3512: DZY Loves Math IV 题意:求\(\sum_{i=1}^n \sum_{j=1}^m \varphi(ij)\),\(n \le 10^5, m \le 10^9\) n较小,考虑写成前缀和的形式,计算\(S(n,m)=\sum_{i=1}^m \varphi(in)\) 一开始想出 \[ n= \prod_i p_i,\ \varphi(in) = \varphi(i) \cdot \varphi(\frac{n}{d})\cdot d,\ d=(n,i) \] 比较…

题链: http://www.lydsy.com/JudgeOnline/problem.php?id=3512 题解: $$求ANS=\sum_{i=1}^{N}\sum_{j=1}^{M}\phi(ij)\quad N\leq 10^5\;M\leq 10^9$$ 杜教筛 因为N比较小,所以从这里入手: 设$sum(n,M)=\sum_{i=1}^{M}\phi(ni)$ 则答案为$ANS=\sum_{n=1}^{N}sum(n,M)$ 考虑如何求$sum(n,M)$ 首先按照唯一分解定理,…

参考:http://blog.csdn.net/wzf_2000/article/details/54630931 有这样一个显然的结论:当\( |\mu(n)|==1 \)时,\( \phi(nk)=\phi(k)\sum_{d|gcd(n,k)}\phi(\frac{n}{d}) \)然后看n的范围比较友好就先不去管它,先看后面的: \[ if |\mu(i)|==1 \] \[ \sum_{k=1}^{i}\sum_{d|i,d|k}\phi(\frac{n}{d})\phi(k) \]…

Description 给定n,m,求 模10^9+7的值. Input 仅一行,两个整数n,m. Output 仅一行答案. Sample Input 100000 1000000000 Sample Output 857275582 数据规模: 1<=n<=10^5,1<=m<=10^9,本题共4组数据. Solution 这题还真是要一点函数基础 设 \(S(n,m)=\sum_{i=1}^m\varphi(in)\) ,所以答案就是 \(\sum_{i=1}^nS(i,m)…

Description 给定n,m,求 模10^9+7的值. Solution 设 \(S(n,m)\) 表示 \(\sum_{i=1}^{m}\phi(n*i)\) \(Ans=\sum_{i=1}^{n}S(i,m)\) \(S(n,m)=\sum_{i=1}^{m}\phi(n*i)\) 如果 \(\mu(n)!=0\) 则有 \(\sum_{i=1}^{m}\phi(\frac{n}{gcd(i,n)})*\phi(i)*gcd(i,n)\) (因为要保证除完\(gcd\)之后,两数不含…

用mu写lcm那道卡常卡成狗(然而最后也没卡过去,于是写一下gcd冷静一下 首先推一下式子 \[ \sum_{i=1}^{n}\sum_{j=1}^{n}gcd(i,j) \] \[ \sum_{i=1}^{n}\sum_{j=1}^{n}\sum_{d=1}^{n}[gcd(i,j)==d]d \] \[ \sum_{d=1}^{n}d\sum_{i=1}^{n}\sum_{j=1}^{n}[gcd(i,j)==d] \] \[ \sum_{d=1}^{n}d\sum_{i=1}^{\left…

https://www.cnblogs.com/zwfymqz/p/9332753.html 由于欧拉函数是积性函数,可以用乘法分配律变成对每个质因子分开算最后乘起来.再由欧拉函数公式和分配律发现就是等比数列求和问题,特判下1的问题就好了. #include<cstdio> #include<algorithm> #define rep(i,l,r) for (int i=(l); i<=(r); i++) typedef long long ll; using namesp…

题目描述 给定n个正整数a1,a2,…,an,求 的值(答案模10^9+7). 输入 第一行一个正整数n. 接下来n行,每行一个正整数,分别为a1,a2,…,an. 输出 仅一行答案. 样例输入 3 6 10 15 样例输出 1595 题解 欧拉函数 由于 $\varphi$ 是积性函数,所以可以单独考虑每个质因子的贡献. 那么对于最终的 $a=i_1i_2\dots i_n$ ,若其包含 $p^c\ ,\ c>0$ ,则贡献为 $\frac{p-1}{p}·p^c$ .因此求出 $p^c$ 的…

