各种数和各种反演（所谓FFT的前置知识？）

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各种数和各种反演（所谓FFT的前置知识？）

每次问NC做多项式的题需要什么知识点. 各种数. 各种反演. 多项式全家桶. 然后我就一个一个地学知识点.然而还差好多,学到后面的前面的已经忘了(可能是我太菜吧不是谁都是NC啊) 然后发现每个知识点基本只做一道题,肯定会忘,所以再归纳一下. 不附证明只写结论以便查阅,如果需要证明还是自行百度. 第一类斯特林数含义:$\left[ ^k_n \right]$表示讲n个元素划分为k个环的方案数. 递推公式:$\left[ ^k_n \right] = \left[ ^k_{n-1} \right]…

fft.ntt,生成函数,各种数和各种反演

前置知识: 一,导数倒数其实就是函数的斜率函数设D[f(x)]表示f(x)的导数,则满足 $$1,D[f(x)]=\lim\limits_{\delta x->\infty}\frac{f(x+\delta x)-f(x)}{\delta x}$$ $$2,f(x+\delta x)=f(x)+D[f(x)]\times \delta x$$ I,常用导数一次函数$f(x)=ax+b$ $$D[f(x)]=a$$ 幂函数(多项式)$f(x)=x^{a}$ $$D[f(x)]=\lim\li…

有标号DAG计数 [容斥原理子集反演组合数学 fft]

有标号DAG计数题目在COGS上 [HZOI 2015]有标号的DAG计数 I [HZOI 2015] 有标号的DAG计数 II [HZOI 2015]有标号的DAG计数 III I 求n个点的DAG(可以不连通)的个数.$n \le 5000$ 2013年王迪的论文很详细了感觉想法很神,自己怎么想到啊? 首先要注意到DAG中一类特殊的点:入度为0的点.以这些点来分类统计先是一种$O(N^3)$的dp, $d(i,j)$ i个点j个入度为0,转移枚举去掉j个后入度为0点的个数,…

FFT,NTT入门

目录 -1.前置知识复数单位根单位根反演 0.卷积 1.FFT -1.前置知识复数复数单位$i$:定义为$i^2=-1$.$i$可以直接参与运算. 复数:形如$z=a+bi$的数被称为复数,其中$a$称为实部,$b$称为虚部.可以发现,当$b=0$的时候,$z$就是实数. 复平面:建立直角坐标系.对于复数$z=a+bi$,其在复数平面上的坐标就是$(a,b)$:即横轴表示实部,纵轴表示虚部.另外,一个复数同样可以被表示为复平面上的一个…

很详细的FFT（快速傅里叶变换）概念与实现

FFT 首先要说明一个误区,很多人认为FFT只是用来处理多项式乘的,其实FFT是用来实现多项式的系数表示法和点值表示法的快速转换的,所以FFT的用处远不止多项式乘. FFT的前置知识:点值表示法,复数运算,三角函数. 多项式的系数表示法和点值表示法系数表示法 \[A(x)=\sum_{i=0}^n a_i*x^i \] 点值表示法不妨将A视为关于x的函数,点值表示法就是在A的图像上取n个点,则该多项式可以被这n个点唯一确定. \[a_i=A(x_i)\\ A(x)=\{(x_1,a_1),(…

ZJOI 2019 划水记

作为一个极其蒟蒻的OIer,虽然没有省选资格但还是去见见世面. ZJOI2019一试是在浙江省镇海中学.听名字就很霸气. 学习OI的最后一年,记录下一些事情,即使最终走到最后也一无所获,也是一段美好的记忆吧. 起码,我努力过. ——ljc20020730 Day -1 20190323 晚上复习下基础数论,写了十几个板子(excrt,exgcd什么的),写到0:00.. 然后去睡觉,8:00醒来发现好像上午要拍视频(语文作业),然后草草起床,匆匆吃了个饭. 去学校,拍视频. 除了躺在床上拍起床并…

多项式fft、ntt、fwt 总结

做了四五天的专题,但是并没有刷下多少题.可能一开始就对多项式这块十分困扰,很多细节理解不深. 最简单的形式就是直接两个多项式相乘,也就是多项式卷积,式子是$N^2$的.多项式算法的过程就是把卷积做一种变换,在变换后各系数相称得到新系数.其实这一步变换的构造过程挺深奥的,并不是很会.对于多项式卷积的变换就是点值.于是就有了快速变换这样的算法. 细节问题出过很多.边界的问题容易弄错.一般如果是两个N项多项式相乘,得到的是一个$2*N-1$项的多项式,这是存在系数的,只不过一般我们只要N项的结果,所以…