\[\Large\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} \frac{\widetilde{H_n}}{n^{3}}\] where \(\widetilde{H_n}\) is the alternating harmonic number. \(\Large\mathbf{Solution:}\) Namely, \[\widetilde{H_n} = \ln (2) + (-1)^{n-1} \int_{0}^{1} \frac{x^{n}}{1+x} \math…

\[\Large\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty}\frac{H_{2n}}{n(6n+1)}\] \(\Large\mathbf{Solution:}\) Let \(S\) denote the sum. Then \[\begin{align*} S=\sum_{n=1}^\infty \frac{H_{2n}}{n(6n+1)} &= \sum_{n=1}^\infty\frac{H_{2n}}{n}\int_0^1 x^{6n}\mathrm dx \\…

\[\Large\sum_{n=1}^{\infty} \frac{H_{n}}{2^nn^4}\] \(\Large\mathbf{Solution:}\) Let \[\mathcal{S}=\sum^\infty_{n=1}\frac{H_n}{n^42^n}\] We first consider a slightly different yet related sum. The main idea is to solve this sum with two different meth…

\[\Large\displaystyle \sum_{n=1}^\infty (-1)^n \frac{H_n}{2n+1}=\mathbf{G}-\frac{\pi}{2}\ln(2)\] \(\Large\mathbf{Proof:}\) \(\Large\mathbf{Method~One:}\) Using the relation \(\displaystyle H_{n} = \int_{0}^{1} \frac{1-x^n}{1-x} \mathrm{d}x\), we find…

\[\Large\sum_{n=1}^{\infty}\frac{\left(H_{n}^{(2)}\right)^{2}}{n^{2}}=\frac{19}{24}\zeta(6)+\zeta^{2}(3)\] \(\Large\mathbf{Proof:}\) We use the Abel's rearrangement over the \(N\)-th partial sum of the series, \[\begin{align*}\sum\limits_{n=1}^{N}\fr…

\[\Large\sum_{n=0}^\infty \frac{H_{2n+1}}{(2n+1)^2}=\frac{21}{16}\zeta(3)\] \(\Large\mathbf{Proof:}\) Let \(\displaystyle S_1=\sum_{n=1}^\infty \frac{H_n}{n^2}\) and \(\displaystyle S_2 = \sum_{n=1}^\infty(-1)^{n+1}\frac{H_n}{n^2}\). Then, our sum ca…

我们的网页因为 CSS 而呈现千变万化的风格.这一看似简单的样式语言在使用中非常灵活,只要你发挥创意就能实现很多比人想象不到的效果.特别是随着 CSS3 的广泛使用,更多新奇的 CSS 作品涌现出来.<CSS 魔法系列>继续给大家带来 CSS 在图形绘制中的创新使用. 您可能感兴趣的相关文章 CSS3 在网页设计中的20佳惊艳应用 推荐12个漂亮的 CSS3 按钮实现方案 推荐10个非常优秀的 CSS3 开发工具 分享50个漂亮的 CSS3 最佳应用示例 24款非常实用的 CSS3 工具终极收…

Netty4.x中文教程系列(五)编解码器Codec 上一篇文章详细解释了ChannelHandler的相关构架设计,版本和设计逻辑变更等等. 这篇文章主要在于讲述Handler里面的Codec,也就是相关的编解码器.原本想把编解码器写在上一篇文章里面的.后来想想Netty里面的编解码器太多了.想要一次写完比较困难.于是重新开了一篇文章来专门写这个. 1.     Hello World !实例中的使用 在这里先讲一下我们第一篇文章里面的实例使用到编解码器. 1.1 DelimiterBased…

WCF编程系列(五)元数据   示例一中我们使用了scvutil命令自动生成了服务的客户端代理类: svcutil http://localhost:8000/?wsdl /o:FirstServiceClient.cs 命令中http://localhost:8000/?wsdl连接返回一个XML,该XML即为元数据:用以描述如何与服务的终结点进行交互.正因为有元数据的存在,svcutil命令才能自动生成客户端代理类. 元数据遵循Web服务描述语言(WSDL)标准,所以可被多种语言支持,除WC…

JVM系列五:JVM监测&工具[整理中]  http://www.cnblogs.com/redcreen/archive/2011/05/09/2040977.html 前几篇篇文章介绍了介绍了JVM的参数设置并给出了一些生产环境的JVM参数配置参考方案.正如之前文章中提到的JVM参数的设置需要根据应用的特性来进行设置,每个参数的设置都需要对JVM进行长时间的监测,并不断进行调整才能找到最佳设置方案.本文将介绍如果通过工具及Java api来监测JVM的运行状态,并详细介绍各工具的使用方法.…