\(\mathcal{Description}\)   Link.   给定一棵树,边 \((u,v)\) 有边权 \(w(u,v)\).每次操作可以使一条简单路径上的边权异或任意非负整数.求最少的操作次数使得所有边边权为 \(0\).   \(n\le10^5\),\(w(u,v)<16\). \(\mathcal{Solution}\)   好妙的题 www.   定义一个点的点权 \(val_u\) 为其所有邻接边边权的异或和,即 \(val_u=\bigoplus_{(u,v)\in E…

\(\mathcal{Description}\)   Link.   给定一棵 \(n\) 个点的树,反复随机选取一条边,合并其两端两点,新点编号在两端两点等概率选取.问每个点留到最后的概率.   \(n\le50\). \(\mathcal{Solution}\)   推荐 @ywy_c_asm 的博客 owo.   所有的操作方案数是 \((n-1)!\),我们可以按删边顺序看做一个长度为 \(n-1\) 的序列.对于每个点分别计算答案,把当前要算的点提为根(记为 \(r\)),我们只需要…

\(\mathcal{Description}\)   Link.   给定整数序列 \(\{a_n\}\),对于整数序列 \(\{b_n\}\),\(b_i\) 在 \([1,a_i]\) 中等概率随机.求 \(\{b_n\}\) 中 LIS(最长上升子序列)的期望长度.对 \(10^9+7\) 取模.   \(n\le6\),\(a_i\le10^9\). \(\mathcal{Solution}\)   欺负这个 \(n\) 小得可爱,直接 \(\mathcal O(n!)\) 枚举 \(…

\(\mathcal{Description}\)   link.   给定一个 \(n\) 个结点 \(m\) 条边的无向图,\(q\) 次操作每次随机选出一条边.问 \(q\) 条边去重后构成生成树的方案总数,对 \(p\) 取模. \(\mathcal{Solution}\)   首先求出 \(n-1\) 条边构成生成树的方案数,显然矩阵树定理.   接着,令 \(f(i,j)\) 表示操作 \(i\) 次,去重后有 \(j\) 条边的方案数.那么有: \[f(i,j)=jf(i-1,j)…

\(\mathcal{Description}\)   Link.   给定 \(n\) 个点 \(m\) 条边的连通无向图 \(G\),边有边权.其中 \(u,v\) 的距离 \(d(u,v)\) 定义为 \(u\) 到 \(v\) 的最大异或路径.还有 \(q\) 次询问,每次给出 \(l,r\),求 \(\bigoplus_{l\le i<j\le r}d(i,j)\).   \(n,m,q\le10^5\),边权 \(w<2^{30}\). \(\mathcal{Solution}\)…

\(\mathcal{Description}\)   Link.   给定含有 \(n\) 个结点的树,求非负整数对 \((x,y)\) 的数量,满足存在 \(\exist S\subseteq V,~|S|=x\land\sum_{u\in S}d_u=y\),其中 \(d_u\) 表示点 \(u\) 的度数.   \(n\le2\times10^5\). \(\mathcal{Solution}\)   方便期间,以下所有 \(d_u\) 表示 \(u\) 的度数 \(-1\).   出题…

\(\mathcal{Description}\)   Link.   给定排列 \(\{p_n\}\),求任意重排 \(p_{l..r}\) 的元素后,将 \(\{p_n\}\) 依次插入二叉搜索树时结点深度之和的最小值.   \(n\le10^5\),\(r-l+1\le200\). \(\mathcal{Solution}\)   先把不作修改的二叉搜索树建出来--按值升序遍历,单调栈维护即可,这就相当于建 \((p_i,i)\) 的笛卡尔树.考虑此时树上一个"可修改连通块"的性…

\(\mathcal{Description}\)   Link.   给定一棵含 \(n\) 个结点的树,结点 \(1\) 为根,点 \(u\) 初始有点权 \(a_u=0\),维护 \(q\) 次操作: 给定 \(u\),将 \(u\) 子树内的点权加 \(1\): 给定 \(u,v\),将 \(u,v\) 简单路径上的点权加 \(1\).   每次操作后,求出树最靠近结点 \(1\) 的带权重心.   \(n,q\le10^5\). \(\mathcal{Solution}\)   记点权…

\(\mathcal{Description}\)   Link.   给一个 \(n\) 个点 \(m\) 条边的带权无向图,边有权值和黑白颜色,求恰选出 \(K\) 条白边构成的最小生成树.   \(n\le5\times10^4\),\(m\le10^5\). \(\mathcal{Solution}\)   沉迷造题,好久没写题解了 qwq.   本题是 WQS 二分的板题.记 \(f(x)\) 表示恰选 \(x\) 条白边构成的最小生成树,不难发现 \((x,f(x))\) 在坐标轴上…

\(\mathcal{Description}\)   Link.   给定一棵 \(n\) 个点的树,其中 \(2|n\),你需要把这些点两两配对,并把每对点间的路径染色.求使得所有边被染色的方案数,对 \(10^9+7\) 取模.   \(n\le5000\). \(\mathcal{Solution}\)   容斥,令 \(f(S)\) 表示钦定边集 \(S\) 全部为被覆盖的方案数.显然答案为: \[\sum_{S\subseteq E}(-1)^{|S|}f(S) \]   \(S\)…