Description 有一个长度为 \(n\) 的项链,首尾相接形成环,现在你要给每一个位置一个颜色 \([1,m]\), 求所有不同的项链个数(可以通过旋转变成一样的称为相同) Solution 根据 \(burnside\) 引理,答案为 \(\frac{1}{n}\sum_{i=1}^{|G|}c1_i\) 也就是枚举所有的置换,求不动点个数之和 置换一共有 \(n\) 种,分别为 \(1,2...n\) 枚举旋转的长度 \(i\) ,那么循环节的大小为 \(\frac{n}{gcd(i…

[BZOJ3202]项链(莫比乌斯反演,Burnside引理) 题面 BZOJ 洛谷 题解 首先读完题目,很明显的感觉就是,分成了两个部分计算. 首先计算本质不同的珠子个数,再计算本质不同的项链个数. 前面一个部分和\(gcd\)相关,一种莫比乌斯反演的感觉. 后面一个部分出现了旋转操作,要求本质不同的方案数,不难想到Burnside引理. 首先先考虑怎么求本质不同的珠子个数. 我们直接考虑无序的三元组\((x,y,z)\),满足\(x,y,z\le a,gcd(x,y,z)=1\) 容斥考虑最…

正题 题目链接:https://www.luogu.com.cn/problem/P3307 题目大意 \(n\)个珠子的一个环形项链,每个珠子有三个\(1\sim k\)的整数. 两个珠子不同当且仅当它们不能通过翻转或者旋转得到 两个项链不同当且仅当它们不能通过旋转得到 珠子要求上面的数字互质 项链要求相邻珠子不同 求方案数. 解题思路 珠子的计数和项链计数是没什么关系的,所以两个分开求. 先考虑求珠子有多少种.相当与求有多少种三元组,因为三个数字的排列通过以上操作可以得到任何其他排列. 首先…

题面传送门 看到题目我们显然可以将题目拆分成两部分:首先求出有多少个符合要求的珠子 \(c\),这样我们就可以将每种珠子看成一种颜色,题目也就等价于有多少种用 \(c\) 种颜色染长度为 \(n\) 的环的方法,满足相邻格子颜色不同,可以通过旋转重合的染色方案算同一种,这就是题目的第二部分.显然两部分是独立的,因此可以分开来计算. 首先考虑怎样求出 \(c\) 的值,注意到这里涉及 \(\gcd\),故可以套路地想到莫比乌斯反演,记 \(f(i)\) 为珠子上三个数 \(\gcd\) 恰好为 \…

参考链接: http://www.cnblogs.com/hankers/archive/2012/08/03/2622231.html http://blog.csdn.net/raalghul/article/details/51767941 首先来说说burnside引理是什么. 一天你正在刷题,看到一道关于染色的问题,你认为是一个傻逼题,然后认真一看题目上面写着旋转.翻转后相同的计算一次......你立刻就傻眼了. 接下来是科普时间. 首先我们考虑什么东西叫置换,例如(1,2,3,4,5…

听说这题不公开.. 那就不贴题意了 首先要用burnside引理求出戒指的种数,那么对于一个顺时针旋转$k$个位置的置换就相当于连上一条$(i,(i+k)%R)$的边,每个环颜色必须相同 环的个数为$gcd(k,R)$,所以这样的方案数就有$R^{gcd(k,R)}$种 然后dp求项链的方案数,设$g_{i,0}$表示$1$和$i$不同,中间相邻不同的方案数,$g_{i,1}$表示$1$和$i$相同,中间相邻不同的方案数 那么有如下推导: $$g_{i,0}=(i-1)g_{i-1,1}+(i-…

思路:首先考虑如何求珠子个数,一个珠子由a,b,c三个数组成且属于区间[1,a],并满足gcd(a,b,c)=1.由于要求本质相同,对于a,b,c这样的一个无序的数列且满足gcd(a,b,c)=1,设其总方案数为t1,那么显然本质相同的重复了6次,即(a,b,c),(a,c,b),(b,a,c),(b,c,a),(c,a,b),(c,b,a),所以要将t1/=6,但如果存在两个数相同,这样的其实只出现了三次,因此还要加上3*这样的情况(设其为t2)的方案数,同时可能有三个相同,这样的情况只可能是…