[BZOJ3512]DZY Loves Math IV(杜教筛) 题面 BZOJ 求 \[\sum_{i=1}^n\sum_{j=1}^m\varphi(ij)\] 其中\(n\le 10^5,m\le 10^9\). 题解 这个数据范围很有意思. \(n\)的值足够小,所以我们可以直接暴力枚举\(n\). 那么所求: \[S(n,m)=\sum_{i=1}^m\varphi(ni)\] 考虑如何将\(\varphi\)给拆开,因为\(\varphi\)只有每个质因子第一次出现的时候才会特殊计算…

题链: http://www.lydsy.com/JudgeOnline/problem.php?id=3309 题解: 莫比乌斯反演,线筛 化一化式子: f(x)表示x的质因子分解中的最大幂指数 $\sum_{i=1}^n \sum_{j=1}^m f(gcd(i,j))$ $\quad\quad=\sum_{g=1}^{n}f(g)\sum_{d=1}^{\lfloor \frac{n}{g} \rfloor} \mu(d)\lfloor \frac{n}{gd} \rfloor\lfloo…

BZOJ 3561 DZY Loves Math VI 求\(\sum_{i=1}^{n}\sum_{j=1}^{m}\text{lcm}(i,j)^{\gcd(i,j)}\),钦定\(n\leq m\) \(\sum_{i=1}^{n}\sum_{j=1}^{m}(\frac{ij}{{\gcd(i,j)}})^{\gcd(i,j)}\) 按套路,提出\(\gcd(i,j)\),枚举的\(i\),\(j\)都除\(g\) \(\sum_{g=1}^ng^g\sum_{i=1}^{n/g}\su…

[BZOJ4805]欧拉函数求和(杜教筛) 题面 BZOJ 题解 好久没写过了 正好看见了顺手切一下 令\[S(n)=\sum_{i=1}^n\varphi(i)\] 设存在的某个积性函数\(g(x)\) \[(g*\varphi)(i)=\sum_{d|i}g(d)\varphi(\frac{i}{d})\] \[\sum_{i=1}^n(g*\varphi(i))(i)\] \[=\sum_{i=1}^n\sum_{d|i}g(d)\varphi(\frac{i}{d})\] \[=\sum…

[BZOJ 3930] [CQOI 2015]选数(莫比乌斯反演+杜教筛) 题面 我们知道,从区间\([L,R]\)(L和R为整数)中选取N个整数,总共有\((R-L+1)^N\)种方案.求最大公约数刚好为K的选取方案有多少个.由于方案数较大,你只需要输出其除以1000000007的余数即可. \[N,K,L,H \leq 10^9,H-L \leq 10^5\] 分析 \(\because \gcd(ka,kb)=k\gcd(a,b)\),我们先把\(L,R\)除以\(K\),然后问题就变成了…

3309: DZY Loves Math Time Limit: 20 Sec  Memory Limit: 512 MBSubmit: 761  Solved: 401[Submit][Status][Discuss] Description 对于正整数n,定义f(n)为n所含质因子的最大幂指数.例如f(1960)=f(2^3 * 5^1 * 7^2)=3, f(10007)=1, f(1)=0.给定正整数a,b,求sigma(sigma(f(gcd(i,j)))) (i=1..a, j=1.…

DZY Loves Math Time Limit: 20 Sec  Memory Limit: 512 MBSubmit: 1303  Solved: 819[Submit][Status][Discuss] Description 对于正整数n,定义f(n)为n所含质因子的最大幂指数.例如f(1960)=f(2^3 * 5^1 * 7^2)=3, f(10007)=1, f(1)=0.给定正整数a,b,求sigma(sigma(f(gcd(i,j)))) (i=1..a, j=1..b).…

