Hammersley-Clifford定理证明

Proof of Hammersley-Clifford TheoremProof of Hammersley-Clifford Theorem依赖知识定义1定义2证明过程反向证明(吉布斯分布=>MRF)正向证明(MRF=>吉布斯分布)证明第一点证明第二点疑问点最近看语义分割论文DeepLab,有使用全连接CRF恢复局部的细节信息,提升分割精度.又回去复习了下CRF,仍然有一个问题很困扰: “根据Hammersley Clifford定理,一个无向图模型的概率可以表示为定义在图上所有最大团…

Wilson定理证明

Wilson定理证明就是那个$(p-1)! \equiv -1 \pmod{p}$,$p$是一个素数. Lemma A $\mathbb{Z}_p$可以去掉一个零元变成一个群. 即$\forall a\in \mathbb{Z}_ {p},a\not= \overline{0}, \exists b \in \mathbb{Z}_p,ab=\overline{1}$也就是存在逆元. Lemma B \(\forall a\in \mathbb{Z}_p,a\not=\overl…

tensorflow deepmath：基于深度学习的自动化数学定理证明

Deepmath Deepmath项目旨在改进使用深度学习和其他机器学习技术的自动化定理证明. Deepmath是Google研究与几所大学之间的合作. 免责声明: 该存储库中的源代码不是Google的官方产品,而是与外部研究团队的研究合作. 现在,存储库仅包含HOL Light内核的C ++实现,我们早期已经发布了这些实现来促进现有协作.更多代码即将发布,包括神经网络模型. https://github.com/tensorflow/deepmath Deepmath The Deepmath…

数学定理证明机械化的中国学派（II）

所谓"学派"是指:存在一帮人,具有同样或接近的学术观点或学术立场,採用某种特定的"方法"(或途径),在一个学术方向上共同开展工作.而且做出了相当有迎影响的学术成就. 数学定理证明机械化的途径非常多,可是."吴方法"仅仅有一种.什么是"吴方法"?我们拿初等(平面)几何学为例,所谓"吴方法"实质上就是"方程联立求证法". 什么叫"方程联立求证法"呢? 比方说,我们须要求证…

【Learning】最小点覆盖（二分图匹配）与Konig定理证明

(附一道例题) Time Limit: 1000 ms Memory Limit: 128 MB Description 最小点覆盖是指在二分图中,用最小的点集覆盖所有的边.当然,一个二分图的最小点覆盖可能有很多种. 现在给定一个二分图,请你把图中的点分成三个集合: 如果在任何一种最小点覆盖中都不包含这个点,则认为该点属于N集合. 如果在任何一种最小点覆盖中都包含这个点,则认为该点属于A集合. 如果一个点既不属于N集合,又不属于A集合,则认为该点属于E集合. Input 第一行包含三个整数n…

[自用]数论和组合计数类数学相关（定理&证明&板子）

0 写在前面本文受 NaVi_Awson 的启发,甚至一些地方直接引用,在此说明. 1 数论 1.0 gcd 1.0.0 gcd $gcd(a,b) = gcd(b,a\;mod\;b)$ 证明:设 $c\mid a$,$c\mid b$,则 $c\mid (b-a)$. 设 $c\nmid a$,则 $c$ 不是 $a,b-a$ 的公因子. 设 $c\mid a$,$c\nmid b$,则 $c$ 不是 $a,b-a$ 的公因子. int gcd(int a,int b){ if(!b) r…

[自用]多项式类数学相关（定理&证明&板子）

写在前面由于上一篇总结的版面限制,特开此文来记录 $OI$ 中多项式类数学相关的问题. 该文启发于Miskcoo的博客,甚至一些地方直接引用,在此特别说明:若文章中出现错误,烦请告知. 感谢你的造访. 前置技能多项式相关形同 $P(X)=a_0+a_1X+a_2X^2+\cdots+a_nX^n$ 的形式幂级数 $P(X)$ 称为多项式.其中 $\{a_i|i\in[0,n]\}$ 为多项式的系数: $n$ 表示多项式的次数. 多项式的系数表示对于 $n$ 次多项…

