题目链接 一道好题,第一次用生成函数做题.感谢赛珂狼教我这个做法. 首先我们显然可以把题目中的限制转化成一个二分图的模型:左边有$n$个点,右边有$m$个点,如果在棋盘$(i,j)$这个点上放了炮,那么我们把左边第$i$个点向右边第$j$个点连边,那么最终这个图上左边每个点的度数都是$2$,右边每个点的度数都小于等于$2$.求合法图的个数.可以发现,这个二分图是由一些环和一些链组成的,每一条链都是属于右边的点数比属于左边的点数多一(我们把属于右边的单独的一个点也算作一条链).并且这样链的条数恰好…

这道题告诉我们推式子的时候头要够铁. 题意 问一个\(n\times m\)的棋盘,摆上\(n\times 2\)个中国象棋的炮使其两两不能攻击的方案数,对\(998244353\)取模. \((n\leq m\leq 2000)或(n\leq m\leq 100000且m-n\leq 10)\). 题解 怎么两个数据范围搞搞. 显然合法方案等价于每行每列炮的数量不超过\(2\),那么每一行就必定放\(2\)个炮了. 我们记\(f(n,m)\)为答案,考虑如何归约到规模更小的问题. 那么我们枚举…

正题 题目链接:https://www.luogu.com.cn/problem/P4831 题目大意 \(n*m\)的网格上放置\(2n\)个炮,要求互不能攻击. 数据满足\(n\leq m\leq 2000\)或\(n\leq m\leq 10^5\)且\(m-n\leq 10\) 解题思路 每行每列最多\(2\)个炮,所以模型可以转换为求有多少种方案满足:\(1\sim n\)的数字各两个填在\(m\)个无序2元组(可以有空),并且每个组中的数互不相同. 直接硬钢推式子很难做(好像可以推到…

题意: 定义f(i)=∑ k∣i k^d(i≤n),给出q个询问,每个询问询问区间[l,r]的f(i)的和. n<=1e7 d<=1e18 q<=5e4 可以发现f(i)是个积性函数,那么我们就可以欧拉筛 O(n) 预处理出f(i),然后做个前缀和就行了. f(i)分为三种情况: 1.i为素数 f(i)=i^d 2.i%p[j]!=0 f(i*pj)=f(i)*f(p[j]) 3.i%p[j]==0 这个比较复杂,以下是f老板说的:我们要考虑的是i*p[j]比i多的约数是什么,假设i*p…

The Toy of Flandre Scarlet Time Limit:2000MS     Memory Limit:65536KB     64bit IO Format:%lld & %llu Submit Status Description As you know, Flandre Scarlet loves her elder sister Remilia Scarlet, and of course, Remilia loves Flandre, too. But becaus…

题面 传送门 题解 复杂度比较迷啊-- 以下以\(n\)表示颜色总数,\(m\)表示总的卡牌数 严格\(k\)对比较难算,我们考虑容斥 首先有\(i\)对就代表整个序列被分成了\(m-i\)块互不相同的部分,那么我们从被分成了多少块这个角度来考虑 设\(f_{i,j}\)表示考虑前\(i\)中颜色被分成了\(j\)块的方案(这里的\(j\)块不一定满足相邻两块颜色不同),那么转移就是 \[f_{i,j}=\sum_k f_{i-1,j-k}{a_i-1\choose k-1}{j\choose…

城市规划 时间限制:40s      空间限制:256MB 题目描述 刚刚解决完电力网络的问题, 阿狸又被领导的任务给难住了.  刚才说过, 阿狸的国家有n个城市, 现在国家需要在某些城市对之间建立一些贸易路线, 使得整个国家的任意两个城市都直接或间接的连通. 为了省钱, 每两个城市之间最多只能有一条直接的贸易路径. 对于两个建立路线的方案, 如果存在一个城市对, 在两个方案中是否建立路线不一样, 那么这两个方案就是不同的, 否则就是相同的. 现在你需要求出一共有多少不同的方案.  好了, 这就…

[题解]歌唱王国(概率生成函数+KMP)+伦讲的求方差 生成函数的本质是什么呀!为什么和It-st一样神 设\(f_i\)表示填了\(i\)个时候停下来的概率,\(g_i\)是填了\(i\)个的时候不停下的来的概率,规定\(f_0=g_0=1\) 两个生成函数是 \[ G(x)=\sum g(i)x^i \\ F(x)=\sum f(i)x^i \] 可以得到一些关系: 在后面随意加上一个字符 \[ xG(x)+1=F(x)+G(x) \] 直接强行接上原串: \[ x^LG(x)(\dfrac…

洛谷题面传送门 看到图计数的题就条件反射地认为是不可做题并点开了题解--实际上这题以我现在的水平还是有可能能独立解决的( 首先连通这个条件有点棘手,我们尝试把它去掉.考虑这题的套路,我们设 \(f_n\) 表示 \(n\) 个点的有标号 DAG 个数,\(g_n\) 表示 \(n\) 个点的有标号且弱联通的 DAG 个数,那么根据 \(\exp\) 式子的计算方式我们可以列出 \(f,g\) 生成函数之间的 exp 关系,又因为这题带标号,所以有: Trick 1. 对于有标号图连通图计数问题,…

众所周知,tzc 在 2019 年(12 月 31 日)就第一次开始接触多项式相关算法,可到 2021 年(1 月 1 日)才开始写这篇 blog. 感觉自己开了个大坑( 多项式 多项式乘法 好吧这个应该是多项式各种运算中的基础了. 首先,在学习多项式乘法之前,你需要学会: 复数 我们定义虚数单位 \(i\) 为满足 \(x^2=-1\) 的 \(x\). 那么所有的复数都可以表示为 \(z=a+bi\) 的形式,其中 \(a,b\) 均为实数. 复数的加减直接对实部虚部相加减就行了. 复数的乘…