解决涉及子集配凑的卷积问题 一.介绍 1.基本用法 FWT快速沃尔什变换学习笔记 就是解决一类问题: $f[k]=\sum_{i\oplus j=k}a[i]*b[j]$ 基本思想和FFT类似. 首先转化成为另一个多项式$FWT(A),FWT(B)$ 使得:$FWT(A\oplus B)=FWT(A)×FWT(B)$ 这里,$×$是按位乘.这个是$O(n)$的. 然后,再$IFWT$回去即可. 类似于,直接过马路不好走.先从左边走上一座天桥,再从天桥走过去,再到马路右侧走下天桥. 就变成了$O(…

FWT快速沃尔什变换学习笔记 1.FWT用来干啥啊 回忆一下多项式的卷积\(C_k=\sum_{i+j=k}A_i*B_j\) 我们可以用\(FFT\)来做. 甚至在一些特殊情况下,我们\(C_k=\sum_{i*j=k}A_i*B_j\)也能做(SDOI2015 序列统计). 但是,如果我们把操作符换一下呢? 比如这样? \(C_k=\sum_{i|j=k}A_i*B_j\) \(C_k=\sum_{i\&j=k}A_i*B_j\) \(C_k=\sum_{i\wedge j=k}A_i*B_…

其实FWT我啥都不会,反正就是记一波结论,记住就好-- 具体证明的话,推荐博客:FWT快速沃尔什变换学习笔记 现有一些卷积,形如 \(C_k=\sum\limits_{i\lor j=k}A_i*B_j\) \(C_k=\sum\limits_{i\land j=k}A_i*B_j\) \(C_k=\sum\limits_{i\oplus j=k}A_i*B_j\) 然后普通的FFT肯定应付不了这玩意,于是就有了FWT(快速沃尔什变换),然后我就直接写结论好了-- FWT--Or卷积 我们把多项…

Django RF:学习笔记(8)——快速开始 安装配置 1.使用Pip安装Django REST Framework: pip install djangorestframework 2.在Setting中配置 INSTALLED_APPS: 3.最后同步数据库 APIView APIView继承自View,并对其进行了包装成高阶Request.Request中传入了更多参数,如权限认证. 我接着在API View 执行initial函数时,会对request进行验证,确保来访的请求是被允许的…

先要学会FFT[学习笔记]FFT——快速傅里叶变换 一.简介 FFT会爆精度.而且浮点数相乘常数比取模还大. 然后NTT横空出世了 虽然单位根是个好东西.但是,我们还有更好的东西 我们先选择一个模数,$const\space int\space p=998244353$ 设g为p的单位根.这里就是3 那么有:$(\omega_n^1)^n = g^{p-1}=1\space mod \space p$ 那么,假设$x=(\omega_n^1)$ 其中一个解可以是:$x=g^{\frac{p-1}…

[学习笔记]快速傅里叶变换 学习之前先看懂这个 浅谈范德蒙德(Vandermonde)方阵的逆矩阵的求法以及快速傅里叶变换(FFT)中IDFT的原理--gzy hhh开个玩笑. 讲一下\(FFT\) 的流程,我也不准备长篇大论地分析\(FFT...\) 将系数表示法转换为点值表示法 \(O(n \log n)​\) 对于点值表示法直接进行操作 \(O(n)\) 将点值表示法转换为系数表示法 \(O(n \log n)​\) 这样的流程,最终复杂度是\(O(n \log n)\) 的,现在我们从最…

知识点简单总结--FWT(快速沃尔什变换),FST(快速子集变换) 闲话 博客园的markdown也太傻逼了吧. 快速沃尔什变换 位运算卷积 形如 $ f[ i ] = \sum\limits_{ j \oplus k = i} g[ j ] * h[ k ] $ 的形式的式子. 正常计算是 $ n^{ 2 } $ . 与运算卷积 众所周知有 $ ( i \& j ) == k \longleftrightarrow ( i \& k == k ) \& \& ( j \&…

\(FWT\)--快速沃尔什变化学习笔记 知识点 \(FWT\)就是求两个多项式的位运算卷积.类比\(FFT\),\(FFT\)大多数求的卷积形式为\(c_n=\sum\limits_{i+j=n}a_i*b_j\)的形式.而\(FWT\)则求的卷积形式为\(c_n=\sum\limits_{i\oplus j=n}\),如何做这个玩意呢,我们还是考虑分治.把它分成两个部分,一个部分是\(A_0\),一部分是\(A_1\),分别表示的是最高位为\(0/1\),然后对于与卷积来说\(f(A)=(f…

这是我的第一篇学习笔记,如有差错,请海涵... 目录 引子 卷积形式 算法流程 OR卷积 AND卷积 XOR卷积 模板 引子 首先,考虑这是兔子 数一数,会发现你有一只兔子,现在,我再给你一只兔子 再数一数,会发现什么?没错,你有两只兔子,也就是说,1+1=2! 这就是算数的基本原理了,聪明的你懂了吗? 好,我们可以学FWT了.. 卷积形式 我们回忆一下多项式乘法的式子: 这个可以用FFT或NTT优化到O(nlogn)求出每一个Ci,但不是本章的重点,只是引出卷积的概念: 而FWT主要是解决以下…

FWT能解决什么 有的时候我们会遇到要求一类卷积,如下: Ci=∑j⊕k=iAj∗Bk\large C_i=\sum_{j⊕k=i}A_j*B_kCi​=j⊕k=i∑​Aj​∗Bk​此处乘号为普通乘法,⊕⊕⊕表示一种位运算,如 与 and(&).and(\&).and(&).或 or(∣).or(|).or(∣).异或 xor(xor(xor(^))) LaTeX\Large\LaTeXLATE​X打不了 ^ 啊-qwq FWT思想 首先因为是位运算,所以需要按位分解.又因为是卷积…