本文,意在说明<统计学习方法>第九章EM算法的三硬币例子,公式(9.5-9.6如何而来) 下面是(公式9.5-9.8)的说明, 本人水平有限,怀着分享学习的态度发表此文,欢迎大家批评,交流.感谢您的阅读.欢迎转载本文,转载时请附上本文地址:http://www.cnblogs.com/Dzhouqi/p/3203776.html另外:欢迎访问我的博客 http://www.cnblogs.com/Dzhouqi/…

  EM算法是一种迭代算法,是一种用于计算包含隐变量概率模型的最大似然估计方法,或极大后验概率.EM即expectation maximization,期望最大化算法. 1. 极大似然估计   在概率模型中,若已知事件服从的分布或者其他概率模型的参数,那么我们可以通过计算得到某事件发生的概率.而在估计中,这些变成了方向过程:已知一组数据发生的结果,相当于获得了经验概率,通过这组数据假设模型服从什么分布,再通过经验概率求解模型参数.   比如统计学校学生身高服从的概率分布,抽样1000人得到他们的…

作者:桂. 时间:2017-05-13  14:19:14 链接:http://www.cnblogs.com/xingshansi/p/6847334.html . 前言 内容主要是CART算法的学习笔记. CART算法是一个二叉树问题,即总是有两种选择,而不像之前的ID3以及C4.5B可能有多种选择.CART算法主要有回归树和分类树,二者常用的准则略有差别:回归树是拟合问题,更关心拟合效果的好坏,此处用的是均方误差准则; 分类树是分类问题,更像是离散变量的概率估计,用与熵类似的Gini系数进…

高斯混合模型 混合模型,顾名思义就是几个概率分布密度混合在一起,而高斯混合模型是最常见的混合模型: GMM,全称 Gaussian Mixture Model,中文名高斯混合模型,也就是由多个高斯分布混合起来的模型: 概率密度函数为 K 表示高斯分布的个数,αk 表示每个高斯分布的系数,αk>0,并且 Σαk=1, Ø(y|θk) 表示每个高斯分布,θk 表示每个高斯分布的参数,θk=(uk,σk2): 举个例子 男人和女人的身高都服从各自的高斯分布,把男人女人混在一起,那他们的身高就服从高斯混…

EM算法是一种迭代算法,用于含有隐变量(hidden variable)的概率模型参数的极大似然估计,或极大后验概率估计.EM算法的每次迭代由两步组成:E步,求期望(expectation):M步,求极大(Maximization). EM算法的引入 给一些观察数据,可以使用极大似然估计法,或贝叶斯估计法估计模型参数.但是当模型含有隐变量时,就不能简单地使用这些方法.有些时候,参数的极大似然估计问题没有解析解,只能通过迭代的方法求解,EM算法就是可以用于求解这个问题的一种迭代算法. EM算法 输…

K近邻法(K-nearest neighbor,k-NN),这里只讨论基于knn的分类问题,1968年由Cover和Hart提出,属于判别模型 K近邻法不具有显式的学习过程,算法比较简单,每次分类都是根据训练集中k个最近邻,通过多数表决的方式进行预测.所以模型需要保留所有训练集数据,而象感知机这样的模型只需要保存训练后的参数即可,训练集不需要保留 K近邻算法 K近邻法三要素 和其他统计学习方法不同的,K近邻法的三要素是,k值的选择,距离度量和分类决策规则 距离度量 首先如何定义"近"?…

EM 算法所面对的问题跟之前的不一样,要复杂一些. EM 算法所用的概率模型,既含有观测变量,又含有隐变量.如果概率模型的变量都是观测变量,那么给定数据,可以直接用极大似然估计法,或贝叶斯估计法来估计模型参数,但是,当模型含有隐变量时,情况就复杂一些,相当于一个双层的概率模型,要估计出两层的模型参数,就需要换种方法求解.EM 算法是通过迭代的方法求解. 监督学习是由训练数据 {(x(1),y(1)),(x(2),y(2)),...,(x(m),y(m))} 学习条件概率分布 P(Y|X) 或决策…

k近邻法(k-nearest neighbor,k-NN) 输入:实例的特征向量,对应于特征空间的点:输出:实例的类别,可以取多类. 分类时,根据其k个最近邻的训练实例的类别,通过多数表决等方式进行预测. 实例类别已定,不具有显式的学习过程.k近邻法实际上利用训练数据集对特征 向量空间进行划分,并作为其分类的"模型". 三个基本要素:k值的选择.距离度量及分类决策规则.   KDtree 实现k近邻法时,主要考虑的问题是如何对训练数据进行快速k近邻搜索. k近邻法最简单的实现方法是线性…

