三道burnside入门题: Burnside定理主要理解置换群置换后每种不动点的个数,然后n种不动点的染色数总和/n为answer. 对于旋转,旋转i个时不动点为gcd(n,i). 传送门:poj 2409 #include <cstdio> #include <cstring> #include <cmath> #include <algorithm> #include <queue> #include <cstdlib> #de…

http://poj.org/problem?id=1286 题意:有红.绿.蓝三种颜色的n个珠子.要把它们构成一个项链,问有多少种不同的方法.旋转和翻转后同样的属于同一种方法. polya计数. 搜了一篇论文Pólya原理及其应用看了看polya究竟是什么东东.它主要计算所有互异的组合的个数.对置换群还是似懂略懂.用polya定理解决这个问题的关键是找出置换群的个数及哪些置换群,每种置换的循环节数.像这样的不同颜色的珠子构成项链的问题能够把N个珠子看成正N边形. Polya定理:(1)设G是p…

题目:https://www.lydsy.com/JudgeOnline/problem.php?id=1004 http://poj.org/problem?id=2409 学习材料:https://www.cnblogs.com/nietzsche-oier/p/6883880.html https://files-cdn.cnblogs.com/files/HocRiser/Burnside.pdf bzoj 1004:这道题注意考虑单位元的那个置换. 然后用 polya 定理即可.不动点…

我想了想,发现可以证明burnside定理. 置换:n个元素1,2,-,n之间的一个置换表示1被1到n中的某个数a1取代,2被1到n中的某个数a2取代,直到n被1到n中的某个数an取代,且a1,a2,-,an互不相同. 置换群:置换群的元素是置换,运算是置换的连接.例如: 可以验证置换群满足群的四个条件. 重点是这个:│Ek│·│Zk│=│G│    k=1-n 这个我不会证明,但是很好理解:每个不动点都可以找到一个对应的置换,差不多就这个意思. 该公式的一个很重要的研究对象是群的元素个数,有很…

传送门:Gift 题意:由n(n<=1e9)个珍珠构成的项链,珍珠包含幸运数字(有且仅由4或7组成),取区间[L,R]内的数字,相邻的数字不能相同,且旋转得到的相同的数列为一种,为最终能构成多少种项链. 分析:这是我做过的最为综合的一道题目(太渣了),首先数位dp筛选出区间[L,R]内的幸运数字总数,dp[pos]表示非限制条件下还有pos位含有的幸运数字个数,然后记忆化搜索一下,随便乱搞的(直接dfs不知会不会超时,本人做法900+ms险过,应该直接dfs会超时),再不考虑旋转相同的情况,可以…

看这道题时当时觉得懵逼...这玩意完全看不懂啊...什么burnside...难受... 于是去看了点视频和资料,大概懂了置换群和burnside定理,亦步亦趋的懂了别人的代码,然后慢慢的打了出来...高兴的一匹. 回归正题啊,这个题如果大家不懂置换群的概念...是很难看的懂的,M种洗牌,代表了M种置换,加上自己本身一种,构成看M+1种置换,如果一种可以通过任意的洗牌法洗成另一种的看成一类(这就是等价类的定义),问有多少种染色方法??? 这道题很明显嘛,就是算等价类的数目,这个需要用到burns…

Burnside & Pólya (详细内容请参阅<组合数学>或2008年cyx的论文,这里只写一些我学习的时候理解困难的几个点,觉得我SB的请轻鄙视……如果有觉得不科学的地方欢迎留言) Burnside: 我们要证明的是:$$N(G,C)=\frac{1}{|G|} \sum_{f \in G}|C(f)|$$ 难点一:非等价着色数=等价类数目($N(G,C)$),这其实是从等价类的定义来的...因为一个等价类表示着一种与众不同的染色方案,当然有多少个等价类就有多少种非等价染色方案啦…

题目链接 BZOJ1004 题解 burnside定理 在\(m\)个置换下本质不同的染色方案数,等于每种置换下不变的方案数的平均数 记\(L\)为本质不同的染色方案数,\(m\)为置换数,\(f(i)\)为置换\(i\)下不变的方案数,那么 \[L = \frac{1}{m}\sum\limits_{i = 1}^{m} f(i)\] 在一个置换下一个方案不变,当且仅当该置换的任意一个循环节内部颜色相同 记循环节个数为\(c_i\),色数为\(k\)且不限使用,那么该置换下不变的方案数为 \[…

链接:http://poj.org/problem?id=1286 http://poj.org/problem?id=2409 #include <cstdio> #include <iostream> #include <cstring> #include <cmath> #include <algorithm> using namespace std; typedef long long LL; LL P_M( LL a, LL b ) {…

两种置换 旋转:有n种,分别是旋转1个2个--n个,旋转i的循环节数位gcd(i,n) 翻转:分奇偶,对于奇数个,只有一个珠子对一条边的中点,循环节数为n/2+1:对于偶数个,有珠子对珠子和边对边,循环节个数为n/2+1个和n/2个 然后用polya定理即可 #include<iostream> #include<cstdio> using namespace std; long long n,k,ans; long long ksm(long long a,long long b…