传送门:Gift 题意:由n(n<=1e9)个珍珠构成的项链,珍珠包含幸运数字(有且仅由4或7组成),取区间[L,R]内的数字,相邻的数字不能相同,且旋转得到的相同的数列为一种,为最终能构成多少种项链. 分析:这是我做过的最为综合的一道题目(太渣了),首先数位dp筛选出区间[L,R]内的幸运数字总数,dp[pos]表示非限制条件下还有pos位含有的幸运数字个数,然后记忆化搜索一下,随便乱搞的(直接dfs不知会不会超时,本人做法900+ms险过,应该直接dfs会超时),再不考虑旋转相同的情况,可以…

原文链接www.cnblogs.com/zhouzhendong/p/Burnside-Polya.html 问题模型 有一个长度为 $n$ 的序列,序列中的每一个元素有 $m$ 种取值. 如果两个序列循环同构,那么我们称这两个序列等价. 求两两不等价的序列个数. Burnside引理 假设有若干个置换 $P_1,P_2,\cdots$ ,设由这些置换生成的置换群为 $Q$ .如果序列 A 可以通过一个 $Q$ 中的置换变成序列 B,那么我们认为 A 和 B 等价. 对于一个置换 $P$ ,如果…

参考https://blog.csdn.net/anxdada/article/details/76862564. https://blog.csdn.net/baidu_35643793/article/details/75268911 一些涂色方案项链在一些变化下G={一些旋转..,一些翻折..}等价,要找出不等价的涂色方案数,或者说等价类数. 置换所构成的元素之间的关系来表示这几种方案间等价关系. Burnside.各种置换下不变元素(元素,方案(,,))个数之和 == 置换数乘等价类个数…

[POJ2888]Magic Bracelet 题意:一个长度为n的项链,有m种颜色的珠子,有k个限制(a,b)表示颜色为a的珠子和颜色为b的珠子不能相邻,求用m种珠子能串成的项链有多少种.如果一个项链在旋转后与另一个项链相同,则认为这两串珠子是相同的. $n\le 10^9,m\le 10,k\le \frac{m(m-1)} 2 $ 题解:好题. 依旧回顾从Burnside引理到Pólya定理的推导过程.一个置换中的不动点要满足它的所有循环中的点颜色都相同,那么在旋转i次的置换中,循环有gc…

description luogu 最近,铭铭迷恋上了一种项链.与其他珍珠项链基本上相同,不过这种项链的珠子却与众不同,是正三菱柱的泰山石雕刻而成的. 三菱柱的侧面是正方形构成的,上面刻有数字. 能够让铭铭满意的项链必须满足下面的条件: 这串项链由\(n\)颗珠子构成的. 每一个珠子上面的数字\(x\),必须满足\(0<x\le a\),且珠子上面的数字的最大公约数要恰 好为\(1\).两个珠子被认为是相同的,当且仅当他们经过旋转,或者翻转后能够变成一样的. 相邻的两个珠子必须不同. 两串项链如…

题目来源:UVa 10294 Arif in Dhaka (First Love Part 2) 题意:n颗珠子t种颜色 求有多少种项链和手镯 项链不可以翻转 手镯可以翻转 [分析] 要开始学置换了. 置换是什么呢?  置换的广义概念在不同语境下有不同的形式定义: 在集合论中,一个集合的置换是从该集合映至自身的双射:在有限集的情况,便与上述定义一致. 在组合数学中,置换一词的传统意义是一个有序序列,其中元素不重复,但可能有阙漏.例如1,2,4,3可以称为1,2,3,4,5,6的一个置换,但是其中…

也许更好的阅读体验 \(\mathcal{Description}\) 大意:给一条长度为\(n\)的项链,有\(m\)种颜色,另有\(k\)条限制,每条限制为不允许\(x,y\)颜色连在一起.要求有多少种本质不同的染色方式,本质不同的两种染色方式必须旋转不能互相得到. 输入方式: 第一行 \(t,\)表示t组数据 接下来\(t\)组数据: 每组数据第一行为\(n,m,k\) 接下来\(k\)行,每行两个数\(x,y\)表示不允许\(x,y\)颜色连在一起. 答案对9973取模 \((1 ≤ n…

也许更好的阅读体验 \(Burnside引理\) 公式 \(\begin{aligned}L=\frac{1}{|G|}\sum_{i=1}^{|G|}D_{G_i}\end{aligned}\) 一些定义 \(E_i\) 表示与\(i\)同类的方案 \(Z_i\) 表示使\(i\)不变的置换 \(G\) 表示所有的置换方法 \(D_i\) 表示第\(i\)种置换能使多少方案不变 \(n\) 表示方案总数 \(L\) 表示本质不同的方案数 引理的引理 \(|E_i|*|Z_i|=|G|\) \(…

