题目链接戳这里 题目描述 有\(n\)件不同的商品,每件物品都有无限个,输出总体积为\([1,m]\)的方案数 思路 直接跑背包有\(30\) 考虑把每个物品的生成函数设出来,对于一件体积为\(v\)的物品: \[f(x)=1+x^v+x^{2v}+\cdots +x^{kv}+\cdots \] 那么答案\(F(x)\)就是每个物品的\(f\)卷起来: \[F(x)=\prod\limits_{i=1}^{n}f_i(x)=\prod\limits_{i=1}^{n}\frac{1}{1-x^…

传送门 同样是回过头来发现不会做了,要加深一下记忆. 思路 只要听说过生成函数的人相信第一眼都可以想到生成函数. 所以我们要求 \[ ans=\prod \sum_n x^{nV}=\prod \frac{1}{1-x^V} \] 也就是\(\prod (1-x^V)\). 但这玩意好像还是不会做,怎么办呢? 按照套路,可以先\(\ln\)一下,加起来,再\(\exp\)回去. 所以现在要求 \[ \sum \ln(1-x^V) \] -- -- -- 不会. 不会怎么办? 打表找规律! 经过打…

P4389 付公主的背包 题目背景 付公主有一个可爱的背包qwq 题目描述 这个背包最多可以装\(10^5\)大小的东西 付公主有\(n\)种商品,她要准备出摊了 每种商品体积为\(V_i\),都有\(10^5\)件 给定\(m\),对于\(s\in [1,m]\),请你回答用这些商品恰好装\(s\)体积的方案数 输入输出格式 输入格式: 第一行\(n,m\) 第二行\(V_1\sim V_n\) 输出格式: \(m\)行,第\(i\)行代表\(s=i\)时方案数,对\(998244353\)取…

题目传送门:洛谷 P4389. 题意简述: 有 \(n\) 个物品,每个物品都有无限多,第 \(i\) 个物品的体积为 \(v_i\)(\(v_i\le m\)). 问用这些物品恰好装满容量为 \(i\) 的背包的方案数,两个方案不同当且仅当存在某一个物品的选取数量不同. 你需要对 \(i\in [1,m]\) 回答,答案对 \(998,244,353\) 取模. 题解: 对于一个体积为 \(v\) 的物品,它装满容量为 \(x\) 的背包的方案数序列为 \(a_x=[v|x]\). 例如 \(…

传送门 神仙题鸭!orz dkw 暴力就是完全背包 而完全背包可以和生成函数扯上关系,记第i种物品质量为\(a_i\),那么这种物品的生成函数\(G(i)=\sum_{j=0}^{\infty}x^{a_ij}\),最后体积为i的答案即为这n个生成函数的卷积的第i项系数 然而用卷积复杂度为\(O(mnlogm)\),还不如暴力.说道卷积,我就想起了可以把多项式先求\(ln\),然后加起来,最后求\(exp\).只不过每个函数求\(ln\)复杂度还是不行,我们打表发现\(lnG(i)=\sum_{…

题目大意:有$n(n\leqslant10^5)$种物品,第$i$个物品体积为$v_i$,都有$10^5$件.给定$m(m\leqslant10^5)$,对于$s\in [1,m]$,请你回答用这些商品恰好装$s$体积的方案数 题解:(by Weng_weijie) 背包问题模板(误) 对每个物品构造生成函数$F(x)=\displaystyle\sum_{i=0}^{\infty}x^{vi}=\dfrac{1}{1-x^v}$ 然后所有相乘就得到答案(不会乘) 对每个多项式求$\ln$加起来…

注意 初始化的时候要这样写 for(int i=1,x;i<=n;i++){ scanf("%d",&x); v[x]++; } for(int i=1;i<=m;i++){ if(v[i]){ for(int j=1;j<=m/i;j++) a[i*j]=(a[i*j]+1LL*v[i]*invx[j]%MOD)%MOD; } } 这样写的复杂度是调和级数(\(O(n\log n)\)) 不能这样写 for(int i=1;i<=n;i++){ sca…

题目背景 付公主有一个可爱的背包qwq 题目描述 这个背包最多可以装10^5105大小的东西 付公主有n种商品,她要准备出摊了 每种商品体积为Vi,都有10^5105件 给定m,对于s\in [1,m]s∈[1,m],请你回答用这些商品恰好装s体积的方案数 输入输出格式 输入格式: 第一行n,m 第二行V1~Vn 输出格式: m行,第i行代表s=i时方案数,对998244353取模 输入输出样例 输入样例#1: 2 4 1 2 输出样例#1: 1 2 2 3 说明 对于30%的数据,n<=300…

显然构造出生成函数,对体积v的物品,生成函数为1+xv+x2v+……=1/(1-xv).将所有生成函数乘起来得到的多项式即为答案,设为F(x),即F(x)=1/∏(1-xvi).但这个多项式的项数是Σvi级别的,无法直接分治FFT卷起来. 我们要降低多项式的次数,于是考虑取对数,化乘为加,得到lnF(x)=-Σln(1-xvi).只要对每个多项式求出ln加起来再exp回去即可. 考虑怎么对这个特殊形式的多项式求ln.对ln(1-xv)求导,得ln(1-xv)'=(1-xv)'/(1-xv)=-v…

题面 给定 n , k n,k n,k ,求长度为 n n n 逆序对个数为 k k k 的排列个数,对 1 e 9 + 7 \rm1e9+7 1e9+7 取模. 1 ≤ n , k ≤ 100   000 1\leq n,k\leq 100\,000 1≤n,k≤100000 . 题解 首先,不要看到逆序对就手忙脚乱,它其实是可控的. 令 d i d_i di​ 为第 i i i 个数前面比它大的数的个数,满足条件 d i ∈ [ 0 , i ) d_i\in[0,i) di​∈[0,i) .…