度娘百科说: 首先, ax+by = gcd(a, b) 这个公式肯定有解 (( •̀∀•́ )她说根据数论中的相关定理可以证明,反正我信了) 所以 ax+by = gcd(a, b) * k 也肯定有解 (废话,把x和y乘k倍就好了) 所以,这个公式我们写作ax+by = d,(gcd(a, b) | d) gcd(a, b) | d,表示d能整除gcd,这个符号在数学上经常见 那么已知 a,b 求 一组解 x,y 满足 ax+by = gcd(a, b) 这个公式 1 #include<cs…

浅谈扩展欧几里得(扩展GCD)算法 本篇随笔讲解信息学奥林匹克竞赛中数论部分的扩展欧几里得算法.为了更好的阅读本篇随笔,读者最好拥有不低于初中二年级(这是经过慎重考虑所评定的等级)的数学素养.并且已经学会了学习这个算法的前置知识:欧几里得算法. 对于对欧几里得算法还有知识模糊的读者,请不要担心,这里为你准备了前导知识讲解,请移步至本蒟蒻的另两篇博客: 浅谈GCD 求最大公约数的方式 裴蜀定理 裴蜀定理的概念及证明 因为翻译版本的不同,这个定理可能还会被叫做贝祖定理.\(B\acute{e}zou…

[题意]给定a,b,c,在天平左边放置若干重量a的砝码,在天平右边放置若干重量b的砝码,使得天平两端砝码差为c.设放置x个A砝码和y个B砝码,求x+y的最小值. [算法]数论(扩展欧几里德算法) [题解]问题转化为求满足方程ax+by=c,|x|+|y|的最小值. 先用扩展欧几里得算法求得通解. 由原方程得答案分布在y=-a/b*x+c/b(a>0,b>0,c>0),因此是k<0,b>0的直线. 由于斜率一定,min{|x|+|y|}一定出现在x轴两侧或y轴两侧,取这四个点判…

1009:数论 扩展欧几里得算法 其实自己对扩展欧几里得算法一直很不熟悉...应该是因为之前不太理解的缘故吧这次再次思考,回看了某位大神的推导以及某位大神的模板应该算是有所领悟了 首先根据题意:L1=x+mt; L2=y+nt; 可知当两人相遇: L1-L2=k*l; 即 :(m-n)t-(y-x)=kL 根据整除取余的方法:[ a/b=c...d --> a-d=c*b;] 可得到:(m-n)t mod l=y-x; 得到线性同余方程 此方程有解当且仅当 y-x 能被 m-n 和l的最大公约数…

1141. RSA Attack Time limit: 1.0 secondMemory limit: 64 MB The RSA problem is the following: given a positive integer n that is a product of two distinct odd primes p and q, a positive integer e such that gcd(e, (p-1)*(q-1)) = 1, and an integer c, fi…

在讲解扩展欧几里得之前我们先回顾下辗转相除法: \(gcd(a,b)=gcd(b,a\%b)\)当a%b==0的时候b即为所求最大公约数 好了切入正题: 简单地来说exgcd函数求解的是\(ax+by=gcd(a,b)\)的最小正整数解.根据数论的相关知识,一定存在一组解\(x,y\)使得\(ax+by=gcd(a,b)\).那就来谈谈具体如何来求解吧. 根据辗转相除法的内容\(gcd(a,b)=gcd(b,a\%b)\)我们可以得到:\[ax_1+by_1=gcd(a,b)=gcd(b,a\%…

http://poj.org/problem?id=1061 思路: 搞懂这个扩展欧几里得算法花了不少时间,数论真的是难啊. 含义:找出一对整数,使得ax+by=gcd(a,b). 接下来看这道题目,(x+mt)-(y+nt)=kl,转换成(n-m)t+kl=x-y. 令a=n-m,b=l,c=x-y,那么上式就变成了at+kb=c,之后就参照上面的算法来计算就行,具体参见代码. #include<iostream> #include<algorithm> #include<…

ACM数论之旅6---数论倒数,又称逆元(我整个人都倒了(￣﹏￣))   数论倒数,又称逆元(因为我说习惯逆元了,下面我都说逆元) 数论中的倒数是有特别的意义滴 你以为a的倒数在数论中还是1/a吗 (・∀・)哼哼~天真 先来引入求余概念 (a +  b) % p = (a%p +  b%p) %p  (对) (a  -  b) % p = (a%p  -  b%p) %p  (对) (a  *  b) % p = (a%p *  b%p) %p  (对) (a  /  b) % p = (a%p…

我们接着上面的欧几里得算法说 扩展欧几里得算法 扩展欧几里德算法是用来在已知a, b求解一组x,y,使它们满足贝祖等式\(^①\): ax+by = gcd(a, b) =d(解一定存在,根据数论中的相关定理).扩展欧几里德常用在求解模线性方程及方程组中. ①:裴蜀定理: 裴蜀定理\((Bezouts identity)\)是代数几何中一个定理,其内容是若设a,b是整数,则存在整数x,y,使得ax+by=gcd(a,b),(a,b)代表最大公因数,则设a,b是不全为零的整数,则存在整数x,y,使…

0.前言 相信大家对于欧几里得算法都已经很熟悉了.再学习数论的过程中,我们会用到扩展欧几里得算法(exgcd),大家一定也了解过.这是本蒟蒻在学习扩展欧几里得算法过程中的思考与探索过程. 1.Bézout定理 扩展欧几里得算法利用归纳法,证明了Bézout定理. Bézout定理:对于任意整数 \(a\),\(b\) ,存在一对整数 \(x\),\(y\),满足 \(ax+by=gcd(a,b)\) 在扩展欧几里得的算法中,我们求出 \(x\),\(y\) 的值. 2.证明 2.1 \(gcd\…