3462: DZY Loves Math II Time Limit: 20 Sec  Memory Limit: 512 MBSubmit: 211  Solved: 103[Submit][Status][Discuss] Description Input 第一行,两个正整数 S 和 q,q 表示询问数量.接下来 q 行,每行一个正整数 n. Output 输出共 q 行,分别为每个询问的答案. Sample Input 30 3 9 29 1000000000000000000 Samp…

给定n个正整数a1,a2,…,an,求 的值(答案模10^9+7). Input 第一行一个正整数n. 接下来n行,每行一个正整数,分别为a1,a2,…,an. Output 仅一行答案. Sample Input 3 6 10 15 Sample Output 1595 Hint 1<=n<=10^5,1<=ai<=10^7.共3组数据. 题目大意 (题目过于简洁,完全不需要大意) 题目虽然很简洁,但是处处挖着坑等你跳. 原计划两个小时把今天讲的例题A完,实际上两个小时都被这道题…

解:这又是什么神仙毒瘤题...... 我直接把后面那个phi用phi * I = id反演一波,得到个式子,然后推不动了...... 实际上第一步我就大错特错了.考虑到n很小,我们有 然后计算S,我们根据欧拉函数的性质有: 于是只考虑n sqr free的情况. 到这里有两种解法,一种是暴力递归. 考虑n的一个因子p,我们先提取出前面那一项,但是这还不够.因为当p|i的时候应该提出来p = phi[p] + 1. 于是我们在后面补上.令i = pt,就有了递归式. #include <cstdi…

[题目链接] https://www.51nod.com/onlineJudge/questionCode.html#!problemId=1239 [题目大意] 计算欧拉函数的前缀和 [题解] 我们知道积性函数∑(phi(d))=n(d|n) 所以∑∑(miu(d))=n*(n+1)/2(d|i){i=1}^{n} 因此我们得到F(n)=n*(n+1)/2-∑F(n/d){d=2}^{n} 同时用hash记忆化phi函数的前缀和 [代码] #include <cstdio> #include…

Description 给定n,m,求\(\sum_{i=1}^{n}\sum_{j=1}^{m}\varphi(ij)\)模10^9+7的值. Input 仅一行,两个整数n,m. Output 仅一行答案. Sample Input 100000 1000000000 Sample Output 857275582 数据规模 1<=n<=10^5,1<=m<=10^9. sol %%%ranwen!!! 前置技能: \(n=\sum_{d|n}\varphi(d)\) \(\v…

题意:\(f(n)\)为n的质因子分解中的最大幂指数,求\(\sum_{i=1}^n \sum_{j=1}^m f(gcd(i,j))\) 套路推♂倒 \[ \sum_{D=1}^n \sum_{d|D} f(d)\mu(\frac{D}{d}) \frac{n}{D} \frac{m}{D} \] 这次函数是\(g = (f*\mu )\),\(f\)显然不是积性函数,但我们照样可以用线性筛 具体做法我晚上回家再补吧草稿纸忘带了... 补: \(g(p^a)=p-(p-1)\) 因为卷了\(\…

题链: http://www.lydsy.com/JudgeOnline/problem.php?id=3561 题解: 莫比乌斯反演 $$\begin{aligned}ANS&=\sum_{i=1}^{n}\sum_{j=1}^{m}lcm(i,j)^{gcd(i,j)}\\&=\sum_{g=1}^{min(n,m)}\sum_{i=1}^{\frac{n}{g}}\sum_{j=1}^{\frac{m}{g}}g^gi^gj^g[gcd(i,j)==1]\\&=\sum_{g…

对于正整数n,定义f(n)为n所含质因子的最大幂指数.例如f(1960)=f(2^3 * 5^1 * 7^2)=3, f(10007)=1, f(1)=0.给定正整数a,b,求: $$\sum_{i=1}^{i<=a}\sum_{j=1}^{j<=b}f(gcd(i,j))$$ bzojP3309 http://www.lydsy.com/JudgeOnline/problem.php?id=3309 化式子: $$\sum_{i=1}^{i<=a}\sum_{j=1}^{j<=b…