KNN算法 基本模型:给定一个训练数据集,对新的输入实例,在训练数据集中找到与该实例最邻近的k个实例.这k个实例的多数属于某个类,就把输入实例分为这个类. KNN没有显式的学习过程. KNN使用的模型实际上对应于特征空间的划分.特征空间中,对每个训练实例点\(x_i\),距离该点比其它点更近的所有点组成一个区域,叫作单元(cell).每个训练实例拥有一个单元.所有的训练实例点的单元构成对特征空间的一个划分.如下图所示. 三要素:KNN模型由三个基本要素--距离度量,K值选择,分类决策决定.当三要…

AdaBoost算法 基本思想是,对于一个复杂的问题,单独用一个分类算法判断比较困难,那么我们就用一组分类器来进行综合判断,得到结果,"三个臭皮匠顶一个诸葛亮" 专业的说法, 强可学习(strongly learnable),存在一个多项式算法可以学习,并且准确率很高 弱可学习(weakly learnable),存在一个多项式算法可以学习,但准确率略高于随机猜测 并且可以证明强可学习和弱可学习是等价的 那么发现一个弱可学习算法是很容易的,如果将弱可学习算法boosting到强可学习算…

logistic distribution 设X是连续随机变量,X服从逻辑斯谛分布是指X具有下列分布函数和密度函数: 式中,μ为位置参数,γ>0为形状参数. 密度函数是脉冲函数 分布函数是一条Sigmoid曲线(sigmoid curve)即为阶跃函数     二项逻辑斯谛回归模型 二项逻辑斯谛回归模型是如下的条件概率分布 x∊Rn是输入,Y∊{0,1}是输出,w∊Rn和b∊R是参数, w称为权值向量,b称为偏置,w·x为w和x的内积. 可以求得P(Y＝1|x)和P(Y＝0|x). 逻辑斯谛回归…

namedtuple 不必再通过索引值进行访问,你可以把它看做一个字典通过名字进行访问,只不过其中的值是不能改变的. sorted()适用于任何可迭代容器,list.sort()仅支持list(本身就是list的一个方法) np.linalg.norm(求范数) 1.linalg=linear(线性)+algebra(代数),norm则表示范数. 2.函数参数 x_norm=np.linalg.norm(x, ord=None, axis=None, keepdims=False) ①x: 表示…

本系列笔记内容参考来源为李航<统计学习方法> EM算法是一种迭代算法,用于含有隐变量的概率模型参数的极大似然估计或极大后验概率估计.迭代由 (1)E步:求期望 (2)M步:求极大 组成,称为期望极大算法. EM算法引入 EM算法是通过不断求解下界的极大化逼近求解对数似然函数极大化的算法. EM在监督学习中的应用 收敛性 EM算法在高斯混合模型学习中的应用 高斯混合模型 高斯混合模型参数估计的EM算法 EM算法的推广 EM算法还可解释为F函数的极大-极大算法,基于这个解释有若干变形与推广. 首先…

注:本文是对<统计学习方法>EM算法的一个简单总结. 1. 什么是EM算法? 引用书上的话: 概率模型有时既含有观测变量,又含有隐变量或者潜在变量.如果概率模型的变量都是观测变量,可以直接使用极大似然估计法或者贝叶斯的方法进行估计模型参数,但是当模型含有隐藏变量时,就不能简单使用这些方法了.EM算法就是含有隐变量的概率模型参数的极大似然估计法,或者极大似然后验概率估计法. 2. EM 算法的一个小例子:三硬币模型 假设有3枚硬币,记作A,B,C.这些硬币的正面出现的概率分别为\(\pi\).\…

# coding:utf-8 import numpy as np def qq(y,alpha,mu,sigma,K,gama):#计算Q函数 gsum=[] n=len(y) for k in range(K): gsum.append(np.sum([gama[j,k] for j in range(n)])) return np.sum([g*np.log(ak) for g,ak in zip(gsum,alpha)])+\ np.sum([[np.sum(gama[j,k]*(np.…

