CF438E The Child and Binary Tree Description 给一个大小为\(n\)的序列\(C\),保证\(C\)中每个元素各不相同,现在你要统计点权全在\(C\)中,且点权和为\(m\)的二叉树个数,并对\(998244353\)取模. \(n,m \le 10^5\) Solution \(998244353\)?这很多项式...... 总之先颓柿子好了. 令\(f_n\)表示权值和为\(n\)的二叉树个数,\(g_n\)表示权值\(n\)是否出现在\(C\)中…

传送门 设生成函数\(C(x) = \sum\limits_{i=0}^\infty [\exists c_j = i]x^i\),答案数组为\(f_1 , f_2 , ..., f_m\),\(F(x) = \sum\limits_{i=1}^m f_ix^i + 1\) 注意到选出一棵合法的二叉树,只需要选择一个合法的权值作为根的权值,选择一棵合法的二叉树(可以为空)作为根的左儿子,选择一棵合法的二叉树(可以为空)作为根的右儿子即可.那么有\(F(x) - 1 = F(x) * F(x) *…

题意 链接 Sol 生成函数博大精深Orz 我们设\(f(i)\)表示权值为\(i\)的二叉树数量,转移的时候可以枚举一下根节点 \(f(n) = \sum_{w \in C_1 \dots C_n} \sum_{j=0}^{n-w} f(j) f(n-w-j)\) 设\(T =n-w\),后半部分变为\(\sum_{j=0}^T f(j) f(T-j)\),是个标准的卷积形式. 对于第一重循环我们可以设出现过的数的生成函数\(C(x)\) 可以得到\(f = C * f * f + 1\),+…

思路 设F(x)的第x项系数为权值和为x的答案 题目中要求权值必须在集合中出现,这个不好处理,考虑再设一个C,C的第x项如果是1代表x出现在值域里,如果是0,代表x没有出现在值域里,然后由于二叉树可以分别对左右子树处理,所以 \[ F_k=\sum_{i=1}^k C_i \sum_{j=0}^{k-i}F_j F_{k-i-j} \] \[ F_0=1 \] 可以看出这是一个卷积的形式 \[ F=1+C*F*F \] 然后解一个一元二次方程 \[ F=\frac{1 \pm \sqrt{1-4…

题目链接:洛谷 CF原网 题目大意:有 $n$ 个互不相同的正整数 $c_i$.问对于每一个 $1\le i\le m$,有多少个不同形态(考虑结构和点权)的二叉树满足每个点权都在 $c$ 中出现过,且点权和为 $i$.答案对 $998244353$ 取模. $1\le n,m\le 10^5$. 首先考虑DP,$f_i$ 表示点权和为 $i$ 的树数. 那么枚举根节点的点权和两棵子树的点权和 $f_k=\sum\limits^n_{i=1}c_i\sum\limits^{k-c_i}_{j=0…

传送门 可以……这很多项式开根模板……而且也完全不知道大佬们怎么把这题的式子推出来的…… 首先,这题需要多项式开根和多项式求逆.多项式求逆看这里->这里,这里讲一讲多项式开根 多项式开方:已知多项式$B$,求多项式$A$满足$A^2\equiv B\pmod{x^n}$(和多项式求逆一样这里需要取模,否则$A$可能会有无数项) 假设我们已经求出$A'^2\equiv B\pmod{x^n}$,考虑如何计算出$A^2\equiv B\pmod{x^{2n}}$ 首先肯定存在$A^2\equiv B…

[CF438E]The Child and Binary Tree(多项式运算,生成函数) 题面 有一个大小为\(n\)的集合\(S\) 问所有点权都在集合中,并且点权之和分别为\([0,m]\)的二叉树的个数. \(n,m<=10^5\) 题解 设\(f(i)\)表示点权和为\(i\)的二叉树个数,\(c(i)\)是集合中数的生成函数,那么我们可以得到 \[f(n)=\sum_{i=1}^{n}c(i)\sum_{j=0}^{n-i}f(j)f(n-i-j)\] 显然有\(f(0)=1\) 构…

CF Round250 E. The Child and Binary Tree 题意:n种权值集合C, 求点权值和为1...m的二叉树的个数, 形态不同的二叉树不同. 也就是说:不带标号,孩子有序 \(n,m \le 10^5\) sro vfk picks orz 和卡特兰数很像啊,\(f_i\)权值为i的方案数,递推式 \[ f[i] = \sum_{i\in C} \sum_{j=0}^{m-i}f[j]f[n-i-j] \] 用OGF表示他 \[ C(x)=\sum_{i\in C}x…

[codeforces438E]The Child and Binary Tree 试题描述 Our child likes computer science very much, especially he likes binary trees. Consider the sequence of n distinct positive integers: \(c_1, c_2, \cdots , c_n\). The child calls a vertex-weighted rooted b…

原文链接www.cnblogs.com/zhouzhendong/p/CF438E.html 前言 没做过多项式题,来一道入门题试试刀. 题解 设 $a_i$ 表示节点权值和为 $i$ 的二叉树个数,特别的,我们定义 $a_0 = 1$ ,即我们认为没有节点也算一种二叉树. 设 $$g(x) = \sum_{i=1}^n x^{c_i}\\f(x) = \sum_{i=0}^{\infty} a_i x^i$$ 根据组合意义可得 $$f^2(x) g(x) + 1 = f(x) $$ 于是 $$…