51nod 1518 稳定多米诺覆盖(容斥+二项式反演+状压dp)

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51nod 1518 稳定多米诺覆盖(容斥+二项式反演+状压dp)

[传送门[(http://www.51nod.com/Challenge/Problem.html#!#problemId=1518) 解题思路直接算不好算,考虑容斥,但并不能把行和列一起加进去容斥,这会使时间复杂度非常高,那么就考虑枚举行后$dp$.设$f[i]$表示存在$i$列有线,任意一行无线的方案数,$g[i[$表示至少有$i$列有线,任意一行无线的方案数,那么 \[g[i]=\sum\limits_{k=i}^n C(i,k)f[i]\] 二项式反演得 \[f[0…

【做题】51NOD1518 稳定多米诺覆盖——容斥&dp

题意:求有多少种方案,用多米诺骨牌覆盖一个$n\times m$的棋盘,满足任意一对相邻行和列都至少有一个骨牌横跨.对$10^9+7$取模. $n,m \leq 16$ 首先,这个问题的约束比较复杂,直接dp需要较高的代价记录状态,不能通过本题. 然而,这个问题的约束可以被拆分为多个小约束(某条线被横跨),且小约束可以直接合并.这启发我们使用容斥. 这样,我们的dp计数就简化为了固定几条线不被跨越后任意覆盖.设$f_k$为恰有$k$条线不被跨越的方案数,$g_k$为我们计…

Luogu P2595 [ZJOI2009]多米诺骨牌容斥，枚举，插头dp，轮廓线dp

真的是个好(毒)题(瘤).其中枚举的思想尤其值得借鉴. $40pts$:插头$dp$,记录插头的同时记录每一列的连接状况,复杂度$O(N*M*2^{n + m} )$. $100pts$:容斥$+$插头$/$轮廓线.目前要维护每两行和每两列的限制,我们把两个限制分开讨论.预处理一下每个子矩阵如果不作限制的可行方案,然后人为地进行限制分割.对于列的限制用容斥解决,对于行的限制套在里面逐行枚举做一次$dp$,就可以把复杂度降到可以接受的$O(m^3*2^n)$. 代码…

【题解】[HAOI2018]染色(NTT+容斥/二项式反演)

[题解][HAOI2018]染色(NTT+容斥/二项式反演) 可以直接写出式子: \[ f(x)={m \choose x}n!{(\dfrac 1 {(Sx)!})}^x(m-x)^{n-Sx}\dfrac 1 {(n-Sx)!} \] $f(x)$ 钦定有$x$种颜色出现了恰好$S$的方案然后推一下恰好有$x$种颜色出现了恰好$S$次的方案$g(x)$ .推导在下下面. 最后的答案是$\sum w_i g(i)$ 推导: 显然颜色种类不会超过\(L=\lfloo…

51Nod1518 稳定多米诺覆盖动态规划插头dp 容斥原理

原文链接https://www.cnblogs.com/zhouzhendong/p/51Nod1518.html 题目传送门 - 51Nod1518 题意 51Nod真是个好OJ ,题意概括的真好,有助于博主偷懒不写题意概括.给51Nod 点赞! 题解首先,我们忽略那个“稳定”的要求,求方案数. 显然是一个插头dp裸题,我们可以在 $O(n^2\cdot 2^n)$ 的时间复杂度中求出所有长宽的矩形区域的覆盖方案数. 然后我们考虑容斥原理,奇加偶减.首先,枚举哪些相邻行之间有一条不穿过骨牌的…

NOI Online 游戏树形dp 广义容斥/二项式反演

LINK:游戏还是过于弱鸡没看出来是个二项式反演,虽然学过一遍但印象不深刻. 二项式反演:有两种形式一种是以恰好和至多的转换一种是恰好和至少得转换. 设$f_i$表示至多的方案数 $g_i$表示恰好的方案. 则有 $f_n=\sum_{i=0}^nC(n,i)\cdot g_i$ 根据二项式反演则有 $g_n=\sum_{i=0}^n(-1)^{n-i}\cdot C(n,i)\cdot f_i$ 设$f_i$表示至少的方案数 $g_i$表示恰好的方案. 则有…

多米诺骨牌放置问题(状压DP)

例题: 最近小A遇到了一个很有趣的问题: 现在有一个$n\times m$规格的桌面,我们希望用$1 \times 2$规格的多米诺骨牌将其覆盖. 例如,对于一个$10 \times 11$的桌面,下面为一种合法覆盖方案: 那么给定n.m,应该如何覆盖呢? 但是小A并不满足于覆盖桌面,他希望知道能够覆盖整个桌面的合法方案数. 输入有 $t$ 组数据,对于每组数据: 输入$n.m$,输出合法方案数$ans$,答案$ans$对$10^9+7$取模,每个答案占一行. 以…