 $\rho$: 单位体积流体的质量. a. 质量流向量 (动量密度向量) $\rho\bbu$; b. 动量流张量 $\rho \bbu\otimes \bbu$; c. 比容 $\tau=\cfrac{1}{\rho}$: 单位质量流体的体积. (3) 压强 $p$: 作…
[物理学与PDEs]第2章第1节 理想流体力学方程组 1.4 一维理想流体力学方程组
1. 一维理想流体力学方程组 $$\beex \bea \cfrac{\p\rho}{\p t}+\cfrac{\p}{\p x}(\rho u)&=0,\\ \cfrac{\p}{\p t}(\rho u) +\cfrac{\p}{\p x}(\rho u^2+p)&=\rho F,\\ \cfrac{\p}{\p t}\sex{\rho e+\cfrac{1}{2}\rho u^2} +\cfrac{\p}{\p x}\sez{\sex{ \rho e+\cfrac{1}{2}\rh…
[物理学与PDEs]第2章第1节 理想流体力学方程组 1.3 理想流体力学方程组的数学结构
1. 局部音速 $c$: $c^2=\cfrac{\p p}{\p \rho}>0$. 2. 将理想流体力学方程组 $$\beex \bea \rho\cfrac{\p {\bf u}}{\p t} +(\rho {\bf u}\cdot\n){\bf u}+\n p&=\rho{\bf F},\\ \cfrac{1}{\rho c^2}\cfrac{\p p}{\p t} +\n\cdot{\bf u}+\cfrac{1}{\rho c^2}({\bf u}\cdot\n)p&…
[物理学与PDEs]第2章第1节 理想流体力学方程组 1.2 理想流体力学方程组
1. 质量守恒定律: 连续性方程 $$\bee\label{2_1_2_zl} \cfrac{\p\rho}{\p t}+\Div(\rho{\bf u})=0. \eee$$ 2. 动量守恒定律: $$\bee\label{2_1_2_dl} \cfrac{\p}{\p t}(\rho{\bf u})+\Div(\rho{\bf u}\otimes {\bf u}+p{\bf I})=\rho{\bf F}. \eee$$ 用 \eqref{2_1_2_zl} 可化简 \eqref{2_…
[物理学与PDEs]第4章第2节 反应流体力学方程组 2.4 反应流体力学方程组的数学结构
1. 粘性热传导反应流体力学方程组是拟线性对称双曲 - 抛物耦合组. 2. 理想反应流体力学方程组是一阶拟线性对称双曲组 (取 ${\bf u},p,S,Z$ 为未知函数). 3. 右端项具有间断性.…
[物理学与PDEs]第4章第2节 反应流体力学方程组 2.3 混合气体状态方程
1. 记号与假设 (1) 已燃气体的化学能为 $0$. (2) 单位质量的未燃气体的化学能为 $g_0>0$. 2. 对多方气体 (理想气体当 $T$ 不高时可近似认为), $$\bex p=(\gamma-1)e^\frac{S-S_0}{c_V}\rho^\gamma,\quad e=e^\frac{S-S_0}{c_V}\rho^{\gamma-1}\ra p=(\gamma-1)\rho e =(\gamma-1)\rho (E-Zg_0). \eex$$ 3. 对理想气体的多…
[物理学与PDEs]第4章第2节 反应流体力学方程组 2.2 反应流体力学方程组形式的化约
1. 粘性热传导反应流体力学方程组 $$\beex \bea \cfrac{\rd \rho}{\rd t}&+\rho \Div{\bf u}=0,\\ \cfrac{\rd Z}{\rd t}&=-\bar k(\rho,p,Z)Z,\\ \cfrac{\rd {\bf u}}{\rd t}&+\cfrac{1}{\rho}\n p =\cfrac{1}{\rho}\Div(2\mu{\bf S}) +\cfrac{1}{\rho}\n \sez{\sex{\mu'-\cfr…
[物理学与PDEs]第4章第2节 反应流体力学方程组 2.1 粘性热传导反应流体力学方程组
1. 记号: $Z=Z(t,{\bf x})$ 表示未燃气体在微团中所占的百分比 ($Z=1$ 表示完全未燃烧; $Z=0$ 表示完全燃烧). 2. 物理化学 (1) 燃烧过程中, 通过化学反应释放能量; 而不仅仅需要考虑单位质量的内能 (分子的动能与势能), 也要考虑化学能 (原子在分子中的能量), 于是引进完全能 $$\bex E=e+g, \eex$$ 其中 $g$ 表示单位质量的化学能. (2) 流体的状态方程一般与 $Z$ 有关 ($Z$ 不同, 混合气体不同), 而 $$\b…
[物理学与PDEs]第2章第5节 一维流体力学方程组的 Lagrange 形式 5.2 Lagrange 坐标