[总结]数论和组合计数类数学相关（定理&证明&板子）

0 写在前面 0.0 前言由于我太菜了,导致一些东西一学就忘,特开此文来记录下最让我头痛的数学相关问题. 一些引用的文字都注释了原文链接,若侵犯了您的权益,敬请告知:若文章中出现错误,也烦请告知. 该文于 2018.3.31 完成最后一次修改(若有出错的地方,之后也会进行维护).其主要内容限于数论和组合计数类数学相关问题.因为版面原因,其余数学方面的总结会以全新的博文呈现. 感谢你的造访. 0.1 记号说明由于该文完成的间隔跨度太大,不同时期的内容的写法不严谨,甚至 $LaTeX$ 也有许多…

[总结]多项式类数学相关（定理&证明&板子）

目录写在前面前置技能多项式相关多项式的系数表示多项式的点值表示复数相关复数的意义复数的基本运算单位根代码相关多项式乘法快速傅里叶变换 DFT IDFT 算法实现递归实现迭代实现快速数论变换原根算法实现模数任意的解决方案应用快速卷积多项式求逆基本概念求解方法算法实现求第二类斯特林数第二类斯特林数 $\text{NTT}$ 优化快速沃尔什变换 $xor$ 卷积结论(三种卷积求法) 正向 $\text{tf}$ 逆向 \(\text{…

lucas定理证明

Lucas 定理(证明) A.B是非负整数,p是质数.AB写成p进制:A=a[n]a[n-1]...a[0],B=b[n]b[n-1]...b[0]. 则组合数C(A,B)与C(a[n],b[n])*C(a[n-1],b[n-1])*...*C(a[0],b[0]) mod p 相同即:Lucas(n,m,p)=c(n%p,m%p)*Lucas(n/p,m/p,p) 证明: 首先我们注意到 n=(ak...a2,a1,a0)p = (ak...a2,a1)p * p + a0 = [n…

lucas定理 +证明学习笔记

lucas定理 p为素数 \[\dbinom n m\equiv\dbinom {n\%p} {m\%p} \dbinom {n/p}{m/p}(mod p)\] 左边一项直接求,右边可递归处理,不包含求组合数复杂度是$log_p(m)$ 证明我们记$n=sp+q,m=tp+r,(q,r<p)$ \[\dbinom {sp+q} {tp+r} \equiv \dbinom {s} {t} \dbinom {q} {r} (mod p)\] 有这么一个性质\(\binom p d\equ…

费马小定理证明（copy的，自己捋清楚）

费马小定理:假如p是质数,且gcd(a,p)=1,那么 a^(p-1)≡1(mod p) 证明(copy的百度百科,加点自己的解释) 引理1．若a,b,c为任意3个整数,m为正整数,且(m,c)=1,则当a·c≡b·c(mod m)时,有a≡b(mod m). 证明:a·c≡b·c(mod m)可得ac–bc≡0(mod m)可得(a-b)·c≡0(mod m). 因为(m,c)=1即m,c互质,c可以约去( x=a-b, x*c=k*m(k∈Z), (c,m)=1, ∴c不…

Clairaut 定理证明

(Clairaut 定理)设 $E$ 是 $\mathbf{R}^n$ 的开子集合,并设 $f:\mathbf{E}\to \mathbf{R}^{m}$ 是 $E$ 上的二次连续可微函数.那么对于一切$x_0\in E$ 和 $1\leq i,j\leq n$, \begin{align*} \frac{\partial }{\partial x_j}\frac{\partial f}{\partial x_i}(x_0)= \frac{\partial }{\partial…

数学-Matrix Tree定理证明

老久没更了,冬令营也延期了(延期后岂不是志愿者得上学了?) 最近把之前欠了好久的债,诸如FFT和Matrix-Tree等的搞清楚了(啊我承认之前只会用,没有理解证明--),FFT老多人写,而MatrixTree没人证我就写一下吧-- Matrix Tree结论 Matrix Tree的结论网上可多,大概一条主要的就是,图中生成树的数量等于 $V-E$ 的任一余子式,其中: $V$ 为对角阵,第 $i$ 个元素为点 $i$ 的度数 $E$ 为对称阵,对角线为零且 \(E_{i,…