EM算法也称期望最大化(Expectation-Maximum,简称EM)算法,它是一个基础算法,是很多机器学习领域的基础,比如隐式马尔科夫算法(HMM),LDA主题模型的变分推断算法等等.本文对于EM算法,我们主要从以下三个方向学习: 1,最大似然 2,EM算法思想及其推导 3,GMM(高斯混合模型) 1,最大似然概率 我们经常会从样本观察数据中,找到样本的模型参数.最常用的方法就是极大化模型分布的对数似然函数.怎么理解呢?下面看我一一道来. 假设我们需要调查我们学习的男生和女生的身高分布.你…

EM算法 各类估计 最大似然估计 Maximum Likelihood Estimation,最大似然估计,即利用已知的样本结果,反推最有可能(最大概率)导致这样结果的参数值的计算过程. 直白来讲,就是给定了一定的数据,假定知道数据是从某种分布中随机抽取出来的,但是不知道这个分布具体的参数值,即:模型已知,参数未知,而MLE就是用来估计模型的参数. MLE的目标是找出一组参数(模型中的参数),使得模型产出观察数据的概率最大. \[arg~max_θP(X;θ) \] MLE求解过程 写出似然函数…

EM也称期望极大算法(Expectation Maximization),是一种用来对含有隐含变量的概率模型进行极大似然估计的迭代算法.该算法可应用于隐马尔科夫模型的参数估计. 1.含有隐含参数的概率模型举例? 三硬币模型:A.B.C三枚硬币,这些硬币投出正面的概率分别为π.p.q.进行如下硬币实验,先投硬币A,如果为正面则投硬币B,如果为反面则投硬币C.最终出现的正面则记为1,出现反面则记为0:独立的重复n次实验(取n=10),出现的结果如下: {1,1,0,1,0,1,0,1,1} 假设只能…

最近接触了pLSA模型,该模型需要使用期望最大化(Expectation Maximization)算法求解. 本文简述了以下内容: 为什么需要EM算法 EM算法的推导与流程 EM算法的收敛性定理 使用EM算法求解三硬币模型 为什么需要EM算法 数理统计的基本问题就是根据样本所提供的信息,对总体的分布或者分布的数字特征作出统计推断.所谓总体,就是一个具有确定分布的随机变量,来自总体的每一个iid样本都是一个与总体有相同分布的随机变量. 参数估计是指这样一类问题——总体所服从的分布类型已知,但某些…

本系列笔记内容参考来源为李航<统计学习方法> k近邻是一种基本分类与回归方法,书中只讨论分类情况.输入为实例的特征向量,输出为实例的类别.k值的选择.距离度量及分类决策规则是k近邻法的三个基本要素. k近邻算法 给定一个训练数据集,对新的输入实例,在训练数据集中找到与该实例最邻近的k个实例,这k个实例的多数属于某个类,就把该输入实例分为这个类. k近邻法没有显示的学习过程. k近邻模型 距离度量 一般为欧式距离,Lp距离.Minkowski距离等 由不同的距离度量所确定的最近邻点是不同的. 式…

EM算法与高斯混合模型 前言 EM算法是一种用于含有隐变量的概率模型参数的极大似然估计的迭代算法.如果给定的概率模型的变量都是可观测变量,那么给定观测数据后,就可以根据极大似然估计来求出模型的参数,比如我们假设抛硬币的正面朝上的概率为p(相当于我们假设了概率模型),然后根据n次抛硬币的结果就可以估计出p的值,这种概率模型没有隐变量,而书中的三个硬币的问题(先抛A然后根据A的结果决定继续抛B还是C),这种问题中A的结果就是隐变量,我们只有最后一个硬币的结果,其中的隐变量无法观测,所以这种无法直接根…

一.EM算法是什么? EM算法是一种迭代算法,用于含有隐变量的概率模型参数的极大似然估计. 作用:简单直白的说,估计参数 是一种生成模型 (1)用在概率模型中 (2)含有隐变量 (3)用极大似然估计方法估计参数 个人理解,概率模型中的一些参数,通常是一些概率: (1)如果概率模型中的变量全部可观测,那可以统计各个变量出现的次数,然后可以求取频率,用频率估计概率 (2)如果概率模型中存在着不可观测的隐变量,直接求频率可能会不可行,此时采用EM算法来求取参数. 按照什么标准极大化参数呢? 用Y表示观…

似然函数 常说的概率是指给定参数后,预测即将发生的事件的可能性.拿硬币这个例子来说,我们已知一枚均匀硬币的正反面概率分别是0.5,要预测抛两次硬币,硬币都朝上的概率: H代表Head,表示头朝上 p(HH | pH = 0.5) = 0.5*0.5 = 0.25. 这种写法其实有点误导,后面的这个p其实是作为参数存在的,而不是一个随机变量,因此不能算作是条件概率,更靠谱的写法应该是 p(HH;p=0.5). 而似然概率正好与这个过程相反,我们关注的量不再是事件的发生概率,而是已知发生了某些事件,…

