题目大意 给你一个\(n\)个点\(m\)条边的无向图(可能有重边),对于这个图的边集的子集(一共有\(2^m\)个),如果其导出的子图的每个联通块内都存在欧拉回路,我们就把答案加上这个子图的边数的平方,答案对\({10}^9+7\)取模. \(n,m\leq 200000\) 题解 先求出这个图的DFS树. 记\(c\)为这个图的联通块个数. 通过观察发现,如果非树边任意选,那么确定非树边之后树边只有一种选择方案(从下往上做一遍树形DP可以得到方案). 所以选择方案是\(2^{m-n+c}\)…

首先还是类似于无标号无向图计数那样,考虑点的置换带动边的置换,一定构成单射,根据 Burnside 引理: \[|X / G| = \frac{1}{|G|}\sum\limits_{g \in G} |X ^ g| \] 于是我们只需要考虑每个(点)置换下边置换的不动点(要求使得每个点度数为偶数)即可,有如下观察: 对于两个点循环置换 \(C_1, C_2\) 边在 \(C_1\) 导出子图中的边依然置换到导出子图内,对于其他循环置换同理:对于 \(C_1, C_2\) 之间的边,置换后任然在…

题意:好多木棒,俩端有数字(0--6)标记,按数字相同的端首尾相连成一条直线(木棒可以相同).即求有重边的无向图欧拉迹. 先判定是否为欧拉图,俩个条件,不说了.如果是欧拉图,输出路经. 方法:dfs遍历边,回溯时候记录边,遍历过了就标记"双向边". 那么所记录的恰好是一条逆欧拉迹.不可以前进的时候标记,原因:有可能一笔画失败,导致边不连续, 而回溯的时候记录,原因较复杂,大致证明如下: 分几种情况讨论即可: 1,只有偶数结点.任选一个点,必然从一条出发回到该点,直到无边为止,回溯时边自…

链接:http://poj.org/problem?id=1300 题意:有n个房间.每一个房间有若干个门和别的房间相连.管家从m房间開始走.要回到自己的住处(0),问是否有一条路能够走遍全部的门而且没有反复的路. 无向图欧拉通路充要条件:G为连通图,而且G仅有两个奇度结点(度数为奇数的顶点)或者无奇度结点. 无向图欧拉回路充要条件:G为无奇度结点的连通图. 思路:推断是否存在欧拉通路.依据欧拉通路.欧拉回路的性质来做.有两种情况:一种是欧拉回路.全部房间的门的个数都是偶数个,而且此时初始房间不…

[BZOJ4173]数学 Description Input 输入文件的第一行输入两个正整数 . Output 如题 Sample Input 5 6 Sample Output 240 HINT N,M<=10^15 题解:STEP 1: 这步还是很容易的吧~毕竟原来的式子不太舒服.但是注意,最后一个式子的取值只能为0或1,所以就变成了. STEP 2: 这步倒是难理解一些,但是考虑:我们将这三个等式都算出来,如果满足了左边那个条件,那么这三个等式加起来为1,对答案的贡献正好为$\varphi…

题意:给定一个数 n,问你0<= a <=n, 0 <= b <= n,有多少个不同的最简分数. 析:这是一个欧拉函数题,由于当时背不过模板,又不让看书,我就暴力了一下,竟然AC了,才2s,题目是给了3s,很明显是由前面递推,前面成立的,后面的也成立, 只要判定第 i 个有几个,再加前 i-1 个就好,第 i 个就是判断与第 i 个互质的数有多少,这就是欧拉函数了. 代码如下: 这是欧拉函数的. #pragma comment(linker, "/STACK:102400…

欧拉函数总结+证明 欧拉函数总结2 POJ 1284 原根 #include<iostream> #include<cstdio> #include<cstring> #include<algorithm> #include<cmath> using namespace std; int Euler(int n) { int res=n; ;i*i<=n;i++) { ) { n/=i; res-=(res/i); ) n/=i; } }…

题目描述  BG 有一块细长的蛋糕,长度为 n. 有一些人要来 BG 家里吃蛋糕, BG 把蛋糕切成了若干块(整数长度),然后分给这些人. 为了公平,每个人得到的蛋糕长度和必须相等,且必须是连续的一段. 但是, BG 并不知道要有多少人来. 他只知道, 来的人数为n的约数,且小于n. 显然把蛋糕平均分成 n 块一定能满足要求.但是, BG 想要分出的块数尽量少.现在 BG 想知道,他要把蛋糕分成至少多少块,才能使得不管多少人来都能满足要求. 输入格式 输入文件名为 cake.in. 输入共一个整…

Given the value of N, you will have to find the value of G. The definition of G is given below:G =i<N∑i=1j∑≤Nj=i+1GCD(i, j)Here GCD(i, j) means the greatest common divisor of integer i and integer j.For those who have trouble understanding summation no…

Exponial 题目 http://exam.upc.edu.cn/problem.php?cid=1512&pid=4 欧拉降幂定理:当b>phi(p)时,有a^b%p = a^(b%phi(p)+phi(p))%p 这题做的难受....看到题目我就猜到肯定用到欧拉降幂,然后就毫无目的地找规律.然后发现不同地取欧拉函数会变成0,然后内心毫无波动.....可能不怎么会递归 思路:当n>=6时,欧拉降幂定理一定适用,因为f(5)>1e9,也就是一定有欧拉降幂定理的b>phi…