luoguP3978 [TJOI2015]概率论卡特兰数

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luoguP3978 [TJOI2015]概率论卡特兰数

考虑分别求出$f_n, g_n$表示$n$个点的有根二叉树的数量和$n$个点的所有情况下有根二叉树的叶子结点的总数有$f_n = \sum_{k} f_k * f_{n - 1 - k}$,因此有$f_n = C_n$,其中$C_n$为卡特兰数有$g_n = \sum_{k} g_k * f_{n - 1 - k} + g_{n - 1 - k} * f_k$ 通过打表,可以发现$g_n = n * C_{n - 1}$,可以用归纳法证明因此答案为$\frac{g_n}{f_n} = \f…

BZOJ4001[TJOI2015]概率论——卡特兰数

题目描述输入输入一个正整数N,代表有根树的结点数输出输出这棵树期望的叶子节点数.要求误差小于1e-9 样例输入 1 样例输出 1.000000000 提示 1<=N<=10^9 设$f[n]$表示$n$个节点能形成二叉树的方案数,$g[n]$表示所有方案的叶子数之和 $ans=\frac{g[n]}{f[n]}$,f$[n]$就是卡特兰数(这是卡特兰数的一个应用) 那么$g[n]$怎么求呢? 假设一种$n$节点二叉树有$k$个叶子,那么$g[n]=\sum k$ 我们将这$k$个叶子中…

[TJOI2015]概率论[卡特兰数]

题意 $n$ 个节点二叉树的叶子节点的期望个数. $n\leq 10^9$ . 分析实际询问可以转化为 $n$ 个点的不同形态的二叉树的叶子节点总数. 定义 $f_n$ 表示 $n$ 个节点的二叉树的个数, $g_n$ 表示 $n$ 个节点的不同形态的二叉树的叶子节点总数. 设一棵 $n$ 个节点的树有 $m$ 个叶子节点,每删去一个叶子节点都可以得到一棵大小为 $n-1$ 的二叉树,考虑每个大小为 $n-1$ 的二叉树,共有 $n$ 个叶子节点…

BZOJ4001:[TJOI2015]概率论(卡特兰数,概率期望)

Description Input 输入一个正整数N,代表有根树的结点数 Output 输出这棵树期望的叶子节点数.要求误差小于1e-9 Sample Input 1 Sample Output 1.000000000 HINT 1<=N<=10^9 Solution 好神仙一个题啊……rqy大爷的证明真的超简单明了QwQ膜拜rqy 首先设$f_n$表示$n$个点的二叉树个数,$g_n$表示$n$个点所有$f_n$棵二叉树的叶节点总数打个表可以发现:$f:1 ~2~ 5~ 14 ~42$$g:…

[TJOI2015] 概率论 - Catalan数

一棵随机生成的 $n$ 个结点的有根二叉树(所有互相不同构的形态等概率出现)的叶子节点数的期望.$n \leq 10^9$ Solution $n$ 个点的二叉树个数即 Catalan 数 $f(n)=\frac{C_{2n}^n}{n+1}$ 设 $g(n)$ 为 $n$ 个点的所有二叉树的叶子个数和,找规律得 $g(n)=nf(n-1)$ Proof. 对于 $n$ 个点,$k$ 个叶子的二叉树,删掉任意一个叶子可以得到 $k$ 个 $n-1$ 个…

BZOJ4001 TJOI2015概率论（生成函数+卡特兰数）

设f(n)为n个节点的二叉树个数,g(n)为n个节点的二叉树的叶子数量之和.则答案为g(n)/f(n). 显然f(n)为卡特兰数.有递推式f(n)=Σf(i)f(n-i-1) (i=0~n-1). 类似地,左子树节点数为i时右子树有f(n-i-1)种情况,那么可以对左子树的叶子节点数之和计数,显然再乘2就是总数了.有递推式g(n)=2Σg(i)f(n-i-1) (i=0~n-1). 因为递推式是卷积形式,考虑生成函数.设F(x).G(x)分别为f(n).g(n)的生成函数(均为无穷级数).则有F…