link 给定n,m,k,计算\(\sum_{i=1}^n\sum_{j=1}^m\gcd(i,j)^k\)对1000000007取模的结果 多组数据,T<=2000,1<=N,M,K<=5000000 推式子 \(\sum_{i=1}^n\sum_{j=1}^m\gcd(i,j)^k\) \(=\sum_{p=1}^np^k\sum_{i=1}^n\sum_{j=1}^m[\gcd(i,j)=p]\) \(=\sum_{p=1}^np^{k}\sum_{i=1}^{n/p}\sum_{…

4407: 于神之怒加强版 Time Limit: 80 Sec  Memory Limit: 512 MBSubmit: 241  Solved: 119[Submit][Status][Discuss] Description 给下N,M,K.求 Input 输入有多组数据,输入数据的第一行两个正整数T,K,代表有T组数据,K的意义如上所示,下面第二行到第T+1行,每行为两个正整数N,M,其意义如上式所示. Output 如题 Sample Input 1 23 3 Sample Outpu…

4407: 于神之怒加强版 Time Limit: 80 Sec  Memory Limit: 512 MBSubmit: 1067  Solved: 494[Submit][Status][Discuss] Description 给下N,M,K.求     Input 输入有多组数据,输入数据的第一行两个正整数T,K,代表有T组数据,K的意义如上所示,下面第二行到第T+1行,每行为两个正整数N,M,其意义如上式所示. Output 如题 Sample Input 1 2 3 3 Sample…

题解 非常裸的莫比乌斯反演. 但是反演完还需要快速计算一个积性函数(我直接用$nlogn$卷积被TLE了 推荐一个博客 我也不想再写一遍了 代码 #include<cstring> #include<cstdio> #include<algorithm> #define ll long long #define rd read() using namespace std; ; const int N = 5e6; int T, n, m, k; int mu[N], p…

题目描述 给下N,M,K.求 输入 输入有多组数据,输入数据的第一行两个正整数T,K,代表有T组数据,K的意义如上所示,下面第二行到第T+1行,每行为两个正整数N,M,其意义如上式所示. 输出 如题 样例输入 1 2 3 3 样例输出 20 题解 莫比乌斯反演+线性筛 $\sum\limits_{i=1}^n\sum\limits_{j=1}^m\gcd(i,j)^k\\=\sum\limits_{d=1}^{\min(n,m)}d^k\sum\limits_{i=1}^n\sum\limits…

[BZOJ4407]于神之怒加强版 Description 给下N,M,K.求 Input 输入有多组数据,输入数据的第一行两个正整数T,K,代表有T组数据,K的意义如上所示,下面第二行到第T+1行,每行为两个正整数N,M,其意义如上式所示. Output 如题 Sample Input 1 2 3 3 Sample Output 20 HINT 1<=N,M,K<=5000000,1<=T<=2000 题解:如何快速推出线性筛的递推式呢?——打表. 发现f(D)长得跟$\varp…

https://www.luogu.org/problemnew/show/P4449 \(F(n)=\sum\limits_{i=1}^{n}\sum\limits_{i=1}^{m} gcd(i,j)^k\) 首先加方括号,枚举g,提g:(\(min\)表示\(min(n,m)\)) \(\sum\limits_{g=1}^{min} g^k \sum\limits_{i=1}^{n} \sum\limits_{i=1}^{m} [gcd(i,j)==g]\) \(\sum\limits_{…

题意:提前给出\(k\),求\(\sum\limits_{i=1}^n \sum\limits_{j=1}^m gcd(i,j)^k\) 套路推♂倒 \[ \sum_{D=1}^n \sum_{d|D} d^k\mu(\frac{D}{d}) \frac{n}{D} \frac{m}{D} \] 是一个\(g = idk * \mu\)啊,单位幂函数和莫比乌斯函数的卷积! \(g(1) = 1\) \(g(p) = -1 + p^k\) 因为带着\(\mu\),只有sf才有贡献 所以\(p \m…

Description 给下N,M,K.求 感觉好迷茫啊,很多变换看的一脸懵逼却又不知道去哪里学.一道题做一上午也是没谁了,, 首先按照套路反演化到最后应该是这个式子 $$ans = \sum_{d = 1}^n d^k \sum_{i = 1}^{\frac{n}{d}} \frac{n}{di} \frac{m}{di} \mu(i)$$ 这样就可以$O(n)$计算 继续往下推,考虑$\frac{n}{di} \frac{m}{di}$对答案的贡献 设$T = id$ $ans = \sum…

题目链接 Description 求\[\sum_{i=1}^n\sum_{j=1}^m\gcd(i,j)^K\ \mod\ 10^9+7\] Solution 前面部分依旧套路. \[\begin{aligned}\sum_{i=1}^n\sum_{j=1}^m\gcd(i,j)^K&=\sum_{d=1}^{min(n,m)}d^K\sum_{i=1}^n\sum_{j=1}^m\left[(i,j)=d\right]\\&=\sum_{d=1}^{min(n,m)}d^K\sum_{…