注意到n很小,考虑枚举i.现在要求的是f(n,m)=Σφ(in) (i=1~m).显然当n没有平方因子时,φ(in)=φ(i)·φ(n/gcd(i,n))·gcd(i,n).利用φ*1=id又可得φ(i,n)=φ(i)·Σφ(n/d) (d|gcd(i,n)).改为枚举d就可以得到f(n,m)=Σφ(n/d)*f(d,m/d) (d|n),记忆化搜索求解.n有平方因子时可以发现只要把平方因子提出来最后再乘上就行了,除去平方因子的数可以线性筛得到. 当n=1时无法继续递归,答案即为φ的前缀和,杜教…

传送门 Sol 好神仙的题目.. 一开始就直接莫比乌斯反演然后就 \(GG\) 了 orz 题解 permui 枚举 \(n\),就是求 \(\sum_{i=1}^{n}S(i,m)\) 其中\(S(n,m)=\sum _{i=1}^m\varphi (ni)\) 设 \(n=\prod_{i}p_i^{c_i}\) 设 \(y=\prod _{i=1} p_i^{c_i-1}\),\(w=\prod _{i=1}p_j\) 那么 \[ \begin{aligned} S(n,m)&=y\sum…

好题. 首先发现$p$是互质的数. 然后我们要求$\sum_{i=1}^{k} pi*xi=n$的方案数. 然后由于$p$不相同,可以而$S$比较小,都是$S$的质因数 可以考虑围绕$S$进行动态规划. 然后发现有时候许多情况是多余的.因为一整个$S$只能由一些相同的$p$组合而成. 所以这些部分可以用组合数计算,剩下的部分可以用背包处理出来. 需要滚动数组,而且需要前缀和转移. #include <cmath> #include <cstdio> #include <cst…

题目:https://www.lydsy.com/JudgeOnline/problem.php?id=3481 推推式子发现:令Q=gcd(P,Q),ans=Σ(d|Q) d*phi(P/d).把 d 质因数分解,设 t 为 Q 的指数, w 为 P 的指数,ans变成每个质数的 Σ(i=0~t) p^i * phi( p^(w-i) ) 连乘. 分解质因数用 Pollar Rho . 注意 Q=0 就是 Q=P,要特判!而且不要以为答案变成  (!x || !y) 了! d从0到P-1 就是…

题目:https://www.lydsy.com/JudgeOnline/problem.php?id=3309 像这种数据范围,一般是线性预处理,每个询问 sqrt (数论分块)做. 先反演一番.然后 f( ) 还不能一个就花 log 的时间,所以要分析性质. 设 n 一共 m 个质因数,其中最大的指数是 t . 已有 Σ(d|n) f(d)*u(n/d) ,如果 u( ) 的部分含有指数>=2的质因子,就无贡献:所以 u( ) 里每种质因数选1个或0个,一共 2^m 种. 如果 n 里有一个…

枚举$d=gcd(i,j)$ 然后大力反演 ——来自Popoqqq的博客. 然后大力讨论后面的函数的意义即可. http://blog.csdn.net/popoqqq/article/details/42122413 #include <cstdio> #include <cstring> #include <iostream> #include <algorithm> using namespace std; #define F(i,j,k) for (…

题目:https://www.lydsy.com/JudgeOnline/problem.php?id=3481 推式子:xy % P = Q 的个数 由于 0 <= x,y < P,所以对于一个固定的 x,如果 (x,P) | Q,则有 (x,P) 个解: 所以个数为 ∑(0 <= x < P ) (x,P) * [ (x,P) | Q ]  ( [...] 表示 ... 为真则为1,否则为0) = ∑( d|P, d|Q ) d * φ( P/d ) 令 Q = (P,Q),则…