转载请注明出处: http://www.cnblogs.com/gufeiyang 首先考虑这么一个问题.操场东边有100个男生,他们的身高符合高斯分布.操场西边有100个女生,她们的身高也符合高斯分布. 如果告诉了男生的身高,我们很容易用极大似然估计求出正态分布的参数. 同理,给出了女生的身高,我们也很容易得到高斯分布的参数. 接下来事情发生了, 男生跑入女生队伍中, 然后统计了200个人的身高,但是却不知道每个身高是男的还是女生的. 这样的话就很纠结了. 如果我们要是知道了每个人的性别改多好…

极大似然估计,只是一种概率论在统计学的应用,它是参数估计的方法之一.说的是已知某个随机样本满足某种概率分布,但是其中具体的参数不清楚,参数估计就是通过若干次试验,观察其结果,利用结果推出参数的大概值.最大似然估计是建立在这样的思想上:已知某个参数能使这个样本出现的概率最大,我们当然不会再去选择其他小概率的样本,所以干脆就把这个参数作为估计的真实值.      我们先来假设这样一个问题:要求解人群(100人)中男女身高的分布,这里很明显有两种分布,男和女,但是事先我们并不知道他们服从哪种分布,而且…

最近感觉对EM算法有一点遗忘,在表述的时候,还是有一点说不清,于是重新去看了这篇<CS229 Lecture notes>笔记. 于是有了这篇小札. 关于Jensen's inequality不等式: Corollary(推论): 如果函数f(x)为凸函数,那么在 f(x) 上任意两点X1,X2所作割线一定在这两点间的函数图象的上方,即:    其中t表示[x1,x2]的位置 举例子: 当t=1/2 ;  1/2*f(x1) + 1/2*f(x2) >= f( 1/2*x1 + 1/2*…

统计学习方法与Python实现(三)——朴素贝叶斯法 iwehdio的博客园:https://www.cnblogs.com/iwehdio/ 1.定义 朴素贝叶斯法是基于贝叶斯定理与特征条件独立假设的分类方法. 对于给定的训练数据集,首先基于特征条件独立假设学习输入输出的联合概率分布.然后基于此模型,对给定的输入x,利用贝叶斯定理求出后验概率最大的输出y,从而进行决策分类. 朴素贝叶斯法学习到的是生成数据的机制,属于生成模型. 设Ω为试验E的样本空间,A为E的事件,B1~Bn为Ω的一个划分,则…

<统计学习方法>极简笔记P4:朴素贝叶斯公式推导 朴素贝叶斯基本方法 通过训练数据集 T={(x_1,y_1),(x_2,y_2),(x_N,y_N)...,(x_1,y_1)} 学习联合概率分布P(X,Y),即学习先验概率分布 P(Y=c_k) 条件概率分布$P(X=x|Y=c_k)$ $k=1,2,...,K$ 假设条件独立 $P(X=x|Y=c_k)=\prod_{j=1}^{n}P(X^{(j)}=x^{(j)}|Y=c_k)$ 然后根据学习到的模型计算后验概率分布,根据贝叶斯定理 $…

最近阅读了李航的<统计学习方法(第二版)>,对AdaBoost算法进行了学习. 在第八章的8.1.3小节中,举了一个具体的算法计算实例.美中不足的是书上只给出了数值解,这里用代码将它实现一下,算作一个课后作业. 一.算法简述 Adaboost算法最终输出一个全局分类模型,由多个基本分类模型组成,每个分类模型有一定的权重,用于表示该基本分类模型的可信度.最终根据各基本分类模型的预测结果乘以其权重,通过表决来生成最终的预测(分类)结果. AdaBoost算法的训练流程图如下: AdaBoost在训…

EM算法 作者:樱花猪   摘要: 本文为七月算法(julyedu.com)12月机器学习第十次次课在线笔记.EM算法全称为Expectation Maximization Algorithm,既最大期望算法.它是一种迭代的算法,用于含有隐变量的概率参数模型的最大似然估计和极大后验概率估计.EM算法经常用于机器学习和机器视觉的聚类领域,是一个非常重要的算法.而EM算法本身从使用上来讲并不算难,但是如果需要真正的理解则需要许多知识的相互串联. 引言:      EM算法是机器学习十大经典算法之一.…