Burnside引理经典好题呀! 题解参考 https://blog.csdn.net/maxwei_wzj/article/details/73024349#commentBox 这位大佬的. 这题时间卡得很紧,注意矩阵乘法不能太多次取模,不然会TLE.   因为这题的模数是9973,加完之后再取模也不会炸. #include<iostream> #include<cstdio> #include<cmath> #include<cstring> usin…

Burnside's lemma 引例 题目描述 一个由2*2方格组成的正方形,每个格子上可以涂色或不涂色, 问共有多少种本质不同的涂色方案. (若两种方案可通过旋转互相得到,称作本质相同的方案) 解法 每个格子可以涂色,可以不涂色,共有16种方案.将16种方案编号. 把本质相同的方案合并: 方案1:{1},方案2:{2}, 方案3:{3,4,5,6},方案4:{7,8,9,10}, 方案5:{11,12},方案6:{13,14,15,16}, 共6种方案. 旋转可以看作是置换,所有置换组成置换…

Burnside引理:对于一个置换\(f\), 若一个着色方案\(s\)经过置换后不变,称\(s\)为\(f\)的不动点.将\(f\)的不动点数目记为\(C(f)\), 则可以证明等价类数目为\(C(f)\) 的平均值. 也就是对于置换群中的某一个置换\(f\),\(C(f)\)为所有着色方案中,那些经过置换\(f\) 可以互相转换(即等价)的着色方案数 因为一个置换可以拆成若干个循环,置换中的每个元素可以看成是一个结点,那么每个节点必有一个出度和入度,所以肯定会形成若干个环,在置换\(f\)…

题意:       给你一串珠子(连接成了一个环),共有n个珠子组成,你有t种颜色,现在你来给这个珠子染色,问染成项链有多少种方法?染成手镯有多少种方法?在项链里,经过顺时针旋转后相同的算一个,在手镯里,经过顺时针旋转或者沿着对称轴兑换后一样的算一个. 思路:       比较典型的等价类计数问题,我们定义两个变量,a是旋转的总个数,b是翻转的总个数,那么根据Burnside和Polya定理,a = C[0] + C[1] + C[2] +..+C[n-1]; C[i]表示的是顺时针移动i个后的…

Solution 将原问题分为两个问题求解. Part 1 首先求珍珠的种类数. 设\(f_i\)表示满足\(gcd = i\)的本质不同珍珠个数, \(g_i\)表示满足\(gcd\)为\(i\)的倍数的本质不同珍珠个数 则\(f_1\)就是答案 由定义可得$$g(i)=\sum_{i|d}f(d)$$ \(mobius\)反演得到$$f(i)=\sum_{i|d}\mu(\frac{d}{i})g(d)$$ 所以$$f(1)=\sum_{i =1}^{a}\mu(i)g(i)$$ 下面计算\…

Description HH有一串由各种漂亮的贝壳组成的项链.HH相信不同的贝壳会带来好运,所以每次散步 完后,他都会随意取出一段贝壳,思考它们所表达的含义.HH不断地收集新的贝壳,因此, 他的项链变得越来越长.有一天,他突然提出了一个问题:某一段贝壳中,包含了多少种不同 的贝壳?这个问题很难回答...因为项链实在是太长了.于是,他只好求助睿智的你,来解 决这个问题. Input 第一行:一个整数N,表示项链的长度. 第二行:N个整数,表示依次表示项链中贝壳的编号(编号为0到1000000之间的…

Description 项链是人体的装饰品之一,是最早出现的首饰.项链除了具有装饰功能之外,有些项 链还具有特殊显示作用,如天主教徒的十字架链和佛教徒的念珠. 从古至今人们为了美化人体本身,也美 化环境,制造了各种不同风格,不同特点.不同式样的项链,满足了不同肤色.不同民族.不同审美观的人的审美需要.就材料而论,首饰市场上的项链有黄金.白银.珠宝等几种.珍珠项链为珍珠制成的饰品,即将珍珠 钻孔后用线串在一起,佩戴于项间.天然珍珠项链具有一定的护养作用.   最近,铭铭迷恋上了一种项链.与其他珍珠…

