我们用g(x)表示x的欧拉函数值,即1~x与x互质的数的个数 欧拉函数公式为: g(x)= y*((x1-1)/x1)*((x2-1)/x2)*((x3-1)/x3)....(其中x1, x2, x3....为质数) 证明: 1. 对于质数x,有g(x)=x-1 2. 对于x^h,其中x为质数,那么显然1~x^h之间包含x因子的数不与x^h互质,有: x, 2*x, 3*x, 4*x.....x^(h-1)*x 共x^(h-1)个,很显然有g(x^h)=x^h-x^(h-1),其中x^(h-1)…

http://poj.org/problem?id=1284 题意:给定一个奇素数p,求p的原根个数. 原根: { (xi mod p) | 1 <= i <= p-1 } is equal to { 1, ..., p-1 },则x是p的原根. 题解:结论:奇素数p的原根个数为phi(p-1). 证明: 对于给出的素数p, 首先要明确一点:p的元根必然是存在的(这一点已由Euler证明,此处不再赘述),因此,不妨设其中的一个元根是a0(1<=a0<=p-1) 按照题目的定义,a0…

Primitive Roots http://poj.org/problem?id=1284 Time Limit: 1000MS   Memory Limit: 10000K       Description We say that integer x, 0 < x < p, is a primitive root modulo odd prime p if and only if the set { (xi mod p) | 1 <= i <= p-1 } is equal…

Primitive Roots Time Limit: 1000MS   Memory Limit: 10000K Total Submissions: 3928   Accepted: 2342 Description We say that integer x, 0 < x < p, is a primitive root modulo odd prime p if and only if the set { (xi mod p) | 1 <= i <= p-1 } is eq…

欧拉函数,用φ(n)表示 欧拉函数是求小于等于n的数中与n互质的数的数目 辣么,怎么求哩?~(-o￣▽￣)-o 可以先在1到n-1中找到与n不互质的数,然后把他们减掉 比如φ(12) 把12质因数分解,12=2*2*3,其实就是得到了2和3两个质因数 然后把2的倍数和3的倍数都删掉 2的倍数:2,4,6,8,10,12 3的倍数:3,6,9,12 本来想直接用12 - 12/2 - 12/3 但是6和12重复减了 所以还要把即是2的倍数又是3的倍数的数加回来 (>﹏<) 所以这样写12 - 1…

euler(x)公式能计算小于等于x的并且和x互质的数的个数: 我们再看一下如何求小于等于n的和n互质的数的和, 我们用sum(n)表示: 若gcd(x, a)=1,则有gcd(x, x-a)=1: 证明:假设gcd(x, x-a)=k (k>1),那么有(x-a)%k=0---1式,x%k=0---2式: 由1式和2式可得 a%k=0---3式: 由2式和3式可得gcd(x, a)=k,与gcd(x, a)=1矛盾,即原式得证: 由此我们可以得知小于x并且与x互质的数必然是成对出现的并且有对应…

1 Euler 公式 $e^{i\pi}+1=0$ (1) 它把 a.  $e:$ 自然对数的底 $\approx 2. 718281828459$ (数分) b.  $i$: 虚数单位 $=\sqrt{-1}$ (复变) c.  $\pi$: 圆周率 $\approx 3. 1415926$ (小学就学了) d.  $1$: 自然数的单位 (道生一,一生二,二生三,三生万物---老子关于万物的起源) e.  $0$: 人类最伟大的发现之一 (可以考虑平衡, 欠费等问题了) 这些数学中最重要的一…

/* 题意:(n)表示小于n与n互质的数有多少个,给你两个数a,b让你计算a+(a+1)+(a+2)+......+b; 初步思路:暴力搞一下,打表 #放弃:打了十几分钟没打完 #改进:欧拉函数:具体证明看po主的博客 ^0^ #超时:这里直接用欧拉函数暴力搞还是不可以的,用到线性筛欧拉函数,这里总和爆int,要用long long */ #include<bits/stdc++.h> #define ll long long using namespace std; /***********…

离散对数问题,英文是Discrete logarithm Problem,有时候简写为Discrete log,该问题是十几个开放数学问题(Open Problems in Mathematics, [0.a], [0.b])中的一个.为什么要从离散对数问题说起?因为后面的内容中会反复使用到,因此我们希望用独立的一节分析来消除理解上的不确定性. 0x01 背景 对数\(\log_{b}(a)\)是由John Napier发明(1614)的符号([1],[2.a],[2.b]),选择不同的基底,就…

素数(Prime)及判定 定义 素数又称质数,一个大于1的自然数,除了1和它自身外,不能整除其他自然数的数叫做质数,否则称为合数. 1既不是素数也不是合数. 判定 如何判定一个数是否是素数呢?显然,我们可以枚举这个数的因数,如果存在除了它本身和1以外的因数,那么这个数就是素数. 在枚举时,有一个很简单的优化:一个合数\(n\)必有一个小于等于\(\sqrt{n}\)的因数. 证明如下: 假设一个合数\(n\)没有小于等于\(\sqrt{n}\)的因数. 由于\(n\)为合数,所以除了\(n\)与…