1. Lagrange 坐标 $$\beex \bea &\quad 0=\int_\Omega\cfrac{\p \rho}{\p t}+\cfrac{\p}{\p x}(\rho u)\rd x\rd t=\int_{\p\Omega} -\rho u\rd x+\rho \rd t\\ &\ra \exists\ m,\st \rd m=-\rho u\rd t+\rho \rd x. \eea \eeex$$ 取 $$\beex \bea t'&=t,\\ m&=\…
[物理学与PDEs]第2章习题10 一维理想流体力学方程组的 Lagrange 形式
试证明: 一维理想流体力学方程组的 Lagrange 形式 (5. 22)-(5. 24) 也可写成如下形式 $$\beex \bea \cfrac{\p \tau}{\p t}-\cfrac{\p u}{\p x}&=0,\\ \cfrac{\p u}{\p t}+\cfrac{\p p}{\p x}&=F,\\ \cfrac{\p }{\p t}\sex{e+\cfrac{u^2}{2}} +\cfrac{\p}{\p x}(pu)&=Fu. \eea \eeex$$ 证明:…
[物理学与PDEs]第2章第2节 粘性流体力学方程组 2.6 一维粘性热传导流体动力学方程组
一维粘性热传导流体动力学方程组: $$\beex \bea \cfrac{\p\rho}{\p t}+\cfrac{\p }{\p x}(\rho u)&=0,\\ \cfrac{\p u}{\p t}+u\cfrac{\p u}{\p x} +\cfrac{1}{\rho}\cfrac{\p p}{\p x} -\cfrac{1}{\rho}\cfrac{\p }{\p x}\sez{\sex{\cfrac{4\mu}{3}+\mu'}\cfrac{\p u}{\p x}}&=F,\\…
[物理学与PDEs]第2章第2节 粘性流体力学方程组 2.5 粘性热传导流体动力学方程组的数学结构
1. 粘性热传导流体动力学方程组可化为 $$\beex \bea \cfrac{\p \rho}{\p t}&+({\bf u}\cdot\n)\rho=-\rho \Div{\bf u},\\ \cfrac{\p{\bf u}}{\p t}&-\cfrac{\mu}{\rho}\lap {\bf u} -\cfrac{\mu'+\cfrac{1}{3}\mu}{\rho}\n\Div{\bf u} =\cfrac{1}{\rho} \sez{ \rho {\bf F}-c^2\n\rh…
[物理学与PDEs]第2章第2节 粘性流体力学方程组 2.4 粘性热传导流体动力学方程组
粘性热传导流体动力学方程组: $$\beex \bea \cfrac{\p \rho}{\p t}+\Div(\rho{\bf u})&=0,\\ \rho \cfrac{\rd {\bf u}}{\rd t} +\n p -\n\sez{ \sex{\mu'-\cfrac{2}{3}\mu}\Div{\bf u} } -2\Div(\mu {\bf S})&=\rho {\bf F},\\ \rho\cfrac{\rd e}{\rd t} +p\Div{\bf u} -\mu\sum_{…
[物理学与PDEs]第2章第2节 粘性流体力学方程组 2.3 广义 Newton 法则---本构方程
1. ${\bf P}=(p_{ij})$, 而 $$\bex p_{ij}=-p\delta_{ij}+\tau_{ij}, \eex$$ 其中 $\tau_{ij}$ 对应于摩擦切应力. 2. 由于内摩擦力只与相对运动有关, 而 $\tau_{ij}$ 与速度无关, 而只与速度梯度有关, 且为线性的 (实验已很好的证实): $$\bex \tau_{ij}=c_{ijkl}\cfrac{\p u_k}{\p x_l}. \eex$$ 由于 $(\tau_{ij})$ 和 $\sex{\c…
[物理学与PDEs]第2章第2节 粘性流体力学方程组 2.2 应力张量
1. 在有粘性的情形, 外界流体对 $\Omega$ 的作用力, 不仅有表面上的压力 (正压力), 也有表面上的内摩擦力 (切应力). 2. 于 $M$ 处以 ${\bf n}$ 为法向的单位面积所受的面力 (${\bf n}$ 所指一侧的流体施加的) 为 $$\bex {\bf p}_n=\lim_{{\bf n}\perp \lap S\to 0}\cfrac{\lap {\bf p}}{\lap S}. \eex$$ 称为应力向量. 3. 记 $p_{ij}$ 为以 $x_j$ 为法…
[物理学与PDEs]第2章第2节 粘性流体力学方程组 2.1 引言
