P4777 [模板]扩展中国剩余定理(EXCRT) excrt模板 我们知道,crt无法处理模数不两两互质的情况 然鹅excrt可以 设当前解到第 i 个方程 设$M=\prod_{j=1}^{i-1}b[j]$ ,$ res$是前$ i-1 $个方程的最小解 则$ res+x*M$ 是前 $i-1 $个方程的通解 那么我们求的就是 $res+x*M ≡ a[i] (mod b[i])$ $<=> x*M - y*b[i] = a[i]-res$ 用exgcd求出的解为 t (当且仅当 gcd…

EXCRT 不保证模数互质 \[\begin{cases} x \equiv b_1\ ({\rm mod}\ a_1) \\ x\equiv b_2\ ({\rm mod}\ a_2) \\ ... \\ x \equiv b_n\ ({\rm mod}\ a_n)\end{cases}\] CRT戳这里 来一手数学归纳法 设已经求出前 \(k - 1\) 组的一个解 \(q\) 设 \(M = \prod_{i = 1}^{k - 1}a_{i}\) 我们知道前 \(k - 1\) 组的通解…

题面 传送门:洛咕 Solution 真*扩展中国剩余定理模板题.我怎么老是在做模板题啊 但是这题与之前不同的是不得不写龟速乘了. 还有两个重点 我们在求LCM的时候,记得先/gcd再去乘另外那个数,直接乘会乘爆的 我们在做龟速乘之前,要保证要乘的两个数>=0,如果<0的话,龟速乘会爆掉的,我们传进去之间记得膜一下 int128:你说啥?这里风太大,我听不见. Code //Luogu P4777 [模板]扩展中国剩余定理(EXCRT) //Jan,15th,2019 //中国剩余定理 #in…

扩展中国剩余定理(EXCRT)学习笔记 用途 求解同余方程组 \(\begin{cases}x\equiv c_{1}\left( mod\ m_{1}\right) \\ x\equiv c_{2}\left( mod\ m_{2}\right) \\ \ldots \\ x\equiv c_r\left( mod\ m_r\right) \end{cases}\) 其中 \(m_1,m_2,m_3...m_k\) 为不一定两两互质的整数, 求 \(x\) 的最小非负整数解. 求法 考虑两两合…

1.欧几里得算法(辗转相除法) 直接上gcd和lcm代码. int gcd(int x,int y){ ?x:gcd(y,x%y); } int lcm(int x,int y){ return x*y/gcd(x,y); } 2.扩欧:exgcd:对于a,b,一定存在整数对(x,y)使ax+by=gcd(a,b)=d ,且a,b互质时,d=1. x,y可递归地求得. 我懒得改返回值类型了 long long exgcd(long long a,long long b,long long &x,…

思路 中国剩余定理解决的是这样的问题 求x满足 \[ \begin{matrix}x \equiv a_1(mod\ m_1)\\x\equiv a_2(mod\ m_2)\\ \dots\\x\equiv a_n(mod\ m_n)\end{matrix} \] 在模数互质的情况下,解为 \[ x=\sum_ia_iM_iM_i^{-1}(mod M) \] 其中\(M=\prod_{i}m_i\),\(M_i=\frac{M}{m_i}\),\(M_i^{-1}\)为\(M_i\)在模\(m…

数论守门员二号 =.= 中国剩余定理: 1.一次同余方程组: 一次同余方程组是指形如x≡ai(mod mi) (i=1,2,…,k)的同余方程构成的组 中国剩余定理的主要用途是解一次同余方程组,其中m1,m2,...,mk互质 2.中国剩余定理: 令M=m1*m2*...*mk(即所有m的lcm)ti为同余方程M/mi*ti≡1(mod mi)的最小正整数解 则存在解x=∑ai*M/mi*ti 通解为x+i*M 最小非负整数解为(x%M+M)%M (我承认这段是抄的orz 原文看起来更方便:ht…

注意一下:: 题目是 \[x≡b_i\pmod {a_i}\] 我总是习惯性的把a和b交换位置,调了好久没调出来,\(qwq\). 本题解是按照 \[x≡a_i\pmod {b_i}\] 讲述的,请注意 本题\(m_i\)不一定两两互质,所以中国剩余定理在本题不再适用. 说是扩展中国剩余定理,其实好像和中国剩余定理关系不大. 使用数学归纳法,如果我们已经知道了前\(k-1\)个方程组构成的一个解,记作\(x\),记\(m=\Pi_{i=1}^{k-1}m_i\),则\(x+i*m(i∈Z)\)是…

传送门 解题思路 扩展 $crt​$,就是中国剩余定理在模数不互质的情况下,首先对于方程 ​     $\begin{cases} x\equiv a_1\mod m_1\\x\equiv a_2\mod m_2\end{cases}$ 来说,可以将其写为: $\begin{cases} x=k_1*m_1+a_1\\x=k_2*m_2+a_2\end{cases}$ 然后联立方程: ​     $k_1*m_1+a_1=k_2*m_2+a_2$ $\Leftrightarrow -k_1*m_…

(扩展)中国剩余定理 对于一组同余方程 \(x\equiv a_1(mod \quad n_1)\) \(x\equiv a_2(mod \quad n_2)\) \(x\equiv a_3(mod \ \ n_3)\) \(x\equiv a_n(mod\ \ n_m)\) 对于第一个和第二个式子 则有: \(x = a1 + k1*n1\) \(x = a2 + k2*n2\) 就有: \(a1 + k1 * n1 = a2 + k2 * n2\) \(k1 * n1 - k2 * n2 =…