1878: [SDOI2009]HH的项链 Time Limit: 4 Sec  Memory Limit: 64 MBSubmit: 3548  Solved: 1757[Submit][Status][Discuss] Description HH有一串由各种漂亮的贝壳组成的项链.HH相信不同的贝壳会带来好运,所以每次散步 完后,他都会随意取出一段贝壳,思考它们所表达的含义.HH不断地收集新的贝壳,因此, 他的项链变得越来越长.有一天,他突然提出了一个问题:某一段贝壳中,包含了多少种不同 的…

Time Limit: 6 Sec  Memory Limit: 128 MBSubmit: 153  Solved: 11 SubmitStatusWeb Board Description 蛤玮向心仪的妹子送了一条项链,这条项链是由小写字母构成的首尾相接的字符串,妹子看了看项链对蛤玮说,"我希望它是对称的",蛤玮想了想之后决定,从项链上截取出一段,这段如果是回文的话那么妹子戴起来就是对称的了.由于蛤玮会魔法,他可以把项链上的某一个字母变成任意另一个字母,但由于魔力限制他最多只能变两…

未完待续... 终于改对了 热泪盈眶.jpg 错误原因:pushdown的时候没有判断是否有左右儿子,也没当x=0 return,于是出现一些奇怪的错误 #include<bits/stdc++.h> using namespace std; #define N 500005 ]; int n,m; ],lc[N],rc[N],num[N],c[N],rev[N],tag[N]; void pushup(int x){ ],r=ch[x][]; sz[x]=sz[l]+sz[r]+; num[…

a { text-decoration: none; font-family: "comic sans ms" } .math { color: gray; font-family: Consolas } 描述 在Mars星球上,每个Mars人都随身佩带着一串能量项链.在项链上有N颗能量珠.能量珠是一颗有头标记与尾标记的珠子,这些标记对应着某个正整数.并且,对于相邻的两颗珠子,前一颗珠子的尾标记一定等于后一颗珠子的头标记.因为只有这样,通过吸盘(吸盘是Mars人吸收能量的一种器官)的作…

题目描述 在Mars星球上,每个Mars人都随身佩带着一串能量项链.在项链上有N颗能量珠.能量珠是一颗有头标记与尾标记的珠子,这些标记对应着某个正整数.并且,对于相邻的两颗珠子,前一颗珠子的尾标记一定等于后一颗珠子的头标记.因为只有这样,通过吸盘(吸盘是Mars人吸收能量的一种器官)的作用,这两颗珠子才能聚合成一颗珠子,同时释放出可以被吸盘吸收的能量.如果前一颗能量珠的头标记为m,尾标记为r,后一颗能量珠的头标记为r,尾标记为n,则聚合后释放的能量为m*r*n(Mars单位),新产生的珠子的头标…

题目描述 你有一条由N个红色的,白色的,或蓝色的珠子组成的项链(3<=N<=350),珠子是随意安排的. 这里是 n=29 的二个例子: 第一和第二个珠子在图片中已经被作记号. 图片 A 中的项链可以用下面的字符串表示: brbrrrbbbrrrrrbrrbbrbbbbrrrrb 假如你要在一些点打破项链,展开成一条直线,然后从一端开始收集同颜色的珠子直到你遇到一个不同的颜色珠子,在另一端做同样的事(颜色可能与在这之前收集的不同). 确定应该在哪里打破项链来收集到最大数目的珠子. 例如,在图片…

3790: 神奇项链 Time Limit: 10 Sec  Memory Limit: 64 MBSubmit: 304  Solved: 150[Submit][Status][Discuss] Description 母亲节就要到了,小 H 准备送给她一个特殊的项链.这个项链可以看作一个用小写字母组成的字符串,每个小写字母表示一种颜色.为了制作这个项链,小 H 购买了两个机器.第一个机器可以生成所有形式的回文串,第二个机器可以把两个回文串连接起来,而且第二个机器还有一个特殊的性质:假如一个…

[codevs1154][COJ0177][NOIP2006]能量项链 试题描述 在Mars星球上,每个Mars人都随身佩带着一串能量项链.在项链上有N颗能量珠.能量珠是一颗有头标记与尾标记的珠子,这些标记对应着某个正整数.并且,对于相邻的两颗珠子,前一颗珠子的尾标记一定等于后一颗珠子的头标记.因为只有这样,通过吸盘(吸盘是Mars人吸收能量的一种器官)的作用,这两颗珠子才能聚合成一颗珠子,同时释放出可以被吸盘吸收的能量.如果前一颗能量珠的头标记为m,尾标记为r,后一颗能量珠的头标记为r,尾标记…