用$ Min-Max$容斥之后要推的东西少了好多 无耻的用实数快读抢了BZOJ.Luogu.LOJ三个$ OJ$的Rank 1 即将update:被STO TXC OTZ超了QAQ 题意:集合$ [0,2^n)$中每次以一定给出概率产生一个数,求产生数按位或值为$ 2^n-1$的数字数量期望 $ Solution:$ 根据$ Min-Max$容斥,令$ Max(S)$表示所有位中最后一次出现的时间,$Min(S)$表示第一次出现的时间 显然有$ ans=Max(S)$ 根据$ Min-Max$容…

题解 听说这是一道论文题orz \(\sum_{k = 1}^{\infty} k(p^{k} - p^{k - 1})\) 答案是这个多项式的第\(2^N - 1\)项的系数 我们反演一下,卷积变点积 \(\hat{f_{S}} = \sum_{k = 1}^{\infty} k(\hat{p_{S}}^{k} - \hat{p_{S}}^{k - 1})\) 这是个等比数列啊,怎么推呢= = 设答案为\(S\) \(S = \infty \hat{p}^{\infty} - \sum_{k…

目录 题目链接 题解 代码 题目链接 loj#2128. 「HAOI2015」数字串拆分 题解 \(f(s)\)对于\(f(i) = \sum_{j = i - m}^{i - 1}f(j)\) 这个可以用转移矩阵通过矩阵乘法处理出来 预处理出\(A[i][j]\)表示数S为\(j * 10 ^ i\)的转移矩阵 对于g的转移 \(g(i) = \sum_{j = 0}^{i - 1}g(j) * D(j + 1,i)\) D[i][j]表示第i位到底j位构成的数的f,(转移矩阵 对于g的转移也…

「HAOI2015」按位或 解题思路 : 这类期望题一眼 \(\text{Min-Max}\) 容斥,只需要稍微推一下如何求 \(E(minS)\) 即可. \[ E(minS) = \frac{1}{\sum_{T \cap S\neq \emptyset} p_T} \\ = \frac{1}{1-\sum_{T \cap S = \emptyset}p_T} \\ = \frac{1}{1-\sum_{T \cap (U-S) = T}p_T} \\ = \frac{1}{1-\sum_{…

题意 刚开始你有一个数字 \(0\),每一秒钟你会随机选择一个 \([0,2^n-1]\) 的数字,与你手上的数字进行或操作.选择数字 \(i\) 的概率是 \(p[i]\) . 问期望多少秒后,你手上的数字变成 \(2^n-1\).\(n \leq 20\) . Solution $ \text{min-max}$ 容斥. 答案即求 \(E(\max(S))\) 即全集 \(S\) 最后一个元素出现时间的期望. 根据 $ \text{min-max}$ 容斥 : \[ E(\max(S))=\…

Loj #2192. 「SHOI2014」概率充电器 题目描述 著名的电子产品品牌 SHOI 刚刚发布了引领世界潮流的下一代电子产品--概率充电器: 「采用全新纳米级加工技术,实现元件与导线能否通电完全由真随机数决定!SHOI 概率充电器,您生 活不可或缺的必需品!能充上电吗?现在就试试看吧!」 SHOI 概率充电器由 \(n-1\) 条导线连通了 \(n\) 个充电元件.进行充电时,每条导线是否可以导电以 概率决定,每一个充电元件自身是否直接进行充电也由概率决定.随后电能可以从直接充电的元件经…

Loj #3096. 「SNOI2019」数论 题目描述 给出正整数 \(P, Q, T\),大小为 \(n\) 的整数集 \(A\) 和大小为 \(m\) 的整数集 \(B\),请你求出: \[ \sum_{i=0}^{T-1} [(i\in A\pmod P)\land(i\in B\pmod Q)] \] 换言之,就是问有多少个小于 \(T\) 的非负整数 \(x\) 满足:\(x\) 除以 \(P\) 的余数属于 \(A\) 且 \(x\) 除以 \(Q\) 的余数属于 \(B\). 输…

Loj #3093. 「BJOI2019」光线 题目描述 当一束光打到一层玻璃上时,有一定比例的光会穿过这层玻璃,一定比例的光会被反射回去,剩下的光被玻璃吸收. 设对于任意 \(x\),有 \(x\times a_i\%\) 单位的光会穿过它,有 \(x\times b_i\%\) 的会被反射回去. 现在 \(n\) 层玻璃叠在一起,有 \(1\) 单位的光打到第 \(1\) 层玻璃上,那么有多少单位的光能穿过所有 \(n\) 层玻璃呢? 输入格式 第一行一个正整数 \(n\),表示玻璃层数.…

Loj #3089. 「BJOI2019」奥术神杖 题目描述 Bezorath 大陆抵抗地灾军团入侵的战争进入了僵持的阶段,世世代代生活在 Bezorath 这片大陆的精灵们开始寻找远古时代诸神遗留的神器,试图借助神器的神秘 力量帮助她们战胜地灾军团. 在付出了惨痛的代价后,精灵们从步步凶险的远古战场取回了一件保存尚完好的神杖.但在经历过那场所有史书都视为禁忌的"诸神黄昏之战"后,神杖上镶嵌的奥术宝石 已经残缺,神力也几乎消耗殆尽.精灵高层在至高会议中决定以举国之力收集残存至今的奥术宝…

Loj #2542. 「PKUWC2018」随机游走 题目描述 给定一棵 \(n\) 个结点的树,你从点 \(x\) 出发,每次等概率随机选择一条与所在点相邻的边走过去. 有 \(Q\) 次询问,每次询问给定一个集合 \(S\),求如果从 \(x\) 出发一直随机游走,直到点集 \(S\) 中所有点都至少经过一次的话,期望游走几步. 特别地,点 \(x\)(即起点)视为一开始就被经过了一次. 答案对 $998244353 $ 取模. 输入格式 第一行三个正整数 \(n,Q,x\). 接下来 \(…