题目链接 BZOJ3451 题解 考虑每个点产生的贡献,即为该点在点分树中的深度期望值 由于期望的线性,最后的答案就是每个点贡献之和 对于点对\((i,j)\),考虑\(j\)成为\(i\)祖先的概率,记为\(P(i,j)\) 那么 \[ans = \sum\limits_{i = 1}^{n}\sum\limits_{j = 1}^{n} P(i,j)\] 由于是随机选点,\(i\)到\(j\)路径上所有点第一个被选中的除非是\(j\),否则\(j\)就不是\(i\)的祖先 由于是随机的,所以…

BZOJCH传送门 题目大意:给出一棵树,求对其进行随机点分治的复杂度期望 可以知道一个点的贡献就是其点分树上的深度,也就是这个点在点分树上的祖先数量+1. 根据期望的线性性,考虑一个点对\((x,y)\)在何时\(x\)能够是\(y\)的祖先,那么在\(x\)到\(y\)的路径上的所有点中\(x\)必须要是第一个被选中的点,否则要么点\(y\)变成点\(x\)的祖先,要么点\(x\)和点\(y\)会被分在不同的子树中.那么我们要求的就是\(\sum \frac{1}{dis_{x,y}}\),…

[BZOJ3451]normal 点分治,NTT 好久没更博了,咕咕咕. BZOJ3451权限题,上darkbzoj交吧. 一句话题意,求随机点分治的期望复杂度. 考虑计算每个点对的贡献:如果一个点在点分树上是另一个点的祖先,那么这个点对另一个点的贡献就是1,这样的话,这个点就必须是这两个点之间的链上的点中在点分树上深度最浅的点,由于链上每个点成为点分树上最浅的点的概率都是相等的,所以这个点对对最终的期望的贡献就是\(\frac{1}{dis(i, j) + 1}\),这里的\(dis(i, j…

[BZOJ3451]Normal(点分治+FFT) 题面 给你一棵 n个点的树,对这棵树进行随机点分治,每次随机一个点作为分治中心.定义消耗时间为每层分治的子树大小之和,求消耗时间的期望. 分析 根据期望的线性性,答案是\(\sum_{i=1}^n(i的期望子树大小)=\sum_{i=1}^n \sum_{j=1}^n [j在i的点分治子树内]\) 考虑j在i的点分治子树内的条件,显然i到j的路径上的所有点中,i是第一个被选择为分治中心的.否则如果选的点不是i,那么i和j会被分到两棵子树中.第一…

题面 戳这里,题意简单易懂. 题解 首先我们发现,操作是可以不考虑顺序的,因为每次操作会加一个 \(1\) ,每次进位会减少一个 \(1\) ,我们就可以考虑最后 \(1\) 的个数(也就是最后的和),以及成功操作次数,就行了. 然后根据期望的线性性,我们可以从低到高按位考虑贡献. 考虑一个递推:\(f(i, j)\) 表示从后往前第 \(i\) 位总共被改变 \(j\) 次的概率,那么有两种转移: 进位:\(\displaystyle f(i - 1, j) \to f(i, \lfloor…

[BZOJ3451]Normal (点分治) 题面 BZOJ 题解 显然考虑每个点的贡献.但是发现似乎怎么算都不好计算其在点分树上的深度. 那么考虑一下这个点在点分树中每一次被计算的情况,显然就是其在某个点的点分树内时才会被计算答案. 那么设\(p[i][j]\)表示\(i\)在\(j\)的点分树里面的概率. 那么答案就变成了\(\sum_i\sum_j p[i][j]\) 那么\(i\)在\(j\)的点分树的概率显然就是两点之间路径不被断开的概率,即\(\frac{1}{dis(i,j)+1}…

考虑容斥,枚举一个子集S在1号猎人之后死.显然这个概率是w1/(Σwi+w1) (i∈S).于是我们统计出各种子集和的系数即可,造出一堆形如(-xwi+1)的生成函数,分治NTT卷起来就可以了. #include<iostream> #include<cstdio> #include<cmath> #include<cstdlib> #include<cstring> #include<algorithm> using namespa…

题目来源:noi2019模拟测试赛(一) 题意: 题解: 这场三道神仙概率期望题……orzzzy 这题暴力$O(n^2)$有30分,但貌似比正解更难想……(其实正解挺好想的) 注意到一次操作实际上就是在一段区间里乘上了一个形如$px+(1-p)$的多项式,设把所有多项式合并得到一个多项式$F(x)$,那么我们要求的答案实际上就是: $$[x^k]F(x)$$ 那么可以先离散化坐标,然后开一棵线段树,用vector维护每个点(即最小不可再分的区间)上要乘的多项式,最后dfs一遍线段树,用分治NTT…

正题 题目大意 一张随机的\(n\)个点的竞赛图,给出它的\(m\)条相互无交简单路径,求这张竞赛图的期望强联通分量个数. \(1\leq n,m\leq 10^5\) 解题思路 先考虑\(m=0\)的做法,此时我们考虑一个强联通块的贡献,注意到竞赛图中强联通块的会构成一条链的形式,枚举一个大小\(S\),那么此时联通块内到联通块外的边方向确定,那么这个联通块产生贡献的的概率就是\(\frac{1}{2}^{S(n-S)}\),选出这个联通块的方案就是\(\binom{n}{i}\). 那么答案…

题目链接 http://www.lydsy.com/JudgeOnline/problem.php?id=3456 Solution 这个问题可以考虑dp,利用补集思想 N个点的简单图总数量为$2^{\binom{N}{2}}$,要求的是简单联通图,所以可以用总量减不连通的. 不连通的可以通过枚举与某个固定点的联通的点的数量得到$tot=\sum _{i=1} ^{N} \binom{N-1}{i-1}*dp[i]*2^{\binom{N-i}{2}}$ 其中$dp[i]$表示的就是$i$个点的…