1. 实际的流体与理想流体的主要区别在于: 前者具有粘性 (内摩擦) 和热传导. 2. 内摩擦 (1) 当两层流体有相对运动时, 方有摩擦力; 它是一种内力; 单位面积上所受的内力称为应力; 而它通常与表面相切, 而称为切应力. (2) Newton 假设摩擦力与速度梯度成正比; 满足此假设的称为 Newton 流体; 而不满足的称为非 Newton 流体. 3. 热传导 (1) Fourier 实验定律: $$\bex \rd q=-\kappa\cfrac{\p T}{\p n}…
[物理学与PDEs]第5章第6节 弹性静力学方程组的定解问题
5. 6 弹性静力学方程组的定解问题 5. 6. 1 线性弹性静力学方程组 1. 线性弹性静力学方程组 $$\bee\label{5_6_1_le} -\sum_{j,k,l}a_{ijkl}\cfrac{\p ^2u_k}{\p x_j\p x_l}=\rho_0b_i,\quad i=1,2,3. \eee$$ 2. (Korn 不等式) 设 $\Omega\subset{\bf R}^3$ 为有界区域, 则 $$\bex \exists\ C_0>0,\st \int_\Omega…
[物理学与PDEs]第5章第5节 弹性动力学方程组及其数学结构
5.5.1 线性弹性动力学方程组 1. 线性弹性动力学方程组 $$\beex \bea 0&=\rho_0\cfrac{\p{\bf v}}{\p t}-\Div_x{\bf P}-\rho_0{\bf b}\\ &=\rho_0\cfrac{\p}{\p t}\sex{\cfrac{\p{\bf u}}{\p t}} -\Div_x({\bf A}{\bf E})-\rho_0{\bf b}\quad\sex{{\bf u}={\bf y}-{\bf x}}\\ &=\rh…
[物理学与PDEs]第3章第4节 磁流体力学方程组的数学结构
1. 在流体存在粘性.热传导及 $\sigma\neq \infty$ 时, 磁流体力学方程组是一个拟线性对称双曲 - 抛物耦合组. 2. 在流体存在粘性.热传导但 $\sigma=\infty$ 时, 磁流体力学方程组是一个拟线性对称双曲 - 抛物耦合组. 3. 如果流体没有任何耗散过程, 此时称为理想磁流体, 而其方程称为理想磁流体力学方程组, 它是一个具有守恒律形式的一阶拟线性对称双曲组.…
[物理学与PDEs]第3章第2节 磁流体力学方程组 2.4 不可压情形的磁流体力学方程组
不可压情形的磁流体力学方程组 $$\beex \bea \cfrac{\rd {\bf H}}{\rd t}-({\bf H}\cdot\n){\bf u}&=\cfrac{1}{\sigma\mu_0}\lap {\bf H},\\ \Div{\bf H}&=0,\\ \cfrac{\rd {\bf u}}{\rd t}+\n \sex{p+\cfrac{1}{2}\mu_0H^2} &=\mu_0({\bf H}\cdot\n){\bf H}+\bar \mu \lap{\bf…
[物理学与PDEs]第3章第2节 磁流体力学方程组 2.3 磁流体力学方程组
1. 磁流体力学方程组 $$\beex \bea \cfrac{\p {\bf H}}{\p t} &-\rot({\bf u}\times{\bf H})=\cfrac{1}{\sigma\mu_0}\lap{\bf H},\\ \Div&{\bf H}=0,\\ \cfrac{\p \rho}{\p t}&+\Div(\rho {\bf u})=0,\\ \cfrac{\p (\rho{\bf u})}{\p t}&+\Div(\rho{\bf u}\times{\b…
[物理学与PDEs]第3章第2节 磁流体力学方程组 2.2 考虑到电磁场的存在对流体力学方程组的修正
1. 连续性方程 $$\bex \cfrac{\p \rho}{\p t}+\Div(\rho{\bf u})=0. \eex$$ 2. 动量守恒方程 $$\bex \cfrac{\p }{\p t}(\rho{\bf u}) +\Div(\rho {\bf u}\otimes{\bf u}-{\bf P}) -\mu\rot{\bf H}\times{\bf H}=\rho {\bf F}, \eex$$ 或 $$\bex \rho \cfrac{\rd {\bf u}}{\rd t}…
[物理学与PDEs]第3章第2节 磁流体力学方程组 2.1 考虑到导电媒质 (等离子体) 的运动对 Maxwell 方程组的修正
1. Maxwell 方程组 $$\bee\label{3_2_1_Maxwell} \bea \Div{\bf D}&=\rho_f,\\ \rot{\bf E}&=-\cfrac{\p {\bf B}}{\p t},\\ \Div{\bf B}&=0,\\ \rot{\bf H}&=\cfrac{\p {\bf D}}{\p t}+{\bf j}_f, \eea \eee$$ 其中 ${\bf D}=\ve {\bf E}$, ${\bf B}=\mu{\bf H}$…
[物理学与PDEs]第5章第1节 引言
1. 弹性力学是研究弹性体在荷载的作用下, 其内力 (应力) 和变形所满足的规律的学科. 2. 荷载主要有两种, 一是作用在弹性体上的机械力 (本章讨论); 二是由温度等各种能导致弹性体变形的物理量 (下一章讨论). 3. 弹性体: 在荷载作用下产生弹性形变, 而撤去荷载后变形立即消失, 无题恢复原来的状态. 4. 本构关系: 物体的变形与应力之间的某种关系. 5. 弹性理论 $$\beex \bea\mbox{弹性理论}\sedd{\ba{ll} \mbox{线性弹性理论}\\ \m…
[物理学与PDEs]第4章习题4 一维理想反应流体力学方程组的守恒律形式及其 R.H. 条件
写出在忽略粘性与热传导性, 即设 $\mu=\mu'=\kappa=0$ 的情况, 在 Euler 坐标系下具守恒律形式的一维反应流动力学方程组. 由此求出在解的强间断线上应满足的 R.H. 条件 (见第二章 $\S 4$), 并证明越过强间断线, 函数 $Z$ 保持连续. 解答: (1) 具守恒律形式的一维反应流动力学方程组为 $$\beex \bea \cfrac{\p \rho}{\p t}+\cfrac{\p}{\p x}(\rho u)&=0,\\ \cfrac{\p}{\p t}(…
[物理学与PDEs]第4章第1节 引言
1. 本章讨论可燃流体在流动过程中同时伴随着燃烧现象的情况. 2. 燃烧有两种, 一种是爆燃 (deflagration): 火焰低速向前传播, 此时流体微元通常是未燃气体.已燃气体的混合物; 一种是爆炸 (detonation): 火焰以 $\geq 2000\ m/s$ 的速度向前传播, 此时, Chapman (1899) 与 Jouquet (1905) 认为化学反应过程是瞬时发生并完成的, 即有一波前 (wavefront) 进入未燃气体, 并瞬时地将它变成已燃气体. 3. 本章…
[物理学与PDEs]第5章第4节 本构方程 - 应力与变形之间的关系
5. 4 本构方程 - 应力与变形之间的关系 5.4.1. 本构关系的一般形式 1. 若 Cauchy 应力张量 ${\bf T}$ 满足 $$\bex {\bf T}({\bf y})=\hat{\bf T}({\bf x},{\bf F}({\bf x})), \eex$$ 则称材料是 (Cauchy) 弹性的; 这里 $\hat {\bf T}$ 称为响应函数. 若再 ${\bf T}({\bf y})=\hat{\bf T}({\bf F}({\bf x}))$, 则称弹性体是齐次的,…
[物理学与PDEs]第5章第3节 守恒定律, 应力张量
5. 3 守恒定律, 应力张量 5. 3. 1 质量守恒定律 $$\bex \cfrac{\p \rho}{\p t}+\Div_y(\rho{\bf v})=0. \eex$$ 5. 3. 2 应力 1. 弹性体所受荷载中的外力部分有体积力 ${\bf b}$, 表面力 ${\bf \tau}$. 2. 在荷载的作用下, 弹性体发生变形. $M$ 处 ${\bf\nu}$ 方向的应力向量 $$\bex {\bf \sigma} =\lim_{{\bf\nu}\perp\lap S\to…
[物理学与PDEs]第5章第2节 变形的描述, 应变张量 2.3 位移梯度张量与无穷小应变张量
1. 位移向量 $$\bex {\bf u}={\bf y}-{\bf x}. \eex$$ 2. 位移梯度张量 $$\bex \n_x{\bf u}={\bf F}-{\bf I}. \eex$$ 3. ${\bf C}$ 的表示: $$\beex \bea {\bf C}&={\bf F}^T{\bf C}=[{\bf I}+(\n{\bf u})^T]\cdot [{\bf I}+\n {\bf u}]\\ &={\bf I}+\n{\bf u}+(\n{\bf u})^T+(…
[物理学与PDEs]第5章第2节 变形的描述, 应变张量 2.2 Cauchy - Green 应变张量
1. 引理 (极分解): 设 $|{\bf F}|\neq 0$, 则存在正交阵 ${\bf R}$ 及对称正定阵 ${\bf U},{\bf V}$ 使得 $$\bex {\bf F}={\bf R}{\bf U}={\bf V}{\bf R}. \eex$$ 此称为 ${\bf F}$ 的极分解. 证明: (1) 先证明存在正交阵 ${\bf P},{\bf Q}$ 及对角阵 ${\bf D}$ 使得 $$\bex {\bf F}={\bf P}{\bf D}{\bf Q}. \eex$…